2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》

2020年中考数学一轮复习培优训练《三角形》1•点D为AABC外一点，ZACB=90°,AC=BC.ffl1®2@3如图1,ZDCE=90°,CD=CE，求证:ZADC=ZBEC；如图2,若ZCDB=45°,AE〃BD,CE丄CD，求证:AE=BD；如图3,若NADC=15°,CD=迈，BD=n,请直接用含n的式子表示AD的长.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点.以点D为中心旋转ZMDNCZMDN的度数不变)，当DM与AB垂直时(如图①所示),易证BM+CN=BD.如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN=BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN=BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM,CN,BD之间的数量关系，不用证明.如下图，在AABC中，AB=BC,AD丄BC于点D,BE丄AC于点E,AD与BE交于点F,BH丄AB于点B,点M

是BC的中点，连接FM并延长交是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H.在图1中，ZABC=60°,AF=3时，FC=在图2中，ZABC=45°,AF=2时，FC=(3)从第(1)、(2)中你发现了什么规律？在图3中并证明你的猜想._，BH=；_，BH=；，ZABC=30°，AF=1时，试猜想BH等于多少?在图1、2中，已知ZABC=120°，BD=2，点E为直线BC上的动点，连接DE,以DE为边向上作等边△DEF，使得点F在ZABC内部，连接BF.如图1，当BD=BE时，ZEBF=；如图2,当BDHBE时，(1)中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；请直接写出线段BD,BE，BF之间的关系式.C(EEADD02SiC(EEADD02Si在△ABC中，AC=BC,点E是在AB边上一动点(不与A、B重合)，连接CE,点P是直线CE上一个动点.如图1,NACB=120°,AB=16,E是AB中点，EM=2,N是射线CB上一个动点.

试确定点P和点N的位置，使得NP+MP的值最小.请你在图2中画出点P和点N的位置，并简述画法：TOC\o"1-5"\h\z直接写出NP+MP的最小.(2)如图3,ZACB=90°，连接BP,ZBPC=75。且BC=BP求证：PC=PA.口图1闺2嘗？6．探究题：如图，AB丄BC,射线CM丄BC,且BC=5cm,AB=1cm,点P是线段BC(不与点B、C重合)上的动点，过点P作DP丄AP交射线CM于点D,连结AD.如图1,若BP=4cm,则CD=；如图2,若DP平分ZADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由;(3)若APDC是等腰三角形，则CD=cm.(请直接写出答案)(3)若APDC是等腰三角形，则CD=cm.(请直接写出答案)ABCCB8PU2备用图综合与探究如图，在平面直角坐标系中,ZABC=90°,AB=BC，点A(2,0)、B(0,1).在图①中，点C坐标为；如图②，点D在线段0A上，连接BD,作等腰直角三角形BDE,ZDBE=90。，连接CE.证明：AD=CE；在图②的条件下，若C、D、E三点共线，求0D的长；在y轴上找一点F,使AABF面积为2.请直接写出所有满足条件的点F的坐标.已知点P是线段MN上一动点，分别以PM,PN为一边，在MN的同侧作厶APM,ABPN,并连接BM,AN.如图1,当PM=AP,PN=BP且ZAPM=ZBPN=90。时，试猜想BM,AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；如图2,当△APM,ABPN都是等边三角形时，(I)中BM,AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立,请证明你的结论；若不成立,试说明理由.(UI)在(II)的条件下，连接AB得到图3,当PN=2PM时，求NPAB度数.3A3AAPPPSiS33A3AAPPPSiS39•阅读下列材料，完成(1)〜(3)题：数学课上,老师出示了这样一道题：如图1,AABC中，AB=AC,ZBAC=90°，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G,连接AG.探究线段DF和AG的关系.某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的」想法：

小明：“经过观察和度量，发现ZABF和ZACG相等.”小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF和AG的关系老师：“若点E不是AC的中点，其他条件不变(如图2),可以求出京的值求证：AF=FG；探究线段DF和AG的关系，并证明；(3)DF(3)直接写出常的值.AEl在AABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作AADE,使AD=AE，ZDAE=ZBAC连接

如图1,当点D在线段BC上，如果ZBAC如图1,当点D在线段BC上，如果ZBAC=90。，则zbce=度;1)2)如图2,如果ZBAC=60°，则ZBCE=度;3)设ZBAC=a,ZBCE=B.如图3,当点D在线段BC上移动，则a,B之间有怎样的数量关系？请说明理由;当点D在直线BC上移动，请直接写出a，B之样的数量关系，不用证明.在平面直角坐标系中，点A(0,m)和点B(n，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，满足(in-n)2^|m+n-8|=0,连接线段AB,点C为AB上一动点.

