三年级奥数教材C版修改稿1

...wd......wd......wd...第一讲和倍问题〔一〕两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷〔倍数＋1〕=小数小数×倍数=大数〔和－小数=大数〕【例1】学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多少本导学：为了便于理解题意，我们画图来分析：由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技书的本数就是这样的〔〕份，两种书的总本数就是这样的〔〕份。相当于把480本书平均分成〔〕份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。列式解答：故事书：〔本〕科技书：〔本〕练习1：1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千克2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少【例2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵1200棵导学：如果把苹果树的棵数看作1份，那么梨树就是〔〕份；桃树就是〔〕份；三种树的总棵数就是这样的〔〕份。1200棵所以，苹果树有：〔棵〕；梨树有：〔棵〕；桃树有：〔棵〕。练习2：李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支【例3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书导学：把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的〔〕份，第三个就是这样的〔〕份，三个书橱里的总本数就是这样的〔〕份。同学们试着画出线段图：所以，第一个书橱里放了：〔本〕；第二个书橱里放了：〔本〕；第三个书橱里放了：〔本〕。练习3：1.甲、乙、丙三个数之和是400，甲是乙的3倍，丙是甲的2倍。求甲、乙、丙各是多少。2.甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队的3倍。三个队各修了多少米【例4】〔WMO世奥赛全国赛三年级复赛试题〕一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元；如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?导学：此题分有两种情况：一种是一二三等奖各2人；一种是一二三等奖分别1、2、3人。①先来看第一种情况：设三等奖的奖金为1份，那么二等奖的奖金是〔〕份，一等奖的奖金就是〔〕份。也就一共是〔〕份。由于每等奖都有两人，所以相当于一共是2×〔〕=〔〕份。一等奖是308元，一等奖是〔〕份。每份就是308÷〔〕=〔〕元。所以总奖金就是：〔元〕。②第二种情况：再设三等奖为1份，那么二等奖为2份，一等奖为4份。由每等奖人数不同，那么一共有1×3+2×2+4×1=11〔份〕所以每份奖金：〔〕÷11=〔〕元。那么一等奖有：〔〕×4=〔〕元。练习4：〔1〕一批粮食如果按重量平均堆放在甲、乙、丙三个仓库中，每个仓库堆放粮食105吨；考虑到地域和人口的需要，丙仓库堆放的粮食是甲仓库的4倍，是乙仓库的2倍。求丙仓库堆放了多少吨的粮食〔2〕幼儿园园长把84苹果分给大、中、小三个班的孩子每人一个刚好分完。小班孩子人数是中班人数的2倍，中班孩子人数是大班孩子人数的2倍。如果按照大班每人3个，中班每人2个，小班每人1个来分，还差多少个苹果归归纳小结解决和倍问题必须要先确定一个数为标准数(即1倍数),再根据其他数与标准数的倍数关系,确定“和数〞相当于标准数的几倍算出1倍数.进而求出其它数。为了更直观的解决和倍问题,我们采用画线段图的方式帮助我们解决.一、达标训练：1.兄弟两人共有钱186元，哥哥的钱是弟弟的钱的5倍，求哥哥和弟弟分别有多少钱2.甲、乙、丙三数之和是360，甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。三块钢板各重多少千克二、变式训练：1.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米2.〔★1999年金翅杯小学数学竞赛试卷〕被除数、除数和商的和为327，商是7。被除数和除数各是多少三、拓展训练：1.甲数的一半与乙数的和是270，甲数的4倍正好等于乙数。问：甲、乙两数各是多少2.(★“2015年第20届华杯少年数学邀请赛初赛〞真题。)新生入校后，合唱队、田径队、和舞蹈队共招收学员100人。如果合唱队招收的人数比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多10人，那么舞蹈队招收多少人〔每人限参加一个队〕〔答案：舞蹈队招收46人〕学生：家长：第二讲和倍问题〔二〕两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷〔倍数＋1〕=小数小数×倍数=大数〔和－小数=大数〕【例1】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵导学:如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是〔棵〕，这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以，柳树的棵数是()÷〔1＋3〕=()〔棵〕，杨树的棵数是〔棵〕。练习一：1、粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米和面粉各有多少千克2、学校购置了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多8本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本【例2】三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米导学：把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240米，那么三个队共筑了米，正好是乙队的2＋1＋1=4倍。所以，乙队筑了米，甲队筑了米，丙队筑了米。练习二：1、三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。三个队各植树多少棵2、城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是篮球个数的2倍。篮球、足球、排球各有多少个【例3】两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克导学：由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍〞可知总量还是96千克没有变，可求出现在甲箱中有茶叶千克。由此可求出甲箱原来有茶叶千克，乙箱原来有茶叶千克。练习三：1、书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层，那么下层的本数正好是上层的2倍。两层原来各有书多少本2、某畜牧场共有绵羊和山羊3561只，后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只，现在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。原来绵羊和山羊各有多少只【例４】〔★2012年重庆18中招生数学题〕被除数和除数的和是80，如果被除数和除数都减去13，那么它们的商是5，求原来的被除数和除数各是多少导学：〔1〕被除数和除数都减去13后，它们的和是：80-〔〕=〔〕。〔2〕根据被除数=商×除数，设除数为1份，那么被除数是〔〕份。〔3〕所以除数：。被除数：。〔4〕原来的除数：〔〕+13=〔〕；被除数：〔〕+13=〔〕。练习四：〔1〕被除数和除数的和是143，如果被除数和除数都加上6，那么它们的商是4.求原来的被除数和除数各是多少〔2〕被除数、除数、余数三数之和是120，如果被除数和除数都减去5，那么它们的商是7且没有余数。如果原来算式中的余数是6，那么原来的被除数和除数分别是多少归归纳小结解决稍复杂的和倍问题我们同样需要借助画线段图的方式帮助我们解答。值得注意的是要搞清楚题目中除倍数以外的其他数量关系。