【创新设计】2011届高三数学一轮复习 8-8抛物线课件 文 苏教版

掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质．第8课时抛物线1．高考对抛物线的考查时常出现，主要以抛物线定义的灵活运用、求抛物 线的标准方程、抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系为主．2．题目类型有求抛物线的方程，求焦点的坐标，求抛物线的参数值或有关 参数的取值范围等，对抛物线的考查有时也会与椭圆、双曲线、数列等 相结合．3．抛物线是近几年高考考查的热点，抛物线定义、几何性质多在填空题中出 现．标准方程的求解通常由待定系数法、定义法及轨迹法解决．【命题预测】

1．抛物线定义中的“平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相 等”这个等量关系可以使解题过程简捷，应注意体会．用待定系数法求抛物线方程，就是根据题设中的条件建立p的方程，求出p的值．注意当不能确定抛物线焦点所在的坐标轴时，要分类讨论．2．利用好抛物线的准线方程及焦半径公式，是解决过焦点问题的一个重要途径，应熟练掌握并能灵活运用．焦点弦是比较特殊的线段，应能正确地把握住焦点弦的特点并进行相关问题的解答．求焦点弦的长时，设直线与抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，可用公式|AB|＝x1＋x2＋p求解．【应试对策】3．抛物线与向量联系使解析几何与向量有机地结合起来，不仅增加了题目难度还增加了灵活度，是近几年高考的重点考查内容．将抛物线的几何性质与导数的几何意义、基本不等式求最值、其他圆锥曲线等知识融于一体，考查运用所学知识分析、解决问题的能力，也是高考重点考查内容．抛物线的几个重要结论1．以焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切．所有这样的圆过定点F，且准线是它们的公切线．2．以焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于对称轴的直线相切．所有这样的圆过定点F，且过顶点垂直于对称轴的直线是公切线．【知识拓展】3．以焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切．所有这样的圆的公切线是准线．4．抛物线y2＝2px上的动点可设为P或P(2pt2,2pt)或P(x0，y0)，其中y＝2px1．抛物线的定义

平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做

，定点F叫做抛物线的

，定直线l叫做抛物线的

．2．抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)抛物线焦点准线标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)图形性质范围

准线方程x＝x＝焦点对称轴关于

对称顶点离心率e＝焦半径MF＝MF＝x轴(0,0)1x≥0，y∈Rx≤0，y∈R标准方程x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围准线方程y＝y＝焦点对称轴关于

对称顶点离心率e＝焦半径MF＝MF＝y≥0，x∈Ry≤0，x∈Ry轴(0,0)1思考：在求抛物线方程时，怎样建立坐标系才能使抛物线方程是标准方程？提示：在求抛物线方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样求出的方程是标准方程．1．(2010·洛阳市高三测试)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＝1的右焦 点重合，则p的值为________． 解析：抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为(2,0)，由题知，＝2，

∴p＝4. 答案：42．已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p的值为 ________． 解析：抛物线的焦点为.由＝5，得p＝4. 答案：43．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________． 解析：抛物线的准线方程为x＝－，则|1＋|＝3，∴m＝8或m＝－16， 故抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x. 答案：y2＝8x或y2＝－16x4．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为________． 解析：由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到 F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y. 答案：x2＝8y5．抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为________． 答案：(0，)1．抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化．2．利用抛物线的定义可以求抛物线的标准方程．【例1】过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F任作一条直线m，交抛物线于P1、P2

两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切． 思路点拨：利用抛物线的定义证明圆的圆心到抛物线的准线的距离等于圆的半径．证明：设P1P2的中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q0，根据抛物线的定义，得P1F=P1Q1，P2F=P2Q2，∴P1P2=P1F+P2F=P1Q1+P2Q2.∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，P1P0=P0P2，∴P0Q0=(P1Q1+P2Q2)=P1P2.由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l.因此，圆P0与准线相切．

解析：过P作PK⊥l(I为抛物线的准线)于K，则PF=PK.∴PA+PF=PA+PK.∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，PA+PK最小．此时P点的纵坐标为1.把y=1代入y2=-4x得x=-，即当P点的坐标为时，PA+PF最小．