填空：m=,n=；如图，连接OC并延长至点D,使得DC=OC,连接AD.若AA0C的面积为2,求点D的坐标;⑶如图，BC=OB,ZABO的平分线交线段AO于点E,交线段OC于点F,连接EC.求证：①AACE为等腰直角三角形;②BF-EF=OC.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(-1,0),点C的坐标是(1,0),点D为y轴上一点,点A为第二象限内一动点，且ZBAC=2ZBDO,BD与AC交于点F,过D作DM丄AC于点M.求证：ZABD=ZACD.若点E在BA延长线上，求证：AD平分ZCAE.在线段MC上取点G,使DG=AD,求证：AB=CG.13.如图(1),在四边形ABCD中，已知ZABC+ZADC=180°,AB=AD,AB丄AD,点E在CD的延长线上,且ZBAC=ZDAE.AF迅SSC舉⑵CAF迅SSC舉⑵C0(1}求证:AC=AE；求证：CA平分ZBCD；如图(2),设AF是AABC的边BC上的高，试求CE与AF之间的数量关系.如图1,在AABC中，AB=AC，点D是BC边上一点(不与点B,C重合)，以AD为边在AD的右侧作厶ADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,连接CE.设ZBAC=a,ZBCE=B.求证：△CAE竺ABAD；探究：当点①在BC边上移动时，a、B之间有怎样的数量关系？请说明理由;如图2,若ZBAC=90°,CE与BA的延长线交于点F.求证：EF=DC.(1)如图1,在AABC中，AD平分ZBAC交BC于D,DE丄AB于E,DF丄AC于F.求证：DE=DF,AE=AF.(2)如图2,在(1)的情况下，如果ZMDN=ZEDF,ZMDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，

其它条件不变，那么AM,AN,AF有怎样的数量关系？并加以证明.如图3,在RtAABC中，ZC=90°,ZBAC=60°,AC=6,AD平分ZBAC交BC于D,ZMDN=120°,AAEEA'占5BHl02S3NDAAEEA'占5BHl02S3ND〃AB,四边形AMDN的周长为.(直接写答案).参考答案(1)证明:・・・NDCE=NACB=90°,・・・ZACD=ZBCE,又・・・AC=BC,CE=CD,•••△ACD竺ABCE(SAS),・・・ZADC=ZBEC.如图1,延长DC交AE于F,连BF,•・・AE〃BD,・・・ZEFC=ZCDB=45°.•EC丄CD,ZCEF=ZCFE=45°,・EC=CF.•*ZACE=ZBCF,AC=BC,•••△ACE竺ABCF(SAS),.\AE=BF,ZBFC=ZAEC=45°=ZFDB,・BF=BD，・AE=BD；如图2,过点C在CD上方作CE丄CD,CE=CD,连BE、DE.设AD、BE交于点0,由(1)知厶ACD^^BCE(SAS),ZBEC=ZADC=15°,・・・ZD0E=ZDCE=90°.又VZCED=ZCDE=45°,・・・皿=：泗=2,・・.ZBED=30°,・・・0D=*DE=-?X2=l,・•・=<3,0B==.•.AD=BE=OB+OE=*岸_]+.：3.解：(1)结论BM+CN=BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE〃AC交AB于E,•••△ABC是等边三角形，.*.ZA=ZB=ZC=60°,•・・DE〃AC,/.ZBED=ZA=60°,ZBDE=ZC=60°,.•.ZB=ZBED=ZBDE=60°,•••△BDE是等边三角形，ZEDC=120°,ABD=BE=DE,ZEDN+ZCDN=120°,VZEDM+ZEDN=ZMDN=120°,・・・ZCDN=ZEDM,•・・D是BC边的中点，・DE=BD=CD,在ACDN和AEDM中，CD二DE,lzcdn=zedm•••△CDN竺AEDM(ASA),・CN=EM，

