2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总-将军饮马问题及其11种变形汇总

2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇丿——将军饮马专题古老的数学问题"将军饮马”，“费马点"，"胡不归问题"，“阿氏附等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目.常常出现在填空题圧轴题或解答题压轴题中，那么如何股解这类压轴题呢？【问题概述】最短路径问题是图论研宪中的一个经典算法问题.旨在寻找图（由结点和路径组成的〉中两结点之间的是短路径.算法具体的形式包括；1•定起点的最短路径问題，即已知起始结点，求最短路径的问题.2.确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求龄短路径的问题.3•定起点终点的杲短路径佝题：即己知起点和终点，求两结点之间的最短路径.4.全局最短路径问题：求国中所有的垠短路径.【问题JM型】“将军饮马”.“造桥选址”。【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”.【出溜背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圈、坐标轴、抛物线等.【解題思踣】“化曲为直”禺型一M两定一动，偷过敌营.【问題1】作袪作图Q原理QA■i在直线I上求一点P,建RA^PB值最小。连曲，与/交点即为P.A、B两直之闾线段最短-P4-PB最小值为AB.題型二两定一动，将军饮马.【问題2】"将军饮马”作法.作图2原理*•B；左立线1上求一点P,使EAPB佰最小.作万关于丿的对称点B'遙ABr,与/交点即为P.A两点之间线段最短.刃-PB最小值为AB^/>・；

例h如图，AMJLEF,BMEF,垂足为H、N,MN=12tn.AM=5m,BN=4imP是EF上任总一点.则PA+PB的棗小值是m.分析斗这是最基本的将军饮马问题,A,B是定点，F是动点，屈于两定一动将军饮马型，根据常见的”定点定线作对称”.可作点A关于EF的对弥点机根据两点之间，线段最短，连接WB,此时AT+PBHU为炸,最短.而要求A'B,则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决.解答J作点A关于EF的对称点过点"作AT1BN的延长线于C・易知O=M[=NC=5m.BC=9m.NC=MN=12ftb在RtA/VBC中•MB=15ib,即PA+PB的最小值是15m.S/K丿、✓KX?f/pAi\L9A9C例2,如图.在等边Z\ABC中，AB=点.且AE=2,求EM+EC的最小值解：点C关于直线AD的对称点是点连接BE,交AD于点则ME+MD小.过点B作BH丄AC于点H,则EH=AH-AE=3-2・CH2=&2-?2=3不在直角△PHE申，PE=JBH2十HE2=J(3\r(3))2+12=2&对应练习JE1.如图，在ZiABC中,AC=BC=2,ZACB=90°,D是BC边的屮点.E是AB边上一动点.则EC+ED的摄小值是-2•在菱形ABCD中，对角线AC=6,点E、F分别是边A取就的中点，点P在AC上运动.在运动过程中，存在PE+PF的最小值.则这个最小值是.3.如卧点C的坐标为（3.y\当AABC的周长最短时.求y的值。AD3DOOBQ2D0DBQ2D0D4・如图，正方形ABCD的而积是12,△ABE是等边三角形•点E在正方形ABQ）内.在对角线AC上有一点F,则PD+PE的最小值为。題型三,两动一定，无路可逃。【问题3】作法作图原理/.在直线11■12上分别求点、人N,使的周长最小.分别作点P关于两直线的対称点P'和r\tp‘p\与两直线交点即为MN.