如果题目中没有明确告之“和〞是多少，需要从条件中找出来再解答。一、达标训练1.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。两人各得多少分2.三个数的和是1490，甲数是丙数的7倍，乙数比丙数多40。三个数各是多少3.同学们采集植物标本，五、六年级共采集了120件，如果五年级采集的标本给六年级12件，六年级的标本数量刚好是五年级的2倍。五、六年级各采集了多少件变式训练1、被减数、减数与差之和是3274，其中减数比差的3倍还多5。问：被减数、减数、差各是多少2、甲、乙两人共储蓄2000元，甲取出160元，乙又存入240元，这时甲储蓄的钱数比乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄多少元三、拓展训练1、甲水池有水5640立方米，乙水池有水780立方米，如果甲水池的水以每分钟15立方米的速度流入乙水池。问：多少分钟后，甲水池水量是乙水池水量的3倍2、(★“2007年第五届小学“希望杯〞全国数学邀请赛〞真题。)王奶奶家养了鸡、鸭、鹅共250只，其中：鸭比鹅的2倍少10只，鸡比鸭的3倍多20只，王奶奶家养了鸡、鸭、鹅各多少只〔答案：鸡：170只、鸭：50只、鹅：30只〕学生：家长：第三讲差倍问题〔一〕差倍问题就是大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=较小数较小数×倍数=较大数或较小数+差=较大数【例1】李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗导学：为了便于理解题意，我们画图来分析：鹅：鸭：1818只由图可知，如果把鹅的只数看作一份，那么鸭的只数就是这样的〔〕份，鸭比鹅多的只数就是这样的〔〕份。相当于把18只平均分成〔〕份，1份是〔〕的只数，3份是〔〕的只数。列式解答：鹅：〔只〕鸭：〔只〕答：练习1：1、两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍，甲书架比乙书架存书多120本，那么乙书架存书多少本2、甲筐苹果是乙筐苹果的3倍，如果从甲筐取出60千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克【例2】被除数比除数大252，商是7。被除数和除数各是多少导学：被除数=〔〕×〔〕，知道商是7，所以被除数是除数的7倍，又知道被除数比除数大252，可以作图如下：除数：被除数：252252由图可知，如果把除数看作一份，那么被除数就是这样的〔〕份，被除数比除数多的就是这样的〔〕份。相当于把252只平均分成〔〕份，1份是〔〕，3份是〔〕。列式解答：除数：被除数：答：练习21、被除数比除数大168，商是32。被除数和除数各是多少除数比被除数小212，商是5。被除数和除数各是多少【例3】水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果从第一筐中取出300个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60个。原来两筐橘子各有多少个导学：根据“如果从第一筐中取出300个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60个〞，说明原来第一筐比第二筐橘子多个。把第二筐的橘子重量看作1倍数，第一筐橘子是这样的〔〕倍，比第二筐多4倍，第二筐橘子的4倍正好是〔〕个。同学们试着画出线段图：第二筐橘子：第一筐橘子：所以第二筐原有橘子：个，第一筐橘子原来有：个。列式解答：第二筐橘子个数：第一筐橘子个数：答：练习31.同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的3倍。如果从六年级捐款钱数中取出160元放入三年级，那么六年级捐款的钱数还比三年级多40元。两个年级分别捐款多少元2.人民公园的杜鹃花盆数是长春园的4倍，如果从人民公园搬出188盆杜鹃花放入长春园，那么人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少25盆。原来两个公园各有杜鹃花多少盆【例4】〔★2008年第八届“春蕾杯〞小学数学邀请赛初赛〕兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，问：哥哥和妹妹各带了多少钱?导学：由题目的条件“哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等〞，可知哥哥比妹妹多元，又知道哥哥带的钱是妹妹的两倍，可以画出如下的线段图：妹妹：哥哥：〔〔〕元列式解答：妹妹：哥哥：答练习41、小明的存款数是小刚的3倍，现在小明取出850，小刚取出50元，两人的存款数变得一样多，求小明和小刚原来各有存款多少元2、甲仓库粮吨数是乙仓的3倍，如果甲仓取出80吨，乙仓运进80吨，甲、乙两仓存粮吨数正好相等，求甲、乙两仓原来各存粮多少吨归归纳小结解决差倍问题，首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法，被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是1倍量。达标训练1、甲筐苹果是乙筐苹果的3倍，如果从甲筐取出60千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等，两筐原来各有多少千克2、人民公园的杜鹃花盆数是长春园的4倍，如果从人民公园搬出188盆放入长春圆，那么人民公园杜鹃花盆数比长春圆少25盆。原来两个公园各有杜鹃花多少盆3、小明和小红的铅笔只数相等，如果奶奶再给小明16只铅笔，给小红2只铅笔，那么小明的铅笔只数就是小红的3倍。原来他们各有铅笔多少只二、变式训练1、两堆煤重量不等，现在从甲堆中运走24吨到乙堆，而乙堆煤又运入8吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍。问两堆煤原来各有多少吨2、大、小二数之差是504。大数个位数是0，去掉这个0，正好是小数。大、小数各是多少三、拓展训练1、有甲乙两仓库的粮食，甲仓库的粮食是乙仓库的3倍。如果甲仓库取出80吨粮食给乙仓库，甲仓库的粮食是乙仓库的2倍。甲乙仓库原来各有多少粮食2、〔★“第十二届“希望杯〞全国数学邀请赛复赛〞真题〕水果店用三种水果搭配果篮，每个果篮有2各哈密瓜，4个火龙果，10个猕猴桃。店里现有的火龙果的数量是哈密瓜的3倍多10个，猕猴桃的数量是火龙果的2倍，当用完所有的哈密瓜后，还剩130个火龙果。问：〔1〕水果店有多少个火龙果〔2〕用完所有哈密瓜后，还剩多少个猕猴桃〔答案：〔1〕火龙果370个，〔2〕还剩猕猴桃140个〕学生：家长：第四讲差倍问题〔二〕有些差倍问题比较复杂，不能直接利用公式进展解答，这时需要我们小朋友仔细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，从而找到解题方法。较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出线段图，数量关系就会比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用公式进展解答。【例1】有两袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的玉米吃掉4千克，这时大袋的玉米重量是小袋的4倍。两袋玉米原来各重量多少千克导学：根据题意，画出线段图。从图上可以看出，小袋玉为吃掉4千克后，大袋里的玉米就比小袋现有玉米重千克；又根据“这时大袋的玉米重量是小袋的4倍〞，可知把小袋现有的玉米重量看作1倍数，大袋比小袋多的60千克正好相当于现有小袋的〔〕倍，所以小袋现有玉米〔〕÷〔〕=〔〕千克，原有重量千克，大袋原有千克。列式解答：小袋：〔千克〕大袋：〔千克〕答：练习11、一个书架上放着一些书，第二层比第一层多12本。如果从第一层中拿走6本，这时第二层的本数是第一层的4倍。求第一、第二层原来各有多少本书2、甲、乙两桶油各有油假设干千克，甲桶的油比乙桶少20千克，如果从甲桶倒出5千克放入乙桶，这时乙桶内油的重量是甲桶的4倍。甲、乙两桶原来各有油多少千克【例2】甲的钱数是乙的3倍，甲买一套180元的?百科大全?，乙买一套30元的故事书后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱30元导学：30元乙：甲：180180元把乙原有的钱看作1份，甲原有的钱就是〔〕份；甲买书用去180元，乙买书用去30元，甲比乙多用去〔〕元。