:.BD=BE=BM+EM=BM+CN；(2)上述结论不成立，BM,CN,BD之间的数量关系为：BM-CN=BD；理由如下:如图③，过点D作DE〃AC交AB于E,图③2•••△ABC是等边三角形，AZA=ZB=ZC=60°,・・・ZNCD=120°,•・・DE〃AC,AZBED=ZA=60°,ZBDE=ZC=60°,AZB=ZBED=ZBDE=60°,•••△BDE是等边三角形，NMED=ZEDC=120°,ABD=BE=DE,ZNCD=ZMED,ZEDM^ZCDM=120°,VZCDN+ZCDM=ZMDN=120°,・・・ZCDN=ZEDM,•・・D是BC边的中点，・DE=BD=CD,在ACDN和AEDM中，rZNCD=ZMEDCD=EE,•••△CDN竺AEDM(ASA),・CN=EM，・BD=BE=BM-EM=BM-CN，・BM-CN=BD．解：(1)如图①连接CF,

TAD丄BC,BE丄AC,・・・CF丄AB,•・・BH丄AB,・・・CF〃BH,・・・ZCBH=ZBCF,••点M是BC的中点，・・・BM=MC,在ABMH和ACMF中，rZMBH=ZNCFBM咄C,•••△BMH竺ACMF(ASA),・・・BH=CF,*.*AB=BC,BE丄AC,・BE垂直平分AC，・AF=CF，・BH=AF，・AF=CF=BH=3，故答案为：3，3；(2)如图②，连接CF,TAD丄BC,BE丄AC,・・・CF丄AB,•・・BH丄AB,・・・CF〃BH,・・・ZCBH=ZBCF,••点M是BC的中点，・・・BM=MC,在ABMH和ACMF中，凤哪C,lZbmh=Z：ot•••△BMH竺ACMF(ASA),・・・BH=CF,*.*AB=BC,BE丄AC,・BE垂直平分AC，・AF=CF，・BH=AF，・AF=CF=BH=2，故答案为：2，2；从第(1)、(2)中发现AF=CF=BH；猜想BH=1,理由如下：如图③，连接CF,•AD丄BC,BE丄AC,・・・CF丄AB,•・・BH丄AB,・・・CF〃BH,・・・ZCBH=ZBCF,••点M是BC的中点，・・・BM=MC,在ABMH和ACMF中，rZMBH=ZNCF珊视,/.△BMH^^CMF(ASA),・BH=CF，*.*AB=BC,BE丄AC,・・・BE垂直平分AC,・AF=CF，・BH=AF，・AF=CF=BH=1．解：(1)V^DEF是等边三角形，.•・DF=EF=DE,ZDFE=60°,•BD=BE，DF=EF，BF=BF，•••△DBF竺AEBF(SSS)/.ZDBF=ZEBF,且ZDBF；+ZEBF=120°,・・・ZEBF=60°,故答案为：60°；结论仍然成立，理由如下：如图2,过点F作FG丄BC,FH丄AB,•••ZDFE=60°,ZABC=120°,・・・ZFDB+ZFEB=180°,且ZFEB+ZFEG=180°,・・・ZFDB=ZFEG,且ZFHD=NFGE=90°,FD=EF,•••△FDH竺AFEG(AAS)・・・FH=FG，且FG丄BC,FH丄AB,/.ZABF=ZFBE=60°；(3)由(2)可知：AFDH^^FEG,・DH=EG,・BD+BE=BH+DH+BE=BH+BG,VZABF=ZFBE=60°,FG丄BC,FH丄AB,•ZBFH=ZBFG=30°,・BF=2BH=2BG,・BF=BH+BG=BD+BE．