第一章计数原理23《排列组合的应用》课时1

1.1.3排列组合的应用（一）（1）使学生掌握组合数的计算公式、组合数

（2）会用排列数公式和组合数公式解决实际问题.

（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力.本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.

对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.3.排列数公式:4.组合数公式:1.排列的定义:排列与组合的区别与联系:与顺序有关为排列问题,与顺序无关的为组合问题.有限制条件的排列组合综合问题是主要考查方向．解决此类问题要遵循“谁特殊谁_______”的原则，采取分类或分步，或用间接法处理；对于选排列问题可采用先____后______的方法，分配问题的一般思路是先__________再分配．有限制条件的排列组合问题优先选排选取有限制条件的排列组合问题常用方法一、直接法1.优限法：先特殊后一般2.捆绑法：元素相邻3.插空法：元素不相邻二、间接法（排除法）4.其它方法：元素限制条件多一、直接法有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为“优限法”.画龙点睛：特殊元素和特殊位置优先策略1.优限法：例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有________

然后排首位共有______最后排其它位置共有_______由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。B

（1）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？BAA解：A在B左边的一种排法必对应着A在B右边的一种排法，所以在全排列中，A在B左边与A在B右边的排法数相等，因此有：排法。（种）例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。BA例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。

（1）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？（2）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？AB解：A，B两小孩的站法有：（种），其余人的站法有（种），所以共有（种）排法。例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。变式1.

将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（）.（A）120种（B）96种（C）78种（D）72种解：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？练习题1例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。(3)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有种排法，而三个女孩之间有种排法，所以不同的排法共有：（种）。捆绑法例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。(4)若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）捆绑法一般适用于问题的处理。相邻一、直接法2.捆绑法：用于解决元素相邻问题例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.变式1.

7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法=480解：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.练习1.解：共有种不同的排法.5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（5）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有

种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有种方法，所以共有：（种）排法。插空法例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（5）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？（6）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？不同的排法共有：（种）插空法一般适用于问题的处理。互不相邻例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。一、直接法3.插空法：元素不相邻宜采用插空法变式1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有

种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种

不同的方法,

由分步计数原理,节目的不同顺序共有

种.相相独独独元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端变式1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为

.

30练习1:（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：插空法：课堂练习:解：将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有种，再将７、８插入4个空位中的两个有种，故有种．（3）用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）（4）七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（

）种.(A)960种（B）840种（C）720种（D）600种解：另解：（5）学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？解

先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为种.结论

插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.实际问题转化排列问题求排列数（建模）求数学模型的解得实际问题的解以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.有限制的排列问题限制条件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：(1)直接法1.优限法：先特殊后一般2.捆绑法：元素相邻3.