从图上可以看出，这多出的150元正好相当于乙原有钱数的〔〕倍，所以乙原有钱：〔〕元，甲原有钱〔〕元。列式解答：乙：〔元〕甲：〔元〕答：练习21、丹丹的钱数是小敏的5倍，丹丹买了一套115元的衣服，小敏买了一双15元的鞋子后，两人余下的钱一样多。丹丹原来有多少钱2、商店运来一批白糖和红糖，红糖的质量是白糖的3倍，卖出红糖380千克、白糖110千克后，红糖和白糖质量相等。商店现有红糖、白糖各多少千克【例3】学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的4倍，如果白粉笔和彩色粉笔各购进12盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍。原来白粉笔和彩色粉笔各有多少盒导学：根据题意，如果彩色粉笔购进12盒，而白粉笔购进12×4=48盒，那么现在白粉笔的盒数仍是彩色粉笔的4倍，可见48－12=36盒就是彩色粉笔现有盒数的〔〕倍，所以彩色粉笔现有〔〕盒，原来有〔〕盒，白粉笔原有〔〕盒。列式解答：原有彩色粉笔：〔盒〕原有白粉笔：〔盒〕答：练习31、有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千克数是乙筐的3倍，如果两筐苹果各增加8千克，那么甲筐苹果的千克数就是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少千克苹果2、有甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的5倍。如果每桶分别倒入8千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的3倍。甲、乙两桶原来各有多少千克油【例4】〔★第十三届WMO世奥赛全国赛三年级复赛试题〕一个装有24颗珠子的瓶子的重量是984克，假设再往瓶子里装9颗珠子，瓶子的重量是1308克。求瓶子自身的重量。导学：再往瓶子里装9颗珠子，瓶子的质量增加了克，这相当于()颗珠子的重量，可以算出每颗珠子的重量克，从而算出瓶子的重量。列式：答：瓶子自身的重量是〔〕克练习41、一根铜线长21米，一根铅线长16米，把两根金属线前去同样的长，使剩下的铜线长度恰好是铅线长度的2倍，铜线和铅线各剩下多少米2、小明、小丽做题,如果小明再做4道就和小丽做的一样多,如果小丽再做6道就是小明的3倍,小明做、小丽各做了多少道题归归纳小结解决和倍问题和差倍问题时，常常采用画线段图的方法，来帮助理解和解题。确定题目中数量间的倍数关系，关键是正确确定标准数。一、达标训练1、一车间男工26人，女工14人。调走男、女工同样多的人后，男工人数是女工人数的3倍。剩下的男、女工各多少人2、甲、乙二数相等。甲数加上50，乙数减去34后，甲数就是乙数的4倍。原来甲、乙两数等于几3、小明和小丽数学作业本上的红花,小丽比小明多7朵,如果小明少得2朵,小丽再得3朵,小丽的红花数就是小明的3倍,小明小丽各得多少朵?变式训练喜羊羊和美羊羊有一些铅笔，如果喜羊羊给美羊羊两支,那么喜羊羊和美羊羊的铅笔数相等；如果美羊羊给喜羊羊两支，那么喜羊羊的铅笔数是美羊羊的3倍，求喜羊羊和美羊羊各有几支铅笔2、在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数。拓展练习〔★“第八届“希望杯〞全国数学邀请赛〞真题〕某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6倍，后来公鸡、母鸡各增加60只，母鸡只数变成公鸡只数的4倍，那么养鸡场原来一共养了多少只鸡。〔答案：原来一共养了630只鸡。〕学生：家长：第五讲和差问题〔一〕两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系是：〔和－差〕÷2=小数小数＋差=大数〔和－小数=大数〕或：〔和＋差〕÷2=大数大数－差=小数〔和－大数=小数〕解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把假设干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。【例1】三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各植树多少棵导学：假设把三年级植的棵树增加20棵，那么两个年级植的棵树就同样多了，总棵数就相当于是128+20=148棵，而得到的和刚好就是四年级植树棵树的〔〕倍，如图。所以，四年级植树的棵数是〔棵〕，三年级植树的棵数是〔棵〕。这道题还有其他的解答方法吗动脑思考一下。练习一1、两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨。两堆各有多少吨2、甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各多少岁【例2】两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。两筐原来各有多少个梨导学：根据题意，第一筐减少10个，第二筐增加10个后，那么两筐梨子个数相等，可知原来第一筐比第二筐多个。假设从120个中减去20个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的〔〕倍，所以，第二筐原来有〔个〕，第一筐原来有〔个〕。练习二1、红星小学三〔1〕班和三〔2〕班共有学生108人，从三〔1〕班转3人到三〔2〕班，那么两班人数同样多。两个班原来各有学生多少人2、甲、乙两笨共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中，那么两箱水果一样重。两箱原来各有水果多少千克【例3】今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁导学：3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小〔〕岁。显然，这属于和差问题。所以妈妈今年岁，小勇：岁。练习三1、今年小刚和小强俩人的年龄和是21岁，1年前，小刚比小强小3岁。今年小刚和小强各多少岁2、两年前，胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄和将是42岁。求胡炜和陆飞今年各多少岁。【例4】甲乙两个仓库共有大米800袋，如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，那么甲仓库比乙仓库还多8袋。两个仓库原来各有多少袋大米导学：先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，那么甲仓库比乙仓库还多8袋〞可知甲仓库原来比乙仓库多袋。由此可求出甲仓库原来有袋，乙仓库原来有袋。练习四1、甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中，那么甲箱比乙箱还多6袋。两箱原来各有多少袋2、两笼鸡蛋共19只，假设甲笼再放入4只，乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼还多1只。甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只归归纳小结当问题中有三个量时，可以把最小量当作标准，去掉差之后分3份，求出最小量，进而求出中间量和最大量。对于稍复杂的题目可以借助线段图等方法帮助我们解答。达标训练1、用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克。锡和铝各是多少千克2、某汽车公司两个车队共有汽车80辆，如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等。两个车队原来各有汽车多少辆3、黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后，黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡敏今年各多少岁二、变式训练1、甲、乙两筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐，结果甲筐比乙筐还多2千克。