•••••厂两点之间绽段最短.PW'ZPN的最小值为线段0P,f的长。例1：F为JOB内一定点.N分别为射线OA,0B上一点.当APMN周长最小时，△旳=80二⑴ZAOB=o(2)求证：0P平分乙MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将\l，N的位置找到，再来思考zAOB的度数，显然作点P关于0A的对称点F,关于0B的对称点FS连接FP",其与0A兗点即为虬0B交点即为N,如下图，易知厶DPC与厶AOB互补，则求出厶DPC的度数即可.解答扌(1)法1,如图，Zl+z2=100\"=ZPTZ3=2ZXZ2=zr+z4=2z4,则乙3十厶1=50°.ZDPC=13OSZAOB=5(T・A再分析£考虑到笫二小问要证明0P平分dIPN,我们就连接OP,则要证Z5=Z6,显然很困难，这时候,考虑到对称性，我们再连接0P'・OPS则z5=z7.z6=z8.问题迎刃而解.(1)法2?易知0r=0r.r7+z8=z5+z6=80\^or=100\宙对称性知，乙9=乙1匚乙10=乙12,乙AOB=/9+JO=50°(2)由OP=OP\zP0L=100•知,・z7=z8=40*,Z5=Z6=4O\0P平分zMPhLOP=6,OP=6,当厶PMN的周长最小值为例2:如图.在五边形ABCDE中.厶BAE=136SzB=zE=90r在BC、DE上分别找一点旅N,使得心HN的周长礙小时，则ZAMN+ZANM的度数为・分析7这又是典型的一定两动型将军饮马问题•必然是作A点关于BC、DE的对称点A，、.V,连接MA笃与BC、DE的交点即为4ANN周长最小时从N的位垃.解答：如图,•么BAE=136爲・・・dbYA+zNA"A=4,由对称性知「zMAA*=zMArA.AAJT=zNA/rA.Z/W+zANM=2z.M.YA+2zNAwA=88°对应练习慝1.如图，ZA0B=30°,ZAOB内有一定点P.且0P=10.在OA上有一点匕0B上有一点R°若厶PQR若厶PQR周长最小.则最小周长是名少？2•如国，ZAOB=30°.点N分别是射线OA、OB±的动点，OP平分NAOB,且3.如图，ZM0N=40°,P为△册内一定点小为OH上的点，B为ON上的点•当APAB的周长取最小值时；（1）找到爪B点，保留作图痕迹；（2）求此时ZAPB等于多少度。如果ZM0N=<9,ZAPB又等于多少度？4•点C为"0B内一点.（1）在0A求作点D,08上求作点E.使的周长最小.请画出图形：（2）在（1）的条件下，若ZAOB=3Q^■OC=lO.求bCDE周长的最小值和此时NDCF的度敌.题型四t两定两动，双双落网.

【问题4】作法、作图、:原理1△在直线h、h上分别求点M、N■使四边形P00的周长最小。分别作点Q、P关于玄线h、k的对称点Q*和Pf連Q‘P\与两宜线交点即为ALN.••两•点之间线段最短・四边形POMN周长的最小值为线段O9P9的长。加上Q卩的长，：•例b己知A(乙4)、B(4,2).C在y轴上，D在*轴上，则四边形ABCD的周长最小值九・此时C、D两点的坐标分别为・题型五£两定一动，造桥选址。【问題5】•储桥选址”、作图原理••W—m•b言线m/7n1Em%s「上分别求点M、心使MN丄m,£AM-MN-BN的直最小.将点H向下平移」£V的长度单位得-1'.逹-4'B,交■于直M过.V作剂于V•、B两点之间线段星短./炉胚45V的最小值为Af・例X如丙.A和B两地在一条河的两岸•现要在河上造一座桥乔早在何处才能使从A到B的路径AWB最短？（假定河的两岸是平行的直线.桥要与河垂直）•B解：如图.平移A到加使AAj等于河宽.连接AlB空河岸FN作桥MN.此时路径AM+MN+BN最短.理由：另任作桥M.N|,连接AM,.BNlAiNj.由平移性质可知「AM=A[N,AA|=MN=M】Ni，AM,=AiNi.AM+MN*BN转化7JAA!