解：(1)①如图2所示：作点M关于CE的对称点M',过点M'作M'N丄BC,垂足为N,交EC于点P,••点M与点M'关于EC对称，・MP=M'P,・NP+MP=NP+M'P,・••点N,点P,点M'三点共线，且M'N丄BC时，NP+MP的值最小；故答案为：作点M关于CE的对称点M',过点M'作M'N丄BC,垂足为N,交EC于点P；②*.*ZACB=120°,BC=CA,AB=16,E是AB中点,.•・ZB=30°,BE=AE=8，且EM=2,.*.BM=10,VZB=30°,M'N丄BC,・・・驭=5,・・・NP+MP的最小值为5,故答案为：5；(2)如图3,在BE上截取EF=PE,・・ZBPC=75°,BC=BP,•・ZBCP=ZBPC=75°,•・ZCBP=30°,・・ZACB=90°,AC=CB,•・ZCBA=ZCAB=45°,•・ZABP=15°,ZZBPC=ZPBE+ZBEP=75°,•・ZBEP=60°，且EF=PE,••△PEF是等边三角形，PE=PF=EF,ZFPE=60°=ZPFE,ZZPFE=ZPBE+ZBPF,ZPEF=ZBAC+ZACE,ZBPF=ZBAC=45°,ZACE=ZPBF=15°，且BP=BC=AC,••△BPF■今ACAP(ASA)•PF=AE,PE=AE,ZPEA=180°-ZBEP=120°,\ZEPA=ZPAE=30°,ZZEPA=ZPCA+ZPAC=30°,•,ZPCA=ZPAC=15°,・・・PC=PA.解:(l)TBC=5cm,BP=4cm,・PC=1cm，・AB=PC,TDP丄AP,・・.ZAPD=90°,.\ZAPB+ZCPD=90°,VZAPB+ZCPD=90°,ZAPB+ZBAP=90°,Z.ZBAP=ZCPD,在PCD中，rZB=ZCZbap=Zcpd,;AB=PC•••△ABP竺APCD,・BP=CD=4cm；(2)PB=PC,理由：如图2,延长线段AP、DC交于点E,•・・DP平分ZADC,/.ZADP=ZEDP.DP丄AP,ZDPA=ZDPE=90°,在ADPA和ADPE中，rZAEP=ZEDPDP二DP,ZDF^ZDPE•••△DPA竺ADPE(ASA),・・・PA=PE.TAB丄BP,CM丄CP,・・・ZABP=ZECP=RtZ.在厶APB和AEPC中，rZABP=ZECPJZAPB^ZEPC，;PA=PE△APB竺AEPC(AAS),・PB=PC；・・・APDC是等腰三角形，•••△PCD为等腰直角三角形，即ZDPC=45°,又TDP丄AP,ZAPB=45°,・BP=AB=1cm，.•.P；C=BC-BP=4cm,・CD=CP=4cm，故答案为：4.(1)解：如图①中，作CH丄y轴于H.・A(2,0),B(0,1),・OA=2,OB=1,•?ZCHB=ZAOB=ZABC=90°,•ZABO+ZOAB=90°,ZABO+ZCBH=90°,・・・ZCBH=ZOAB,•・・AB=BC,•••△AOB^ABHC(AAS),・CH=OB=1,OA=BH=2・OH=OB+BH=3，・C(1，3)．故答案为(1，3)．(2)证明：如图②中,•••△DBE,AABC都是等腰直角三角形，・・ZDBE=ZABC=90°,BD=BE,BA=BC,・・・ZDBA=ZEBC,•••△DBA竺AEBC(SAS),・EC=AD．(3)解：如图②中，设CD交AB于J.△DBA竺AEBC,C,E,D共线，/.ZBCD=ZBAD,VZBCD+ZCJB=90°,ZCJB=ZAJD,・・・ZBAD；+ZAJD=90°,・・・ZADJ=90°,CD丄OA,•・・C(1,3),:、0D=1.解：设F(0，m)．由题意：g-・|m-1|・2=2,.•・m=3或-1,・・・F(0,3)或(0,-1)解：(I)结论：BM=AN,BM丄AN.