两筐原来各有多少千克香蕉2、把长108厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米三、拓展训练1赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动，共跑1080米。游泳池的长和宽各是多少米2、〔★“小升初考试〞真题〕甲乙两根绳子共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是3：2，甲乙两根绳子原来各长多少米〔答案：甲原来长10米，乙原来长12米〕学生：家长：第六讲和差问题〔二〕两个数的和与差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。解答和差问题可以用线段图帮助我们分析题意。【例1】长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米导学：长方形一周的长是指两条长和两条宽的和，由条件可知一条长与一条宽的和为(米)，由此我们就知道了长和宽之和是米，又知道长和宽之差是米，根据和差问题来解答：长：米宽：米练习一1、丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文和数学各得了多少分2、6筐香蕉和6筐苹果共重390千克，每筐香蕉比每筐苹果重5千克，每筐香蕉和每筐苹果各重多少千克【例2】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米．每块布料各长多少米导学：从线段图可以看出，以第一块为标准，第二块减少20米，第三块减少

(米)，总和减少(米)．米相当于第一块布料长的3倍，求出第一块布料的长度，第二块、第三块就可以求出．⑴第一块布料长度的3倍是：(米)⑵第一块布料的长度是：(米)⑶第二块布料的长度是：(米)⑷第三块布料的长度是：(米)练习二1、有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米2、小猴和小熊到动物商店一共买了30块糖，小猴把买的糖给了小熊10块，还比小熊多2块．小熊比小猴少买几块糖【例3】大象、老虎、猴子三只动物的年龄中，大象和老虎共90岁，大象和猴子共70岁，老虎和猴子共40岁，请你算一算，三只动物各多少岁导学：大象、老虎、猴子三只动物的年龄和：〔岁〕；大象的年龄：〔岁〕；老虎的年龄：〔岁〕；猴子的年龄：〔岁〕答：大象〔〕岁，老虎〔〕岁，猴子〔〕岁．练习三小强、中强、大强去称体重，大强和小强一起称是50千克，小强和中强一起称是49千克，三个人一起称是76千克．三人的体重各是多少千克2、甲乙共储蓄32元，乙丙共储蓄30元，甲丙共储蓄22元，三人各储蓄多少元?【例4】〔★第八届巨人杯综合素质评估〕有3盒同样重的苹果，如果从每盒中都取出4千克，那么盒子里剩下的苹果的重量正好等于原来1盒苹果的重量，原来每盒苹果重〔〕千克。导学：剩下的是原来1盒的重量，那么取出的是〔〕盒的重量，那么原来每盒重〔〕千克。列式：练习四1、有5箱同样重的苹果，如果从每箱中取出3千克苹果，那么5个箱子里剩下的苹果的质量相当于原来4箱苹果的质量，求原来每箱苹果重多少千克2、水果店运来7箱苹果〔每箱同样重〕。如果从每箱取出25千克，剩下的苹果比原来的3箱还多5千克。原来每箱苹果重多少千克归归纳小结当问题中有三个量时，可以把最小量当作标准，去掉差之后分3份，求出最小量，进而求出中间量和最大量。一、达标训练某工厂开展劳动竞赛，三个小组共造零件420个，第一组比第二组多造10个，第二组比第三组少造17个。三个小组各造零件多少个一部书有上、中、下三册，共值85元，上册比中册贵5元，下册比中册廉价7元。上、中、下三册各是多少元3、兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁二、变式训练四〔1〕班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张2、三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。拓展训练〔★“第20届华杯赛决赛A卷〞真题〕某项工程需要100天完成，开场由10个人用30天完成了全部工程的，随后再增加10个人来完成这项工程，那么能提前________天完成任务．【答案】10天学生：家长：第七讲平均数问题〔一〕分物品时，为了公平常常要每份同样多，这就是平均分。每份数也称为平均数。求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数解答平均数问题的关键是要确定“总数量〞以及与“总数量〞相对应的“总份数〞，然后用总数量除以总份数求出平均数。【例1】一次数学测试，三〔2〕班第一小组8位同学成绩分别是92,89,97,93,100,82,96和79分。这8位同学的平均成绩是多少导学：这道题可根据求平均数的数量关系式，先求出8位同学的总成绩，再除以份数8，得到平均成绩。解答：〔1〕总成绩：〔分〕，〔2〕平均成绩：〔分〕。练习一1、求出以下11个数的平均数：49,56,28,66,31,48,75,50,92,89,102、小刚有5个抽屉，分别有图书33本，42本，20本，53本和32本。平均每个抽屉有图书多少本【例2】9个连续奇数〔单数〕的和是135，请写出这9个数。导学：此题貌似和平均数没有关系，其实不然，先随便写出9个连续的奇数，如：1,3,5,7,9,11,13,15,17观察可知，可以通过“移多补少〞的方法让每一个数都变成最中间的那个数9。也就是最中间的那个数就是它们的平均数。所以此题可以先求出平均数：，也就是最中间的那个数。所以9个数分别为：。练习二1、5个连续的偶数〔双数〕的和是560。这5个数中最大的数是多少2、5个连续奇数的和是105,7个连续偶数的和是140.它们最小的奇数和最大的偶数相差多少【例3】甲乙丙三个数的平均数是150，甲数是48，乙数和丙数相等。求丙数。导学：根据平均数的数量关系知，总数=平均数×份数，总数：。所以要求丙数，可根据总数-甲数的差除以2即可：丙数：。练习三1、小明半期考试语、数、英三科的平均分是92分，数学考了94分，语文和英语分数同样多，求语文考了多少分2、小雨半期考试语、数、英三科的平均分是92分，数学考了94分，语文比英语多2分，求语文和英语各考了多少分【例4】超市食品将两种糖果混合成什锦糖，其中甲种糖每千克14元，共30千克，乙种糖每千克10元，共50千克。问：混合成的什锦糖价格应该怎么定导学：要求混合后的什锦糖价格，必须先求出两种糖的总千克数和总共的价钱。总价钱：〔元〕总千克数：〔千克〕混合后的价格：〔元〕。练习四1、水果店将两种苹果混合在一起卖。其中甲种苹果原价每千克12元，共50千克；乙种苹果每千克6元，共100千克。那么混合后的苹果定价多少才合理2、小华5天读完了一本书，第一天读了25页，后四天平均每天读了30页。小华平均每天读了多少页归归纳小结求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数。解答平均数问题的关键是要确定“总数量〞以及与“总数量〞相对应的“总份数〞，然后用总数量除以总份数求出平均数。一、达标训练1、小明在一学期的5次数学测验中的得分分别是95分，87分，92分，100分，96分。求小明这学期数学测验的平均得分。2、11个连续自然数的和是220，求这11个数分别是多少3、A、B、C、D四个数的平均数是80，A和C都是76，C和D相等。求C和D分别是多少?二、变式训练1、两个连续偶数的和是186，两个连续奇数的和是166.求这四个数的平均数。2、小雨期末考试语文和数学的平均分是96分，语文和英语的平均分是90分。那么小雨的数学比英语多考了几分三、拓展训练1、有甲、乙、丙三个数，甲乙两数的和是90，甲丙两数的和是82，乙丙两数的和是86.甲乙丙三个数的平均数是多少2、〔★“第17届世界奥林匹克数学竞赛〔中国区〕选拔赛〞真题〕下面是民智小组和镇宇小组同学的数学成绩，请答复以下问题。民智小组数学成绩姓名民智丹彤光勋成美合计分数80728492328镇宇小组数学成绩姓名镇宇英美小希俊杰轩轩合计分数7684908570405民智小组的平均分是：〔〕，镇宇小组的平均分是〔〕〔〕小组的平均分更高。〔2〕娜娜参加了民智小组，于是民智小组重新求了平均分，结果与镇宇小组的平均分一样，请写出求娜娜数学成绩的过程。学生：家长：第八讲平均数问题〔二〕我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的上下，求出各科成绩的平均数就是求平均数。平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数解答平均数问题的关键是要确定“总数量〞以及与“总数量〞相对应的“总份数〞，然后用总数量除以总份数求出平均数。