+A,B>而AMi+M.N.+BN】转化为AAi+A[N[+BN[・在△A.N]B中.由线段公理知AjNi+BX^AlB因此AM|+MiNi+BNi>AM+MN+BN例2:如图.叭n是小河两岸.河宽20米.A.B是河旁两个村.庄,要在河上造一座桥，要便A、BZ何的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？简析；桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽.此时转化成n上的一点到A、B的路径Z和最短.即转化为定点A'到定点B的屋短路径〜如下国，思路泉把动线AM平移至A'*A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径°不题的关键是定长线段皿把动线段分隔・此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径.也可以把点B向上平移20米与点A连接。例3：如图，CD是直线尸x上的一条定长的动线段，且CD=2,点A（4,0）,连接AC.AD.设C点横坐标为m,求皿为何值时.△ACD的周长最小，并求出这个最小值。解忻：两条动线段AC、AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定形（点线圖》应在动点轨迹的两侧。首先把AC沿直线CD翻折至另1侧.如下图：现在把周长转化为A5C+CD+AD,还需解决一个问僵动线段NC与AD之间被定长线段CD阻斯，动线段必须转化成连续的路径。同上题的道理.把XC沿CD方向平移CD的长度即可，如下RK现在己经粋化为的虽短路径问题.属定点到定点，当心D与AD共线时A—D+AD最短.即为线段AA''的长。对应练习J81.荆州护城河在CC'处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，潘经过两座桥DM、EEr,护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位且，可使A到B点路径最短？IK^Al两足一动，投故更国a【何豐昏¥fffe作囹JR理…r…丄t騒卫N在直红.'上求商点XLVLU圧左)，連堀…井便■昭、fy~ys的彊最小”洛直-4旬右甲移«:t长奩单也得£•作屮黄于I阳描直連jT乩交直线J予盍祐将y点向左平移.亍单也睿MJ屮K4f两点之掏践段最短./M-AL4EV的最小也询JTf班泅r例1：如圏1茶抛物线戶获+加中上3。嗣顶点为＜U-0,兗只轴于芯乩交y轴TD,其中B点的坐标酣＜3,0)・＜13琅抛物践的解祈式⑵如图M.过点A射曲线9拋物线交-J'-AE.査丫轴n其中E点的橫坐标为虫若直域Pa为抛物线的对称抽.点©为PQ上一动点，H1M上是否存在一点H,ft九0RH阴世隔成的四边形周衽最小.若存在.或出这举最止值及G、H的坐标：泊爪存在，请说明理由.⑴如罔1玉拋物线上星否存在一点T,ilAT^xflW^.垂绘为衲・过白制作直统MN7BD,交线矗AD于沁连接加・ttADNM-iBMD.若存在「求出点T的坐标；若不荐礼说明理由.例2：在平而直角坐标系中，A.8两点的坐标分别为J(3,2),B(l,5).<D若点P的坐标为(0/7),当力=—时，41〃的周长最短；(2)若点Q、D的坐标分别为(0卫)、(0口十4),则当时，四边形ABDC的周长展短.对应练习题1：己知点A(3,4)•点B为直线尸一1上的动点.设B(-1,y).(i)如图1,若点C<x.0>且一l<x<3,BC丄AC,求y与x之间的函数关系式；<2)在(1)的条件下，y是否有最大值？若有，谙求出虽大值；若没有，请说明理由；(3)如图2,当点B的坐标为(一1,1)时，在x轴上另取两点E.