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文档简介
【考纲解读】1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.同角三角函数基本关系式(1)平方关系:
.(2)商数关系:
.sin2α+cos2α=1提示:正确理解“同角”的含义:只要是“同一个角”,那么基本关系式就成立,不拘泥于“角的形式”,例如:sin2+cos2=1等都是成立的,但sin2α+cos2β=1就不一定成立.2.诱导公式α函数sinαcosαtanαα+2kπ,k∈Z
-απ+απ-αsinαcosαtanα-sinαcosα-tanα-sinα-cosαtanαsinα-cosα-tanαα函数sinαcosαtanα2π-α-α+α-α+α-sinαcosα-tanαcosαsinαcosα-sinα-cosα-cosα-sinαsinα【思考】
请你叙述一下如何把任意角的三角函数化为锐角三角函数?答案:1.(2009·全国Ⅰ)sin585°的值为 (
)
解析:sin585°=sin(360°+225°)=sin225°=sin(180°+45°)=-sin45°=-答案:A2.α是第四象限角,cosα=,则sinα=(
)解析:∵α是第四象限角,∴sinα<0,
∴sinα=-答案:B3.sin2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为
(
)
A.1 B.2sin2α C.0 D.2解析:原式=(-sinα)2-(-cosα)cosα+1=sin2α+cos2α+1=1+1=2.答案:D4.(2009·北京卷)若sinθ=-,tanθ>0,则cosθ=________.解析:∵sinθ=-<0,tanθ>0,∴θ在第三象限,∴cosθ=-1.三角函数式化简的一般要求是:三角函数名尽量少,项数尽量少,尽量使分母 不含三角函数式,能求出具体值的必须求出值.三角函数式的化简过程通常遵循 一定的原则,如切割化弦、化异为同、化高为低、化大为小、从繁到简等.2.求三角函数式的值. (1)已知一个角的某个三角函数值,求出这个角的其他5种三角函数值.要注意公 式的合理选择,利用平方关系时,要特别注意符号的选取.这也是分类讨论的标 准.(2)关于sinα,cosα的同次式可化为正切处理.【例1】解:原式=∵sinαcosα<0,sinαtanα<0,∴α是第二象限的角,∴是第一或第三象限的角,当
是第一象限角时,cos>0,∴原式=
;当
是第三象限角时,cos<0,∴原式=-.若sinαcosα<0,sinαtanα<0,化简思维点拨:由已知条件确定
的范围,再把被开方式化成完全平方式,脱掉根号,去掉绝对值号.变式1:(1)(2009·陕西卷)若tanα=2,则
的值为 (
)解析:原式=答案:B(2)(2009·辽宁卷)已知tanθ=2,则sin2θ+sinθ·cosθ-2cos2θ=(
)解析:原式=答案:D利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.【例2】
化简.思维点拨:对k分奇数和偶数两类后,正确使用诱导公式求解.解:当k为偶数2n(n∈Z)时,当k为奇数2n+1(n∈Z)时,∴当k
∈Z时,原式=-1变式2:已知f(α)=(1)化简f(α);(2)若α是第三象限角,且cos 求f(α)的值.解:(1)f(α)=对于sinxcosx,sinx+cosx,sinx-cosx借助平方关系可知一求二,如(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx;若令sinx+cosx=t,则sinxcosx=(sinx-cosx)2=2-t2等.【例3】
已知-<x<0,sinx+cosx=(1)求sinx-cosx的值;(2)求
的值.解:(1)由sinx+cosx=平方得,1+2sinxcosx=∴2sinxcosx=-
(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=又∵-
<x<0,∴sinx-cosx<0,即sinx-cosx=-(2)由(1)得∴sinx=-,cosx=已知sin
θ+cosθ=,且
则cos2θ的值是________.解析:由已知sinθ+cosθ=
,①得2sinθcosθ=∴cosθ<0,sinθ>0.(cosθ-sinθ)2=则sinθ-cosθ=由①②知cos2θ=cos2θ-sin2θ=-变式3:【方法规律】1.进行三角函数式的恒等变形,要善于观察题目特征,灵活选择公式,通过三角变 换达到化异为同的目的.
2.掌握三角变换的常见技巧:(1)1的代换;(2)sinα+cosα、sinα-cosα、sin αcosα三个式子中,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.若已知sinα+cosα=p,sinαcosα=q,则可消去α,求出关系式1+2q=p2;(3)关于sinα, cosα的齐次式可化为关于tanα的式子.
3.诱导公式的记忆方法是:函数名不变、符号看象限(或奇变偶不变、符号看象限).(12分)若sinθ=
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