【例1】二〔1〕班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵。平均每人植树多少棵导学：因为二〔1〕班学生分三组植树，由问题可知“平均范围〞是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：棵，总人数为：人，所以平均每人植树棵。练习一1、电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台2、二〔1〕班学生分三组植树，第一组有8人，平均每人植树10棵；第二组有6人，平均每人植树11棵；第三组有6人，平均每人植树9棵。二〔1〕班平均每人植树多少棵【例2】王教师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。导学：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数〞。〔153×2＋152＋149×2＋147×2〕÷〔〕=〔〕厘米或：150＋〔3×2＋2－1×2－3×2〕÷〔〕=〔〕厘米练习二1、五〔1〕班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分，另外两个同学分别得了97、89分。这7个同学的平均成绩是多少2、敬老院有8个老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁。求这8个老人的平均年龄。【例3】从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。导学：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是千米，往返的时间是小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行千米。练习三1、小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟。求小强往返的平均速度。2、小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时的速度是每小时走6千米。那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米【例4】李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是83分。李华投掷得了多少他导学：先求出五项的总得分：分，再算出四项的总分：分，最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：分。练习四1、小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分。前两次平均分是82分，他第三次得了多少分2、某班一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分，第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是94分。这个班有多少人归归纳小结求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数。解答平均数问题的关键是要确定“总数量〞以及与“总数量〞相对应的“总份数〞，然后用总数量除以总份数求出平均数。一、达标训练1、小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分。求小明这五次考试的平均分数是多少。2、气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃。求一周的平均气温。3、李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶；下山时，他沿原路返回，每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度。二、变式训练1、小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分2、小强早上坐公交车去学校，公交车每分钟行驶400米，用了15分钟到学校，下午放学，他走路回家用了45分钟，求小强往返的平均速度。三、拓展训练1、如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的，且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁〔★“初一入学测试题〞真题〕一个长方形的养鸡场的长边靠墙，其它三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个养鸡场。其中长比宽多5日；小赵也打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际，按照他的设计，鸡场的面积是多少〔答案：小王的设计符合实际，按照他的设计，鸡场的面积是125平方米。〕学生：家长：第九讲简单推理〔三〕在之前我们已经学习过简单推理，今天我们将继续讨论简单推理。推理问题和常见的数学问题不同，解答时不需要或者很少用到计算，只需要根据题目中给出的条件，通过分析和判断，得出正确、合理的结论。【例1】红红、聪聪和颖颖都戴着太阳帽去参加野炊活动，她们戴的帽子一个是红色的，一个是黄色的、一个是蓝色的。只知道红红没有戴黄帽子，聪聪既不戴黄帽子也不戴蓝帽子。请你判断红红、聪聪和颖颖分别戴什么颜色的帽子导学:〔1〕抓住聪聪分析，她既不戴黄帽子也不戴蓝帽子，可以推出她一定戴〔〕帽子。〔2〕在考虑红红，红红没有戴黄帽子，也不可能是红帽子，那就只能是〔〕帽子。所以颖颖戴的是〔〕帽子。练习一1、江波、刘晓、吴萌三个教师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。：江波和语文教师是邻居；吴萌和语文教师不是邻居；吴萌和数学教师是同学。请问：三个教师分别教什么科目2、有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。〞兰兰说：“冬冬做的比静静多。〞静静说：“兰兰做的比冬冬少。〞这三位小朋友中，谁做的好事最多谁做的好事最少【例2】有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如以以下列图所示。这个正方体的每个汉字的对面各是什么字导学：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字。从图〔1〕可知，“奥〞的对面不是“林〞、“匹〞，从图〔2〕可知，“奥〞的对面不是“数〞、“学〞。所以，“奥〞的对面一定是“克〞。从图〔2〕可知，“数〞的对面不是〔〕、〔〕；从图〔3〕可知，“数〞的对面不是〔〕、〔〕，所以“数〞的对面一定是〔〕，剩下“学〞的对面一定是〔〕。练习二1、一个正方体的6个面分别标有1、2、3、4、5、6这6个数字，从3个不同角度看正方体如以下列图。问：正方体的每个数字的对面各是什么数字2、一个正方体，六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法，求出相对的两个面的字母是什么吗【例3】张平、赵阳、刘羽3个男孩各有一个妹妹，6个人去游乐场玩碰碰车比赛。比赛规定兄妹两人不许搭坐同一辆车。第一场，张平和小雨对阵赵阳和小静；第二场，赵阳和小丹对阵张平和刘羽的妹妹。问：三个男孩的妹妹分别是谁导学：由于题目要求兄妹不能坐同一辆车，从第一场的情况可知，张平和小雨不是兄妹，同理，赵阳和〔〕也不是兄妹；从第二场可知，赵阳和〔〕也不是兄妹。那么赵阳的妹妹是〔〕。综合一二场可知，小雨和刘羽的妹妹不是同一个人，即刘羽的妹妹不是〔〕。那么刘羽的妹妹是〔〕，张平的妹妹是〔〕。练习三1、有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的。但不知哪个姓王，哪一个姓李，哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子，你能猜出这三个女孩各姓什么吗2、林林、小华、小叶、叮叮进展200米赛跑比赛，比赛完毕后，小叶说：“我比叮叮跑得快。〞林林说：“我比小华跑得慢。〞叮叮说：“我前面有2个人。〞请根据他们的答复排知名次。