几且EF=1.线段EF图1图2jK型七*两动一疋.突出重围-【网題H惟图原理h/££在k上求点丄主h上計点耳厦PA-AB值址小.作点P关于［(的对称点PT,作PTB丄匕干吐交h于A.v/|.F「点到直親，垂絃段長短41尸十討贞折tl战：N为ASBH例L抑圏.在血ABC中，胡=皈=乳D为BC中晝，AD=5.F曲AD上任盍一点・E^AC扛任意一駄求POPE的堆小值.分析昌这里的点匚是定点,P・E是动炸属于一它两动的将军炊马模型「if-AABC是尊腰三吊形「AD是BC中跋，翎AD垂直平分BCfAC关于AP的对祢点是点出PC+PE=PB卡PE,显摭当氏P,EF其罐时rRE更籬.但此时还率是最短.银据愷线段最短”屍有"-3HE1AC时「BE最短.刚BE时，用面积法即可.解答：作BEJJIC克于点E.交ADdF-^iP.易知陶丄EGBD=3TBC=6・则AOEC=EE^G4製&=!旺苗，511=丄艮

例浜如图.BD乎分ZABC*E,卩分别为统段BC「BD上的动点.AB=6.色敬的風任为却，或EF卜即的最小佰.分祈二这里的瓷.C是龙岀F,畫是动山「厲丁一疋两动的捋率饮马模型.我心匀惯-L宦点定线作对称二但这廳这拝做.会出现问酸園为疣C的对称点亡必鑿在AB上，但宙丁眈検度:疏知-BC长度也未知「则沪相对的也是不确足点「因此羿昔駆聘口职潺试作动点E关于BD的对称点.梢釜如图「作点E关于BD的对称点口连ftETp则EF+CF=ET+CF,当EXF,E三点共线时.EJF+CF=EJC,此时校亂过点E作CEJJ1AR于EX当点疋与点E"重合时.矿f嚴桓・E吒为囲迪上的高，EJX=5.例，如圏，在说角ZXA&C中.A&鼻近、Z3AC=45a,Z8AC的平分錢宣&C于点DtM."分别是HDAB上的动点.则的撮小值筈.辉=柞点書■>;rjd的对称也用「过点宮作歹直丄龙R于点町交q于点只则线段用£长就是HM-MN的摄小值住等腰RfAAE£T中，枢据勾脸走理得臥BrE=4

例・如图.中.A&=2^,若在卫卫*卜各取:一也皿便W+W的值最小.则富伞虽小值解=件AB关于ACffi对称拔段Aff「过点F作序川丄』/垂址沟M査AC『点施.则當N=W+MV=制左+MM.童N的怅就是MB4A/M的最小值.则AN=2^BAC=6CDrA&r二卫丘二N"Ng=W,=30°“:.AN=1,在直feZU53y中.視据勾趾建理RN二黑BfBf对应博习IEL如国"AABC中.AA4.ZBACM5*,ZBAC的乎分线交BC于点LhM.N<?别屋AU和AB上的动也、^BM+MN的最外值是—00、00、A=舸动两足、一柱擊黃・愛问题町惟柱康理xK\作点A关于brhhT3-l-i>T■(.呻jbi七"F-*'■'"A-..,r.两点二匯线段最理LI皿*~*和.w卅日号对标点A9件点AIj丄』京白.B土1R关于1|的对AM-MN-NB的最小h上f样为11上一定点.称点B打连2値为线段』护的长.b<)h上-是占・在1：交b予皿交h上求点M在h上求点前.・于N.£?r使AM-MN-NB的值最小.例1】如图I厶伽=3f01)=12，点E,F分别是射线阳，0B上的动点，求停+EF+DE的锻小值”OFBEOFBE分析二这里的亡G点D是定点「民E是动虫・居[两显两动的将至饮马模型「依I汀町以用"龙比龙线作对辭来考虑.作戌C■吴于仙的时蘇点，点D矢于皿的时祢巴.獰斛作点C关于0B的对称点化点D共于0A的对称点叽连接0^-即丰EF斗DE=ct+ef+dtf当lf.e.rr您点共拔时「cf+ef+de=:厅虬短.易知nroc=90\MT=12,0C=5rC[y=13rCF+EF+DE堆小值为13・、DBED5动痔线的忌长度.木题中■■士E和虫F是龙扫两次反禅的虫DBED5动痔线的忌长度.木题中■■士E和虫F是龙扫两次反禅的虫虽燃求知.但我酊呵理提据前儿题的经整作出.