理由：如图1中,VMP=AP,ZAPM=ZBPN=90°,PB=PN,•••△MBP^AANP(SAS),・MB=AN.延长MB交AN于点C.•△MBP^^ANP,.\ZPAN=ZPMB,VZPAN+ZPNA=90°,AZPMB+ZPNA=90°,AZMCN=180°-ZPMB-ZPNA=90°,・・・BM丄AN.(II)结论成立理由：如图2中@2•••△APM,ABPN,都是等边三角形・・.ZAPM=ZBPN=60°・・・ZMPB=ZAPN=120°,又・.・PM=PA,PB=PN,•••△MPB竺AAPN(SAS)・MB=AN．(HI)如图3中，取PB的中点C,连接AC,AB.•••△APM,APBN都是等边三角形・・・ZAPM=ZBPN=60°,PB=PN••点C是PB的中点，且PN=2PM,・•・PC=PA=PM=^PB・=*PN,VZAPC=60°,•••△APC为等边三角形，Z.ZPAC=ZPCA=60°,又・・・CA=CB,•ZCAB=ZABC=30°,.\ZPAB=ZPAC+ZCAB=90°.(1)证明：如图1中，作AH丄AG交BG于H.•・・ZBAC=ZHAG=90°,・・・ZBAH=ZCAG,BG丄CG,・・.ZEAB=ZEGC=90°,ZAEB=ZCEG,・・・ZABH=ZACG,•AB=AC,/.△ABH^AACG(ASA),・AH=AG,AF丄FG,ZHAG=90°,・FH=FG,・AF=FG=FH．(2)解：结论：AG=2DF,DF丄AG.理由：如图2中，连接AD,DG,作DK丄BG于K.VZBAC=ZBGC=90°,BD=CD,・・・DA=DG=*BC,•DF=DF,AF=FG,•••△DFA竺ADFG(SSS),.\ZADF=ZGDF,:.DF丄AG,•・・DK〃CG,BD=DC,•••△AEF竺ACGE(AAS),・・・AF=CG=2DK,△ADF^AGDF,・・.ZAFD=ZGFD=135°,VZAFK=90°,・・・ZDFK=45°,・・・DF=•・・AG=刼，・AG=2DF．(3)由(2)可知:CG=2DK,DF=.2DK,DF=迈DK=^••历=2DK=丁解:(l)・・・AB=A；C,ZBAC=90°,AZABC=ZACB=45°,••ZDAE=ZBAC,・・・ZBAD=ZCAE,且AB=AC,AD=AE,•••△BAD竺ACAE(SAS)AZABC=ZACE=45°,/.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,故答案为:90；(2)VZBAC=60°,AB=AC,•••△ABC为等边三角形，/.ZABD=ZACB=60°,*/ZBAC=ZDAE,・・・ZBAD=ZCAE,在AABD和AACE中，•・・ZBAD=ZCAE,且AB=AC,AD=AE,•••△ABD竺AACE(SAS),・・.ZABD=ZACE=60°,ZBCE=ZACE+ZACB=60°+60°=120°,故答案为：120．(3)①a+B=180°,理由：・・・ZBAC=ZDAE,・・・ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.即ZBAD=ZCAE.AB=AC在AABD与AACE中，《二ZCAE,;AD=AE•••△ABD今AACE(SAS),/.ZB=ZACE.ZB+ZACB=ZACE+ZACB.•・・ZACE+ZACB=B,.•.ZB+ZACB=B,•・・a+ZB+ZACB=180°,・・・a+B=180°.②如图1：当点D在射线BC上时，a+B=180°,连接CE,*/ZBAC=ZDAE,・・ZBAD=ZCAE,在AABD和AACE中，AB二AC.ZBAD=ZCAE,;AD=AE•••△ABD竺AACE(SAS),.