【例４】〔第15届WMO世奥赛全国赛三年级复赛〕多思小学期末考试完毕了，〔1〕班的5位同学做了如下预测：刘一感觉自己考的不如陈二好；陈二感觉自己考的比张三好；张三感觉自己比李四好；李四感觉自己考的比刘一差；王五感觉自己考得比陈二差，比李四好。考试成绩出来后，每个人的感觉都是错的，而且成绩都不一样，那么考得最好的是谁导学：因为每个人的感觉都是错的，所以上面的5句话反映的成绩如下：刘一>陈二陈二〔〕张三张三〔〕李四李四〔〕刘一陈二〔〕王五〔〕李四所以考得最好的是〔〕。练习四1、爷爷的年龄比奶奶大，奶奶的年龄比外婆大。他们三人中，谁最大谁最小红皮球比白皮球大，蓝皮球比黄皮球大，但比绿皮球小，黄皮球比白皮球大，绿皮球比红皮球小。请你从小到大地排出各种皮球的顺序。归归纳小结做推理题时，要根据条件认真分析，为了找到突破口，有时先假设一个结论是正确的，然后验证它是不是符合所给的一切条件，假设没有矛盾，说明推理正确，否那么再换个结论来验证。一、达标训练1.有四个木盒子。蓝盒子比黄盒子大；蓝盒子比黑盒子小；黑盒子比红盒子小。请按照从大到小的顺度，把盒子排队。2.下面三块正方体的六个面都是按一样的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜色。请判断黄色的对面是什么颜色白色的对面是什么颜色红色的对面是什么颜色3.五个女孩并排坐着，甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离相等的座位上，戌坐在她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐二、变式训练1、张教师、王教师和李教师三位教师，其中一位教师教美术，一位教师教音乐，一位教师教书法。：张教师比教音乐的教师年龄大；王教师比教美术的教师年龄小；〔3〕教美术的教师比李教师年龄小。问：三位教师各教什么课2、刘玉、马明、王建三个男孩都有一个妹妹，六个人在一起打球，举行男女混合双打。事先规定，兄妹两人不搭伴。第一盘刘玉和丽丽对王建和小雅，第二盘王建和小花对刘玉和马明的妹妹。问：丽丽、小雅和小花各是谁的妹妹三、拓展训练1、五个一样的正方体木块，按一样的顺序在上面写上数字1—6，把木块叠成以以下列图，那么，2的对面是几4的对面是几5的对面是几〔★“第17届世界奥林匹克数学竞赛〔中国区〕选拔赛〞真题〕有红、黄、蓝三种颜色的球假设干，一样颜色的球的重量都一样，不同颜色的球的重量不一样，根据以以下列图判断三种球的重量关系，最重的是〔〕球=><学生：家长：第十讲巧求周长〔一〕围成一个图形所有外围的长度总和是这个图形的周长。求图形周长就是要把外围所有线段的长度相加，不能漏掉或重复计算某些线段。【例1】右侧图形的周长是多少导学：将FE向上移和CD一样平，DE向左移和AF一样平后，图形就变成了一个边长为6厘米的正方形了。周长：〔厘米〕。练习一50米50米1、以以下列图是一块小麦地,条件如图中所示50米50米2、以以下列图“十〞字的横与竖都长6厘米.问“十〞间的周长是多少厘米【例2】以以下列图是由三个一样的长方形纸片组成的一个“5〞字,长方形长4厘米,宽2厘米,“5〞字周长是厘米.导学：可以根据外围一圈把每一边的长度依次加起来即可。周长：〔厘米〕。练习二1、求以以下列图上“凹〞形的周长.单位:厘米11352、以以下列图是由假设干个相等的正方形组成的“土山〞两个字,每个正方形的边长是3厘米,这两个字的周长分别是厘米、厘米.【例3】一个正方形被分成了5个相等的长方形.每个长方形的周长都是40厘米,求这个正方形的周长是多少厘米?导学：要求正方形的周长，就要求小长方形的长和宽。根据小长方形的周长是40厘米，可知：长+宽=〔〕厘米；长=〔〕×宽；所以：长=〔〕厘米，宽=〔〕厘米。周长：〔厘米〕。练习三ABCD1、如图正方形ABCD的边长为4cm,每边被四等分ABCD2、把3个一样的长方形拼成一个大正方形，每个长方形的周长都是64厘米,求这个正方形的周长是多少厘米?【例4】把长2厘米，宽1厘米的长方形摆成如图的形状，求该图形的周长。导学：用一个大长方形把这个图形圈起来〔平移〕，这个长方形的长是〔〕厘米，宽是〔〕厘米。所以周长：〔厘米〕。练习四1、把边长分别是5厘米、4厘米、3厘米和2厘米的4个正方形按从大到小的顺序排成一行(如图),排成的图形周长是多少厘米?2、如图共有8条边，分别用a、b、c、d、e、f、g、h表示，要测量它的周长，至少要测量哪几条线段的长度归归纳小结对于一些不是长方形和正方形的多边形的图形，可以通过平移或者拼凑将它转化为长方形和正方形再求周长。达标训练1、以以下列图是一块地,四周都用篱笆围起来,转弯处都是直角.西边篱笆长17米,南边篱笆长23米.四周篱笆长多少240米A2、以以下列图是一个公园的平面图,A是公园的大门.问:小明从A门进公园,360米240米A3、用15个边长2厘米的小正方形摆成如以以下列图的形状,求图形周长是多少厘米?二、变式训练155405041、求以以下列图周长155405042、以以下列图是某建设物的设计图,如以下列图(单位:米)现根据需要在它周围绕电线一圈,试求需电线多少米?11111123344三、拓展训练1、将一张边长为12厘米的正方形纸对折,再将对折后的纸沿它的竖直中线(右图虚纸)剪开,得到三个矩形纸片,其中两个较小的矩形的周长之和是多少厘米?〔★“第十七届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛初赛〞真题〕把一块长90厘米，宽42厘米的长方形纸板恰无剩余的剪成边长都是整数厘米，面积都相等的正方形，最少能剪出正方形，这种剪法剪出的所有正方形的纸片的周长之和是厘米。〔答案：最少能剪出105个正方形，所有正方形纸片的周长之和是3780厘米〕学生：家长：第十一讲巧求周长〔二〕围成一个图形所有外围的长度总和是这个图形的周长。求图形周长就是要把外围所有线段的长度相加，不能漏掉或重复计算某些线段。1123611【例1】以以下列图是一个“干〞字形图形.两横均由长6厘米,宽1厘米的长方形构成,中间一竖是由长6厘米,宽21123611导学：观察图形，通过平移过后可知，是一个正方形，边长是6厘米。但还有四条边的长度没有计算。里面四条边的长度：〔6-2〕×2=8厘米。周长：厘米。2332.522332.521雪佛兰的车标如以下列图，计算它的周长。2、求以以下列图形的周长。33【例2】以以下列图是由10个边长为3厘米的小正方形组成.每个小正方形的顶点恰在另一个正方形的中心,且边相互平行,求这个图形的周长33导学：要求图形的周长，只需算出两边弯折的长度即可，可以数出来，每边共有18小段边长，两边就有18×2=36个小段，因为每两个小段的长度是3厘米，所以两边共长：36÷2=18厘米。再加上整边长，周长就是：18+3×4=30厘米。练习二1、一个边长是4厘米的正方形，沿边减去一个边长为2的正方形，所得到图形有几种情况，周长分别是多少35厘米30厘米2、以以下列图是一个零件的平面图,图中每一条最短线段均长5厘米.零件长35厘米,高30厘米35厘米30厘米【例3】把长2厘米,宽1厘米的长方形一层、二层、三层的摆下去,摆完十五层,摆好后图形周长是多少厘米导学：第一层有一个长方形，第二层有两个长方形，第三层有三个...，找到规律，第十五层就有十五个长方形，同样，用一个大长方形把这个图形圈起来。因此求这个多边形的周长就转化为求一个长为〔〕厘米，宽为〔〕厘米的长方形周长：〔厘米〕。练习三1、在4cm7cm的正方形网格(如图)中,所有正方形的周长的和是多少cm?2、把一块长20厘米,宽12厘米的长方形纸按以以下列图所示方法一层、二层、三层的摆下去,共要摆十层,摆好后图形周长是多少厘米归归纳小结对于一些不是长方形和正方形的多边形的图形，可以通过平移或者拼凑将它转化为长方形和正方形再求周长。一、达标训练2331、以以下列图“2332、以以下列图由5个边长8厘米的小正方形拼成的“T〞字形,它的周长是多少厘米3、以以下列图是一“环球游戏探险的隧道〞的平面图,一儿童沿隧道周游一周,他走了多少米?606050402单位:米二、变式训练1、以以下列图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是多少厘米ADBEFC2、如以以下列图所示,长方形长4厘米,宽2厘米.现沿其对角线BD对折得到一几何图形,ADBEFC三、拓展训练1、如图,在长方形ABCD中,EFGH是正方形.如果AF=10厘米,HC=7厘米,那么长方形ABCD的周长是厘米。AABCDEFGH〔★“第十八届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛初赛〞真题〕如右图，一张长方形纸片，长20厘米，宽16厘米，如果从这张纸片上剪下一个长10厘米，宽5厘米的长方形，而且至少有一边在原长方形上，那么，剩下纸片周长最大是多少厘米〔答案：剩下纸片周长最大是92厘米〕20厘米16厘米学生：家长：第十二讲面积计算解答有关“图形面积〞问题时，应注意以下几点：1.