即分刖作点|点「，aD边的对称血匕作点卩丟予O）边的肘称点化即⑴画出白球E的运动路线,化归为两能曲动将军饮乃塑・小综以上谀线段和最值问題.几乎都可以归结为“两走一动"一疋两动呻两左衲动”类的榕年饮马型何题，塘本方液还是"底点左线作对称”.利用"两点Z阿鏡段最短呎垂纯段堆®严的2榮重要性氐轄线段和转化为矗甬1角形的斟边.或苕一边匕的高「描助勾腔足理.或者面积注来求解.当然，有时候r我们也需学会灵活娈通.卫点时称行不逋时「尝试作动点对称.作点联FAD边的对称此II佯点疏于匚她的对称点氏连接E侔交嗣于点乩效吁点乩则运动路线长酣EG-IGH+虾忙度上和.即ET卡.延氏ET愛BC于宜交冊鬥仁易知已M=EM=O.22ib,E啊=1-丽+。旣=饷，NF(=NC+CFJ=1.4+0.1=1.5m・则Rt^E'NF中.EJFJ=2.5m・即白球运讪肾线的总氏度为2.5皿.FCF如亂斯诺克tt券臬面AB宽L78nL.白球E距畑边0段加.距COiZfL4na,有一颗红球F紧貼BC边「H距离£D边0.11m若耍便白球E经过迪AD.DC.两次乏弹击中红球■求白球E逗对应练习JK$n|¥]ZM0N=20o,2B分别为射线0爪ON上两定点，且0A=2・0B=4,点P、Q分别为射线0\】、欣上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQWB的最小值是多少？題型九、两定一动，公平公正。【问題9】作法。作團*原理・九.J).1在直线/上求一点P,使•,卩如一PB|的值最小.连4趴作AB的中垂线三宜线1的交点即为P/•••垂直平分上的点到线段两端点的距苦相等.|血-肿|=0・用型十J两定一动，一箭双雕。【问題10]作法作图原理•R/在直线/上求一点R使円一PB|的链最大・作直拔AB.与直變/的交虫即为P.AP三角形任意两边之差小于算三边・-PB\<AB.例:h如亂己知ZkABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,ZBCD=15°•P为CD上的动点，则卩的最大值是多少？例訪如降rl-Jj^ABCD中「M是DC上的一虫.且DM=3,NAC\的一动炸飼D阳一⑷/［的最小值打摄大值「对阻蘇习IK11.如既抛物线严-卄2的烦点为乩与p袖交于点氏⑴求点4点丘的坐标；1ZJ若点戸是』轴上任意—臥求证暑PLP吴服⑶当明一加最天时'求点P的坐掾如图，已知直线y=-x+1与"轴交于点儿与才轴交于点2抛物线5+dx+c与直线交于皿F两点，与”轴交于久C两点.且0点坐标为2(1,0).求该抛物线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上找一点舄使必4炖|的值谥大，求出点"的坐标.如图，直线片=一与x轴交于点C,与尸轴交于点已点/为尸轴正半轴上的一点，经过点疗和点0,直线BC交GA于点、D.求点Q的坐标；过ac,O三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点人使线段切与切之诘说明理由.诘说明理由.已规如虱把矩形做瞬放置于直角坐标系牢，心二如乙取朋的申点此连接网把△細0沿JC轴的负芳向平移加的螯產后得到△脑。cn试直搀写岀点卫的坐标；⑵已知点疔与点o在经过原点的拋辆线上，点尸在第一象限网的该抛瀚线上移动，过点P作用丄X轴于点妬连接皿若以执P、。为顶点的三帝形与AM相似，试求出点庐的坠标；壽)试问在C2)抛物绽的对瑶轴上是否存在一点T,痩再汀―阳的值最大？若存在［则求出点F点的坐标：若不存在，则说明理由.需型十一*两定一动.投敌叛国「一箭裁雕口作團MSJ!+!在直线1上求丁占P.疑円一尸E的值垠犬・"关手f的对称漏0作宜橐H电i交虫即为p.4「B三苒那任京两迪之聲小于JS^=^.\PA-PS\<AJF.例1；直线2x-y-4=Q上有一点P,它与两定盘N(4,-1)v3(3a4)的距离之差最大*卿P点的坐标呈L4.