【学海导航】高考数学第一轮总复习 5.2向量的字符运算课件 理 （广西专）

第五章平面向量向量的字符运算第讲2考点搜索●平面向量的数量积●平面向量数量积的重要性质●两个向量垂直的充要条件●常用的模的等式和不等式高考猜想字符运算是向量的核心内容，是高考的一个重要命题点.一、平面向量数量积的有关概念

1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.

很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，θ=___，当且仅当a、b反方向时，θ=______，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题.0°180°2.如果a，b的夹角为____，则称a与b垂直，记作_______.3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则__________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即______________.

规定0·a=___.

当a⊥b时，θ=____，这时a·b=____.

二、a·b的几何意义

1.一个向量在另一个向量方向上的投影.90°a⊥b|a||b|·cosθa·b=|a||b|cosθ090°0设θ是a与b的夹角，则_________称作a在b方向上的投影._______称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当______________时，它是正数；当___________________时,它是负数；当θ=90°时,它是零.2.a·b的几何意义.

a·b等___与b在a方向上的投影的乘积.3.a·b的性质.

设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：|a|cosθ|b|cosθ0°≤θ＜90°90°＜θ≤180°|a|(1)e·a=a·e=|a|cosθ;(2)a⊥b________;(3)当a与b同向时，a·b=___________；当a与b反向时，a·b=____________；特别地，a·a=a2=|a|2，或|a|=_____;(4)cosθ=_________;(5)|a·b|≤|a|·|b|.a·b=0|a||b|-|a||b|1.已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3，则|5a-b|=____.解：

所以|5a-b|=7.72.若a,b,c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·c

C.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)

解：A、B、C是运算律，而a·b=λ∈R,b·c=μ∈R,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选D.D3.在△ABC中，已知向量与满足且则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解：在△ABC中，

(M在∠BAC的平分线上)，D由知所以⊥，则△ABC是等腰三角形；因为所以则∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形.故选D.1.如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问问与与的的夹夹角θ取何值时的的值最大大？并求出出这个最大大值.解法1：因为，，所以因为题型1向量的数量量积运算所以故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，的值最大，，其最大值值为0.解法2：以直角顶顶点A为坐标原点点，两直角角边所在直直线为坐标标轴建立如如图所示的的平面直角角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).所以所以因为所以cx-by=a2cosθ，所以故当cosθ=1，即θ=0(与方向相同)时，的值最大，其其最大值为0.点评：向量的数量量积是最基本本的向量的运运算，字符向向量的数量积积主要是将其其转化为两向向量模及夹角角余弦的积，，注意向量夹夹角与两直线线夹角之间的的关系和转化化.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，，c=5a+3b，d=3a+kb，求当实数k为何值时，c⊥d？解：要使c⊥d，即c·d=0，即(5a+3b)·(3a+kb)=0，所以15a2+(9+5k)a·b+3kb2=0，所以15×4+(9+5k)×2×3cos+3k·9=0，解得k=.所以当k=时，c与d垂直.2.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4，|b|=2.求：(1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)·(a+b).解：依题意得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.(1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12，所以|a+b|=题型2向量的模(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=16×19，所以|3a-4b|=.(3)(a-2b)·(a+b)=a2-2a·b+a··b-2b2=42-(-4)-2×22=12.点评：求形如|a+b|的模，一般是是通过|a+b|2=(a+b)2把求模转化为为数量积来求求解，注意求求得的是模的的平方，最后后求得其算术术平方根即可可.已知平面上三三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间间的夹角均为为120°.(1)求证：(a-b)⊥c；(2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围.解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之间的夹角均均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|·cos120°=0,所以(a-b)·c=0，所以(a-b)⊥c.(2)解法1：因为|ka+b+c|>1，即|ka+b+c|2>1，即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,因为a·b=b·c=a·c=-，所以k2-2k>0，所以k<0或k>2.解法2：由已知a+b+c=0,故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|,|ka+b+c|>1(k∈R)|k-1|>1k<0或k>2.题型型3向量量的的夹夹角角点评评：：(1)中最最值值问问题题不不少少都都转转化化为为函函数数最最值值问问题题解解决决，，因因此此解解题题关关键键在在于于寻寻找找变变量量，，以以构构造造函函数数．．而而(2)中即即为为数数量量积积定定义义的的应应用用．．已知知三三个个单单位位向向量量a，b，c，两两两两之之间间的的夹夹角角为为120°°，求求a-2b与c的夹夹角角.解：(a-2b)··c=a··c-2b··c=1××1××cos120°°-2××1××1××cos120°°=，又〈a-2b，c〉∈∈［0，π］，，所以以〈a-2b，c〉=arccos.1.向量量的的字字符符运运算算是是向向量量运运算算的的一一种种基基本本形形式式，，它它类类似似于于实实数数的的字字母母运运算算，，在在没没有有几几何何背背景景和和向向量量坐坐标标的的向向量量问问题题中中，，一一般般通通过过这这种种运运算算解解答答相相关关问问题题.2.向量量的的字字符符运运算算以以向向量量的的数数量量积积为为核核心心，，由由此此解解决决有有关关向向量量的的模模和和夹夹角角问问题题.在字字符符运运算算中中求求向向量量的的模模，，一一般般先先求求模模的的平平方方，，再再转转化化为为向向量量的的平平方方，，然然后后转转化化为为数数量量积积进进行行运运算算.在字字符符运运算算中中求求向向量量的的夹夹角角，，一一般般先先利利用用数数量量积积的的定定义义求求夹夹角角的的余余弦弦，，再再根根据据夹夹角角的的范范围围求求向向量量的的夹夹角角.3.通过过向向量量的的字字符符运运算算求