细心观察，把握图形特点，合理地进展切拼，从而使问题得以顺利地解决；2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。【例1】人民路小学操场长90米，宽45米。改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加了多少平方米导学：用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。操场现在的面积是平方米，操场原来的面积是平方米。所以，现在的面积比原来增加平方米。练习一1、有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米。如果长和宽分别减少10分米、3分米，面积比原来减少多少平方分米2、一块长方形地，长是80米，宽是45米。如果把宽增加5米，长减少10米，面积是增加了还是减少了，增加了或减少了多少【例2】一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米导学：由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方米〞可知，它的宽为米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米〞可知，它的长为米。所以，这个长方形原来的面积是平方米。练习二1、一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米；如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米2、一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米。求这个长方形原来的面积。【例3】右图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。导学：根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米。而宽是4米，那么长是米，占地面积是平方米。练习三1、右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。2、用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大【例4】街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米导学：把水泥路分成四个同样大小的长方形〔如以以下列图〕。因此，一个长方形的面积是平方米。因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是米。中间花坛的面积是平方米。练习四1、有一个正方形的水池，如以以下列图的阴影局部，在它的周围修一个宽8米的花池，花池的面积是480平方米，求水池的边长。2、大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形面积大96平方厘米〔如以以下列图〕。问大小正方形的面积各是多少归归纳小结解答有关“图形面积〞问题时，应注意以下几点：1.细心观察，把握图形特点，合理地进展切拼，从而使问题得以顺利地解决；2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。一、达标训练1、一块长方形铁板，长18分米，宽13分米。如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米2、一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米；如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米3、用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大二、变式训练1、希望小学操场长100米，宽50米。改造后，宽减少10米。要使面积不变，长应该怎么变化，变化多少2、四个完全一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形〔如图〕，大正方形的面积是64平方米，小正方形的面积是4平方米，长方形的短边是多少米三、拓展训练1、一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形〔如图1〕，面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少〔提示：如图2〕图1图2图1图2〔★“第十七届世界奥林匹克数学竞赛〔中国赛区〕选拔赛〞真题〕汤姆叔叔想买边长为20厘米的正方形瓷砖来覆盖一个长6米和宽4米的矩形地面，一共需要多少块瓷砖〔答案：一共需要600块瓷砖〕学生：家长：第十三讲最正确安排我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗合理地安排时间，往往会到达事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最正确安排。最正确安排问题是小学阶段建设统筹思想的初步，能够引导孩子们养成思考的全面性，从最优的方面去考虑任何一件事情。解决问题此类问题时，必须树立统筹思想，能同时做的事，尽量同时做。【例1】用一只平底锅煎鸡蛋，每次只能放两个，煎一个需要2分钟，〔规定正反面各需要1分钟〕。问煎鸡蛋三个至少需要多少分钟练习一1、烤面包，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小丽用烤面包架子一次只能放两片面包，最少需要烤多少分钟2、小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放四张大饼，烙一张要4分钟〔每面各需要2分钟〕，可小华烙六张饼只用了6分钟，他是怎么做的【例2】妈妈让小明给客人好、烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟。为了使客人早点喝上茶，你觉得最合理安排，多少分钟后就能沏茶了练习二1、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。为了尽快做完这些事，最少需要几分钟2、在早晨起床后的1小时之内，小欣需完成以下事情：叠被子3分钟，刷牙洗脸8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗筷擦桌子5分钟，收听播送30分钟。为了尽快做完这些事，应怎样安排才能使所用的时间最少最少需要多少分钟【例3】五一班赵明、孙勇、李佳三位同学到达卫生室，等候医治，赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水只需要1分钟，卫生室只有一位医生。问校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的总时间和最短并算出这个时间。练习三1、甲乙丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打水。热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以是他们打水所花的总时间〔包括等候的时间〕最少〔假设打满1瓶水需要1分钟〕2、甲乙丙丁四人同时到1个水龙头处用水，甲洗拖把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶接水需要1分钟。怎样安排四人用水次序，使他们所花的总时间最少最少时间是多少【例4】用长18厘米的铁丝围成各种长方形，要求长宽的长度都是整数，再比较他们面积的大小。练习四1、用长26厘米的铁丝围成各种长方形，要求长宽的长度都是整数，围成的长方形的面积最大是多少2、一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整数。这个长方形的周长最长是多少厘米归归纳小结1.解决问题时，能同时做的事，尽量同时做，这样才能最大限度的节省时间。2.解决有些问题时，必要的时候可以用讨论的方法找出最优的情况。