鉢图，在直角梯形川卿中，ZABG=9^上一个动点，半砂內的弼最小时，朋的长为.王如图，在锐角△』/£?中，AB=A1,ZBAC=^4.鉢图，在直角梯形川卿中，ZABG=9^上一个动点，半砂內的弼最小时，朋的长为.王如图，在锐角△』/£?中，AB=A1,ZBAC=^a,^BAC的平另线交少于点口讯朋分别是』0和上的动点，则酚删的最小值是」例2；已知A、B两个村庄前坐标分别焉(2,2),(7S4),一辆汽车f看成点刀在監轴上行驶.试确定下列情况卡汽车«点力的位置：⑴求直线AB的解祈式，且确罡汽车行驶郅件么直时到乩E两村距离才差最大？⑵汽车行脱到fl■么点时，到A.E两封距离栢專？齢羈习IKk如图，正方^ABCD的边$为2,芦为朋的中点，P是处上一动点.则亟空的最小值曰£如團，©0的半径为乙点九玖C衽©Q上OA^OS,"妒切°,P是倔上一劫点,则胎〃的最小值是.如虱等腰梯形胭曲中，AB=AO=GD=y,C4QTF是上底，下底中点FF直线上的一点『则胁燉的最小值为.工如團，删是半径为1的㈢Q的直径，点工如團，删是半径为1的㈢Q的直径，点A在⑥。上，"幟=如°,占为站/瓠的中点,P是直径删上一劫点，则AH■朋的最小值为J*生卜A2-.1jj-"'B-2-1Q111k0123?-1-7.已知机一畀3）,矶3,IkP点在太轴上，若PA+PS长度Ids则最小值为.若丹一朋长度最大，则最大值为.8-已师如團所示『拋物疑y=H讼与肆轴的愛？女点分别为机1,0）,歔缶小・<1）城抛物缤的解析武；<2>设点户蔬该抛物线上滑动，且滿足器件现灿的点户有几个？井求出所有点戸的堡标；（3）设範物线交F轴于点硏问该抛糊线对称轴上是否存在点就使得△册E凶周妖最小?若存在’求出点需的坐标；若不存在，请说明理由.9.L丄知A(ItlhB(4,2).⑴F为*聃上一劝白・求叫啓闻最心值和此时P贞的坐标：⑺P为X轴上一功f求PA-PB的值最大时P点前喘掠：⑶CD为乂轴上一条动燼段，口征匚点右边且CD=1,茨为^C+£D*DB的最小値祁此时C点的坐标t血如圏"在边长为2的菱形ABCD中，乙嗣匚=釘，若将绕点A旋转+当AC.妙分别9甌、CD交!于点匚&则△症F的周杞的蜃小值为()1L如国山正比例函数尸“的團象与反比搁密数尸工UHQ)在第一象限的團象交于A恵.过A点作jc轴的垂箜「垂足为治已知二角形0A1H的面积为h求反比测前数前解斫式；1｝如果R为圧比捌萌数在第一義限图兼上的点＜点BA不重合)「MB虫的横1丑如图・一元二次方程x2+2k-3=0的二很xlrx2Cxi<xj>是抛物线尸"却阴址与h轴的两个交点X匚的横坐标，且此抛敕I线过点A（3.6>.坐标沟d,坐标沟d,在xHh求一点F,便珊寸理最小.<1）求此二次遁爺的解析式：（2）设吐拋物线的顶点为P,对称轴丄」肚相交「-虫Qr求世P和点Q的坐标心》在x戦上有一动卅MrLpiMQ+MA取得炭小值时，義M点的坐标.如團10・在平面直甬坐标藥中，点A的坐标为〔1,晶、,ZU0E的面积站打.（门求点E的坐标「（2）求址血h0,甘的拋物线的解折式；（3）在⑵中抛物线的对称馳上是否存在点「便AAOC的周长虽小？核存在「求記丿旅的坐标；若不俘在，诸说明理由；318如图，抛物钱阳一呂黄丰古和乍鼬的空点为小M^OA的中点.若有一动点齐自啊点址出发，谄直线运动到大轴匕的某点〔设为点Q，再沿直统迄动到违抛物线对称轴扛的某旳（设为点Fh憶后又汨直线运动到点儿求便出P匡动的思路裡堆短的也匚出P的坐様，并求缶这个摄短路程的匕xx15如图•d知狂平面血希昱标果屮「直角梯形CWBC的边口山花F轴的匸半轴.匕OCtEx^i的It泮轴上OA=A8^2,OC=3,过点Sfl：BD1BC,空Q4F甕D.齬5肚绕虫B按顺时升方向族转，甬的两边分别交尸轴的正半轴、殳轴的正半轴■f^.EWF.<i）求经过爪e-.m的拋物线的解析式：<2）浙肛经过Cl>中拋物线的顶点时「求济的口<3）在抛物线的对称轴上取两点卩.a〔点卫在点P的上方h且PQ=1.耍慢四边形BCPQ的雋长最小，求宙F、口轴点的生标，