答案：变式1：已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使PA＋PF取得最小值，P点的坐标是________．抛物线上一点与焦点F连线的线段叫做焦半径．过焦点F的直线与抛物线交于A，B，则线段AB称为焦点弦．通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫抛物线的通径，通径长为2p，这是标准方程中2p的一种几何意义，而p的几何意义则是焦点到准线的距离．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：标准方程焦半径AF焦点弦长ABy2＝2px(p>0)AF＝x1＋AB＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)AF＝－x1AB＝p－x1－x2x2＝2px(p>0)AF＝y1＋AB＝p＋y1＋y2x2＝－2py(p>0)AF＝－y1AB＝p－y1－y2【例2】求抛物线y2＝2px的焦点弦长的最小值． 思路点拨：设焦点弦所在直线AB的倾斜角为θ，把直线AB的方程 写成ycosθ＝sinθ，焦点弦长用θ表示，根据θ的取值求最值．解：设焦点弦所在直线的倾斜角为θ，则直线AB的方程为ycosθ=sinθ，如右图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得sin2θx2-p(2cos2θ+sin2θ)x+sin2θ=0，∴x1+x2=.∴AB=AF+BF=x1+x2+p=，∴当sin2θ=1，即θ=时，AB取最小值2p.变式2：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，引两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最小值． 解：由方程组,得4k2x2－4p(k2＋2)x＋p2k2＝0. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，由公式AC＝|x1＋x2|＋p，得AC＝x1＋x2＋p

＝， 同理可得BD＝2p(k2＋1)．∴四边形ABCD的面积S＝

AC·BD＝＝2p2≥8p2，当且仅当k2＝，即k＝±1，Smin＝8p2.复习中应紧抓抛物线的定义、标准方程及几何性质．(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，此时a不具有p的几何意义．(2)抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径，焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化．【规律方法总结】(3)求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，为避免开口不一定而分成y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)两种情况求解的麻烦，可以设成y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)，若m＞0，开口向右；m＜0，开口向左；n＞0，开口向上；n＜0，开口向下，因此抛物线的标准方程有四个.

【例3】

(2009·福建卷)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直 线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________. 分析：根据条件写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后根据直线被曲线所截得的弦长公式求解．【高考真题】规范解答：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知过焦点的直线方程为y＝x－，与抛物线方程联立，得

，消元后得x2－3px＋＝0.又AB＝· ＝8，解得p＝2.答案：2

本题属于以考查解析几何的基本方法为主的常规试题，试题可以看做是对教材题目的适当加工改造，如人教A版选修2－1第二章2.4.2的练习第3题：过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2＝4x于A，B两点，求AB.类似试题也经常出现在往年的高考中，如2007年宁夏、海南卷：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有【命题探源】【全解密】A．FP1＋FP2＝FP3 B．

C．2FP2＝FP1＋FP3 D．

答案：C

抛物线焦点弦的主要性质：抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长AB＝x1＋x2＋p.同样对于抛物线y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py，也可得到类似的性质．【知识链接】抛物线焦点弦长的求法求抛物线的焦点弦长有两种方法：一是根据直线被二次曲线所截得的一般的弦长公式；二是根据抛物线的焦点半径直接得到弦长，用前面的方法在使用根与系数关系整体代入时要用到两根之和和两根之积，用后面这个方法仅仅用到两根之和，还省去了开方的麻烦，故在求抛物线的焦点弦长时一般是用后面这种方法．【方法探究】

根据抛物线的焦点半径，可得到AB＝x1＋x2＋p＝3p＋p＝8，即p＝2.本题在用一般的直线被二次曲线所截得的弦长公式解答时，消掉x解题更为简单，这是因为本题中的抛物线方程中，x是一次的，但要注意此时的弦长公式也发生了变化．求解抛物线问题最容易出现的错误就是把焦点坐标、准线方程弄错，解题时一定要注意，千万不要弄错了符号或是漏掉了分母2.

【发散思维】【技巧点拨】【误点警示】点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.分析：证直线AC经过原点O，即证O，A，C三点共线，为此，只需证kOC＝kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决．1．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，证明：证法一：设直线AB：x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.由根与系数关系，得yAyB＝－p2，即yB＝－.∵BC∥x轴，且C在准线x＝－上，证法二：如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D，则AD∥EF∥BC，连接AC交EF于点N，则，.∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴|EN|=