一、达标训练1、贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟2、小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间5分钟，把衣服和水放入洗衣机要1分钟，洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟。怎样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了3、甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一台收割机进展收割，甲的麦地需要收割4小时，乙的麦地需要收割1小时，丙的麦地需要收割3小时，丁的麦地需要收割2小时。怎样安排四人的顺序，他们花的总时间最少最少时间是多少二、变式训练1、小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面要1分钟，可小红烙6个饼只用了5分钟，她是怎么做的2、用3—6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大三、拓展训练1、在一条公路上每隔50千米有一个粮库，共4个粮库。甲粮库存有30吨粮食，乙粮库存有20吨粮食，丁粮库存有40吨粮食，还有一个粮库丙是空的。现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行2、〔★“第二十届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛初赛〞真题〕小明有多张面额为1元、2元和5元的人民币，他想用其中不多于10张的人民币购置一只价格为18元的风筝，要求至少用两种不同面额的人民币，那么，不同的付款方式有多少种〔答案：不同的付款方式有11种〕学生：家长：第十四讲抽屉原理〔一〕今天我们讨论的是一个简单的道理：如果把5个苹果放到3个抽屉中，那么不管怎么放，总有一个抽屉中放了不少于2个苹果；如果把4只兔子放进3个笼子里面，一定有一个笼子至少有2只兔子。以上的例子告诉我们，只要给你的“苹果〞数量比“抽屉〞数量多，就可以得到同样的结论。这些例子所表达的数学原理就是抽屉原理。【例1】把5个苹果任意放到4个抽屉里去，可以有多少种放法你发现了什么是否总有一个抽屉放进了2个或2个以上的苹果导学:我们列表来解决：放法抽屉抽屉1抽屉2抽屉3抽屉4①0005②0014③0113④⑤从表可知，一共有〔〕种放法，其中抽屉4放的苹果个数至少都是〔〕个，所以把5个苹果任意放到4个抽屉里去，至少有一个抽屉放进了2个苹果。练习一1、把4只铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒至少有几只铅笔2、把6只鸡放进5个鸡笼，至少有一个鸡笼要放进几只鸡【例2】把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢如果有8本书会怎么样呢10本书呢导学：同样的我们先用表格来填一填：①007②016③025④034⑤115............从表中可看出，无论怎么放，始终有一个抽屉至少有〔〕本书。因为让我们求“至少〞，所以尽可能的让每个抽屉平均分，也就是7÷3=2〔本〕......1〔本〕那么剩下的1个也要放进3个抽屉中的一个抽屉，所以至少有一个抽屉有2+1=3本书。同样的如果有8本书：8÷3=2〔本〕......2〔本〕，2+1=3〔本〕如果有10本书：，〔本〕练习二1、把25个苹果分给班上表现优异的6个孩子，那么总有一个孩子至少要得到多少个苹果2、有3个男同学和一个女同学一起练习投篮，他们一共投进了18个球，那么一定有一个同学至少投进了几个球【例3】数学小组有13个同学，王教师说：你们13个人中至少有两个人出生的月份是一样的。试说明这是为什么导学：这里把13个同学当做苹果〔总数量〕，月份当做抽屉。其中一共有〔〕个月，即有〔〕个抽屉。所以13÷〔〕=〔〕〔个〕......〔〕〔个〕〔〕+〔〕=〔〕〔个〕练习三1、三年级有32名同学是在2月份出生的。试说明至少有2个名朋友是在同一天生日。2、三〔3〕班有50名同学，至少有几名同学是在同一个月出生的【例４】25名同学参加课外兴趣交流活动，其中有朗读、绘画和音乐三个工程。每人只能参加一项活动。那么至少有几名同学参加的活动一样练习四：1、27个孩子参加篮球、足球、排球和羽毛球的训练，每人只能选择一样，至少有几个孩子选择的工程一样2、小美方案在8月份练习写大字，每天练一篇，每篇的字不一样，共9篇，至少有几天写的大字是一样的归归纳小结解决抽屉原理相关问题，关键是选好什么作为“苹果〞，什么作为抽屉。抽屉原理一：如果把多余n个的物体〔至少有n+1个〕放进n个抽屉里面去，那么至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。抽屉原理二：把多余kn个的物体任意放到n个抽屉〔k是正整数，n是非0的自然数〕，那么一定有一个抽屉至少放进了〔k+1〕个物体。一、达标训练1.三〔1〕班有49名同学，能否有5个人在同一个月过生日〔说明理由〕2.有100位旅客，只有99个单人间，每人都要入住，那么至少有一个房间有多少位旅客3.箱子里有15个苹果和12个梨，分给6位小朋友，如果由你来分，你会怎么分至少有一个小朋友分得几个苹果二、变式训练1.某校低年级有367名学生，都是在2008年出生的，那么至少有2名学生在同一天里过生日。你知道为什么吗2.要在长35米的小路两旁插上68面彩旗〔相对对齐〕，试说明：不管怎么插彩旗，至少有两面彩旗之间的距离超过1米。三、拓展训练1、学校买来一些故事书、科技书和连环画书分发给122名同学，每名同学最多只能选其中的两本或者一本，也可以不要。那么至少有几名同学选的书本种类完全一样2、〔★“2012年希望杯数学竞赛初赛试题〞真题〕一个口袋中有5枚面值1元的硬币和6枚5角的硬币，小明随意从口袋里6枚，那么，这6枚硬币的面值和有几种〔答案：6种〕学生：家长：第十五讲抽屉原理〔二〕今天我们讨论的是一个简单的道理：如果把5个苹果放到3个抽屉中，那么不管怎么放，总有一个抽屉中放了不少于2个苹果；如果把4只兔子放进3个笼子里面，一定有一个笼子至少有2只兔子。以上的例子告诉我们，只要给你的“苹果〞数量比“抽屉〞数量多，就可以得到同样的结论。这些例子所表达的数学原理就是抽屉原理。【例1】一个布袋里装有红色、黄色、蓝色袜子各5只。问：一次至少取出多少只袜子才能保证每种颜色的袜子至少有一只导学：〔1〕要保证每种颜色的袜子都要有，要从最坏的情况下去考虑。〔2〕如果先取的5只袜子全是红色的，那么只好继续取。〔3〕如果接着取的袜子又全是黄色的5只后，还没有每种颜色都有，而剩下的只有蓝色的袜子了。所以只要再取一只，就一定能保证每种颜色都有。所以共需要取：〔只〕。练习一口袋中有三种不同颜色的筷子各10根，问：1、至少取出多少根才能保证三种颜色都能取到2、至少取出多少根才能保证有2双颜色不同的筷子3至少取出多少根才能保证有2双颜色一样的筷子【例2】三年级〔1〕班有56位同学，现有故事书、科技画报和漫画书分给大家看，规定每人至少拿一本，最多拿两本。问：至少有多少位同学拿的书的种类是一样的导学：要求每人至少拿一本，最多拿两本。现有故事书、科技画报和漫画书三种，共有以下的的拿法：〔故〕；〔科〕；〔漫〕；〔故、科〕；〔、〕；〔、〕；〔、〕；〔、〕；〔、〕；这9种情况。把这9种情况当做9个抽屉，相当于把这56位同学“放进〞这9个抽屉里面去：所以：答:至少有〔〕位同学拿的书的种类是一样的。练习二1、三年级美术兴趣班共73名同学，其中年龄最大的11岁，年龄最小的10岁。试证明：这个兴趣班至少有4名同学是同年同月出生的。2、篮子里有苹果、芒果、石榴和橘子，现有94个小朋友。如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是一样的【例3】将每一个小方格涂上红色、黄色或者蓝色。〔每一列的三个小格的颜色不一样〕，不管如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式一样，你同意吗导学：要求每一列的涂色方式不一样，那么一共有多少种呢我们来试一试：红红蓝黄蓝黄蓝黄红也就是说涂色方式一共只有〔〕种，相当于〔〕个抽屉。所以：，所以不管怎么涂，至少有两列的涂色方式一样。练习三1、有181人去旅游，有A、B、C、D、E五个景点可供选择，每个人只会去一个或者两个景点，请问至少有多少个人去的景点情况一模一样2、从1,2,3，,100中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除【例４】〔华罗庚杯数学邀请赛初赛试题〕自制的一副玩具牌共计