25BACEAD2-1O1231監如图11,在平面直角坐标聚中.^OACB的顶点o在坐标原点.顶点肛B分别在%轴、F抽的正半轴上『＜1A=S,03H・D为边0B■的中点.(门若E25BACEAD2-1O1231監如图11,在平面直角坐标聚中.^OACB的顶点o在坐标原点.顶点肛B分别在%轴、F抽的正半轴上『＜1A=S,03H・D为边0B■的中点.(门若E対边恥上的一个动白・“[△CDE的周长齡小时.求dE的坐际;(2＞若5罗为边恥上的两牛动总且EF老当四边形CDEF的周长最小时，求点E.F的坐标1&如图.牠物线y=—攸―対2的顶点为儿与y轴交于点氏求点点£的坐标=⑵若点P是*轴上任意一点，求证；PA—PB3B；⑶当PA_PB最大时.求点P的坐标.19.如图.已知平面直角坐标系，A,〃两点的坐标分别为/(2,一3),0(4,-1)设"，川分别为"轴和F轴上的动点，请问：是否存在这样的点0),肌o,",使四边形初的的周长最短？若存在，请求出胪=,n=(不必写解答过程)；若不存在■请说明理由.If21•111111■、-2-10012345-1-•占-2--3-场血已知|户是迪改为1的正方形曲葩内的一鼠求PA+fB+PC的最小值.“卯图，四边形極?是正方形，△/赃是等边三角形，肘为对角线耳H不含扮点｝上任S-一点，将翩烧点令逆时针旋转60*得到酬逹接啟敝佩(1＞求证：△伽密△日歡⑵。当献总在何处时'妬傅的值最小；②半粘点在何处时|砂瞬3的值眾丿扎井说明理由；⑶当£斛册卜銅的最小值为,十1时，求正方形的边比匸如图四边^ABCD是養形，且"底=如△朋F是等边三角版卅为对角线BD含成点)上任歳一点『将酬绕点刈壷时针離转百CT福到酬達曉E舐姒朗，则下列五个结论申IE确的是C)若菱^ABCD的边长为1,则朋+師的最小值和厶5匹迦釀丿磁犬凹边整磁占④连接制则创丄曲⑤当麻+劇卜師的最小值为2卫叭菱形血勉的边长为耳A.①②③B.②④®C.①©⑤D.②③⑤23.已知顶点再A(l,5)的抛物^fej/=ar2+for+c经过点B(5,lk⑴求抛物线的解析比；{◎如图cnr设un介别咼工轴、T轴上的两个动点.求四边形ABCD周长的最小值：<3〕在〔乃中.巧四边形胚⑷的周任最小时，作直线①设必Pgy)(x>0)是直线尸=盘上的一个动点「Q是0P的中点「MPQ为礬边技图<2>所示构造等腰直箱三角形PBQ.曙△州R9西线CD暫公共点时‘求jv的眼值范围；在①的条件下，记山冊与的公英部廿的面积为5.求S关于工的函数关乘式,井求E的最乂值°圉CD国(5>24•如图1,抛物线y=A2+bx+c与x轴相交于点A.G与y轴相交于点B,连接AB,BC•点A的坐标为(2,0),tanZBAO=2・以线段BC为直径作交AB于点D.过点B作直线1IIAC,与拋物线和OM的另一个交点分别是E,F.求该抛物线的函数表达式：求点C的坐标和线段EF的长：如图2,连接CD并延长，交直线I于点N,点P,Q为射线NB上的两个动点(点P在点Q的右侧.且不与N重合)，线段PQ与EF的长度相等，连接DP.CQ,四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，谙求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值：若没有，请说明理由.325•如图，点A(a,l)>B(-!,/>)都在双曲线j=--(.r<0)±-点P、Q分别是x轴.y轴x上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时.PQ所在直线的解析式是()A.y=xB.y=x¥\C・y=D・y=x+3AAED图1<