【学海导航】高三数学第一轮总复习 9.5 空间向量及其运算课件

第九章直线、平面、简单几何体19.5空间向量及其运算考点搜索●空间向量的加法、减法与数乘●空间向量基本定理，以及共线、共面向量定理●空间向量的数量积及其运算性质高考高考猜想1.空间向量的基本运算.2.运用向量方法解决共点、共线、共面以及平行、垂直、夹角、距离等问题.2

1.空间向量：在空间，我们把具有①_____和②_____的量叫做向量，空间向量也用③__________表示，并且④_____________________的有向线段表示同一向量或相等的向量.2.空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法，减法与数乘向量为：=⑤_______，=⑥________,=⑦____(λ∈R).大小方向有向线段方向相同且长度相等a+bλa3

3.空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律：

(1)加法交换律：⑧_______________；

(2)加法结合律：⑨_______________；

(3)数乘分配律：⑩_______________.a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)λ(a+b)=λa+λb4

4.如果表示空间向量的有向线段所在的直线______________,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b,记作a∥b.5.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使_______.

1112相互平行或重合a=λb5推论:如果直线l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式_____________,其中向量a叫做直线l的方向向量.6.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y使p=________.推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使

=___________.131415xa+yb67.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使p

=___________.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使=______________.8.已知空间两个向量a，b，则a，b的数量积为：a·b=______________,其中〈a,b〉表示向量a,b的_____，其范围为________.1617181920xa+yb+zc|a||b|cos〈a,b〉夹角［0,π］79.空间向量的数量积有如下性质：(e为单位向量)(1)a·e=_____________;(2)a⊥b__________;(3)|a|2=__________.10.空间向量满足如下运算律：(1)(λa)·b=__________；(2)a·b=__________;(3)a·(b+c)=__________.212223242526|a|cos〈a,e〉a·b=0a·aλ(a·b)b·aa·b+a·c8

盘点指南：①大小；②方向；③有向线段；④方向相同且长度相等；⑤a+b;⑥;⑦λa；⑧a+b=b+a；⑨(a+b)+c=a+(b+c);⑩λ(a+b)=λa+λb;互相平行或重合;a=λb;；xa+yb;;xa+yb+zc;；

|a||b|cos〈a，b〉；夹角；［0，π］;|a|cos〈a，e〉;a·b=0;a·a;λ(a·b);

b·a;a·b+a·c111213141516171819202122232425269设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是()A.{a+b，b-a，a}B.{a+b，b-a，b}C.{a+b，b-a，c}D.{a+b+c，a+b，c}

解：由已知及向量共面定理，易得a+b，b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底,故选C.C10在平行六面体体ABCD-A′B′C′′D′中，向量、、、是()A.有相相同同起起点点的的向向量量B.等长长的的向向量量C.共面面向向量量D.不共共面面向向量量解：：因为为，所所以以、、、、、共共面面.C11已知知四四边边形形ABCD中，，=a-2c，=5a+6b-8c，对对角角线线AC、BD的中中点点分分别别为为E、F，则=.解：：因为为，又，两式式相相加加，，得得12因为为E是AC的中中点点，，故故.同理理，，.所以以=6a+6b-10c,所以以=3a+3b-5c.131.在平平行行六六面面体体ABCD-A1B1C1D1中，，求证证：：证明明：：因为为平平行行六六面面体体的的六六个个面面都都是是平平行行四四边边形形，，所以以，题型型1向量量关关系系的的化化简简与与证证明明14所以以点评评：：向量量的的化化简简与与证证明明实实际际上上就就是是转转化化为为向向量量的的加加减减运运算算及及其其逆逆运运算算，，利利用用向向量量的的合合并并或或分分解解进进行行转转化化，，以以求求得得结结果果.15在平平行行六六面面体体ABCD-A1B1C1D1中，，化化简简下下列列表表达达式式：：(1)；(2).解：：(1)原式式===(2)原式式=162.在平平行行六六面面体体A1B1C1D1-ABCD中，，M分所成成的的比比为为1:2，N分A1D所成成的的比比为为2.设=a，=b，AA1=c，试试用用a，b，c表示示.解：如如图图，，连连结结AN，则.由已知四边形形ABCD是平行四边形形，故=a+b.又题型2向量的基底表表示17由已知N分所成的比为2，故于是，点评：空间向量的基基底一般是取取共起点的三三个不共面的的向量，其他他向量都可转转化为这三个个向量的代数数和形式.注注意向量的方方向性及加减减运算.18设P是正方形ABCD所在平面外一一点，O为正方形ABCD的中心，Q是CD的中点.(1)用基向量、、、表示向量;(2)用基向量、、表示向量.19解：(1)(2)因为，，所所以.又因为，所以.从而有.20已知空间间四边形形OABC中，M为BC的中点，，N为AC的中点，，P为OA的中点，，Q为OB的中点，，若AB=OC，求证：：PM⊥QN.证法1：因为所以所以故PM⊥QN.题型3空间向量量的初步步应用21证法2：.所以PM⊥QN.点评：空间向量量是解决决立体几几何问题题的一种种工具.本题就是是利用向向量的垂垂直关系系来证直直线的垂垂直关系系，而证证空间向向量的垂垂直，一一般先将将两向量量转化为为基向量量的形式式(基底一般般是取题题中已知知条件中中出现过过的直线线上的向向量)，然后计算两两向量的数量量积.22如图，平行六六面体AC1中，AE=3EA1，AF=FD，，AG=GB，过E、F、G的平面与对角角线AC1交于点P，求AP∶PC1的值.解：设因为23所以又因为E、F、G、、P四点共面，所以所以,所以AP∶PC1=3∶16.241.如左下下图，在平行行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为△A1BD的重心，求证证：A、M、C1三点点共共线线.证明明：：如右右上上图图,连结结A1M并延延长长交交BD于E点.题型型共共线线问问题题的的判判定定与与证证明明25因为为M为△△A1BD的重重心心，，所以以E为BD的中中点点，，连连结结AE.所以以故向向量量AM与AC1共线线，，即即A、M、C1262.求证：平行六六面体的四条条对角线相交交于一点，并并且在交点处处互相平分.证明：在平行六面体体分别是对角线AC1、BD1、A1C、B1D的中点，题型共点问题的判判定与证明27则同理可证，所以O、P、M、N四点重合.故四条对角线线相交于一点点，且在交点点处互相平分分.281.空间向量是平平面向量的推推广，空间向向量的加法、、减法和数乘乘向量运算，，与平面向量量的运算法则则一致.2.空间任意两个个向量都可用用同一平面内内的两条有向向线段表示，，因此，空间间两个向量的的加法与减法法运算，实质质上是两个平平面向量的加加法与减法运运算.293.空空间间共线线向量量与平平面共共线向向量的的概念念是相相通的的，共共线向向量定定理也也完全全一致致.空空间共共面向向量定定理是是平面面向量量基本本定理理的变变通.空间间向量量基本本定理理是平平面向向量基基本定定理的的扩展展.这这些定定理源源于平平面向向量的的加法法、减减法与与数乘乘向量量运算算，是是沟通通向量量之间间内在在联系系的重重要依依据.304.空空间间直线线的向向量参参数表表示式式：是一个个以向向量形