\ZABD=ZACE,在AABC中，NBAC+NB+NACB=180°,.\ZBAC+ZACE+ZACB=ZBAC+ZBCE=180°,即：ZBCE+ZBAC=180°,・・・a+B=180°,如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，a=B.连接BE,厶K•/ZBAC=ZDAE,・・・ZBAD=ZCAE,且AB=AC,AD=AE,•••△ABD竺AACE(SAS),/.ZABD=ZACE,/.ZABD=ZACE=ZACB+ZBCE,•ZABD+ZABC=ZACE+ZABC=ZACB+ZBCE+ZABC=180°,*/ZBAC=180°-ZABC-ZA'CB,・・・ZBAC=ZBCE.・・a=B；综上所述：点D在直线BC上移动，a+B=180°或0=8.解:(l)T(m-n)2b|m+n-8|=0,・m=n=4，故答案为：4，4(2)如图1,过点C作CH丄OA,CG丄0B,•:点A(0,4)和点B(4,0),・・・0A=0B=4,・・・S=^-X4X4=8,△ABO•••△AOC的面积为2,••丄AOXCH=2-X4XCH=2,S=6=2-XOBXCG=±X4XCG,△BOCCH=1,CG=3,・点C(1，3)，•DC=OC，・点D(2，6)(3)①•・・OA=OB=4,ZAOB=90°,・・・ZOAB=ZOBA=45°,BE平分ZABO,・・・ZEB0=ZEBC，且BE=BE,OB=OC,•••△OBE竺ACBE(SAS)・ZEOB=ZECB=90°，・・・ZACE=90°，且ZOAB=45°,・ZCAE=ZAEC=45°，AC=CE,且ZACE="90°,•••△ACE是等腰直角三角形；②如图2,作OM平分ZAOB,交BE于点虬•・・0M平分NAOB,・・・ZA0M=ZB0M=45°,・・・ZAOM=ZBOM=ZOAB=ZOBA,“•・・OB=OC,BE平分ZAB0,ZAB0=45°,・・・Z0BE=22.5°,BE丄OC,ZCOB=ZOCB=67.5°,・・・ZAOC=22.5°=ZCOM,Z.ZAOC=ZBOM,且OB=OA,ZOAB=ZOBM,.•.△ACO^^OMB(ASA)・BM=OC,VZEF0=ZMF0=90°,OF=OF,ZAOC=ZCOM,•••△EFO竺AMFO(ASA)・EF=FM,・・・BF-EF=BF-FM=BM=OC.(1)证明:•(-1,0),C(1,0),・OB=OC=1，TOD丄BC,・BD=CD，/.ZBDC=2ZBD0,VZBAC=2ZBD0,・・ZBDC=ZBAC,*/ZBAC+ZABD=ZAFD=ZBDC+ZACD,・・・ZABD=ZACD.(2)作DN丄AE,垂足为N.•••DM丄AC于点M,・・・ZDNB=ZDMC=90°,在AONB和ADMC中，rZDNB=ZDMCZABD^ZACD,;BD=CD•••△DNB竺ADMC(AAS),・DN=DM，又・・・DN丄AE于N,DM丄AC于点M,・・・AD平分ZCAE.(3)・DG=AD,・・・ZDAG=ZDGA,AD平分ZCAE,・・・ZDAG=ZDAE.・・・ZDGA=ZDAE.ZDAE+ZDAB=ZDGA+ZDGC=180°,・ZDAB=ZDGC，在ADAB和ADGC中，rZDAB=ZDGC；ZABD=ZACD,lBD=CD•••△DAB竺ADGC(AAS)・AB=CG.(1)证明：如图(1),・・・ZABC+ZADC=180°,ZADE+ZADC=180°,C图门)Z.ZABC=ZADE,在AABC与AADE中，rZBAC=ZDAEAB=AD,•••△ABCqAADE(ASA).*.AC=AE.(2)证明：如图(1),•••△ABC今△ADE,AC=AE,Z