自控原理-课件13chap

3.6.2线性系统稳定条件解：D(s)=1+G(s)H(s),D(s)=0即k=0.5或10,系统稳定否?例如：单位负反馈系统的

求K=1时系统的稳定性。s3+s2+s+k=0,K=1s3+s2+s+1=0s2(s+1)+s+1=0(s2+1)(s+1)=0Roots-1,+j,–j系统稳定？

系统稳定k的取值范围?第四章线性系统的根轨迹法k1/s(s+2)R(s)C(s)闭环环传递函数例如，某系统开环传递函数4.1控制系统的根轨迹4.1.1根轨迹的基本概念根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。第四章线性系统的根轨迹法极点性质闭环极点闭环特征方程第四章线性系统的根轨迹法K0.10.8124s1-0.005-0.4-1-1+j1.73-1+j3.87s2-1.995-1.6-1-1-j1.73-1-j3.87将特征根画在s平面上将特征根随增益的变化在s平面上轨迹称为根轨迹-2-10-2jj-j-2jK=0.1k=1k=0.1K=2第四章线性系统的根轨迹法根轨迹的作用-2-10-2jj-j-2jK=0.1k=1k=0.1K=2第四章线性系统的根轨迹法G(s)H(s)R(s)C(s)4.1.2闭环零极点与开环零极点的关系第四章线性系统的根轨迹法4.1.2闭环零极点与开环零极点的关系第四章线性系统的根轨迹法4.1.2闭环零极点与开环零极点的关系（1）系统的闭环零点由前向通道G(s)的零点和反馈通道H(s)的极点两部分组成。单位反馈系统的闭环零点就是其开环零点。（2）系统的闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益。对于单位反馈系统，系统的闭环根轨迹增益等于其开环根轨迹增益。（3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益有关。第四章线性系统的根轨迹法4.1.3根轨迹方程由特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0根轨迹方程G(s)H(s)=-1第四章线性系统的根轨迹法模值条件幅角条件根轨迹的幅角方程是确定s平面上根轨迹的充分必要条件，这就是说，绘制根轨迹时，只需用使用幅角方程即可；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才需要使用模值方程。第四章线性系统的根轨迹法模值条件相角条件ss-20S+2-1根轨迹方程说明第四章线性系统的根轨迹法-2-10ReImS平面第四章线性系统的根轨迹法首先：写出特征方程并化成零极点的形式系统2：零点：-0.5极点为0,-5Kg=2k例如：某开环系统的传递函数为1.G(s)H(s)=k(s+3)/s(s+2)2G(s)H(s)=k(2s+1)/s(s+5)写出根轨迹方程，求出对应的零点和极点。4.2根轨迹的绘制法则第四章线性系统的根轨迹法【根轨迹性质1】根轨迹是连续的4.2根轨迹的绘制法则【根轨迹性质2】根轨迹关于实轴是对称的【根轨迹性质3】根轨迹的条数【根轨迹性质4】根轨迹的起点与终点第四章线性系统的根轨迹法根轨迹始于开环的极点，终止于开环的零点。起点终点对于物理可实现系统，一般满足，因此有n-m条根轨迹终止于无穷远处n-m个无穷远的零点第四章线性系统的根轨迹法3个无穷远的零点同理，对于例如：有三条根轨迹，无有限开环的零点,极点p=0,-2,-3,1个无穷远的极点第四章线性系统的根轨迹法【法则一】根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线限定了当根轨迹趋向于无穷远时，根轨迹的走向与形状。即根轨迹沿一组渐近线趋向于无穷远处的开环零点。与正实轴的夹角记为与实轴的交点记为第四章线性系统的根轨迹法n-m=1时，n-m=2时，n-m=3时，

第四章线性系统的根轨迹法-30S平面【法则二】实轴上的根轨迹分布-2-1s右方的实数极点与实数零点的总和为奇数时，s就是根轨迹上的点。第四章线性系统的根轨迹法-2-1渐进线与实轴交点坐标0例4-1

设某负反馈系统的开环传递函数为

试确定系统根轨迹的条数、起点和终点、渐近线及实轴上的根轨迹分布。解

三条根轨迹，分别起始于0，-1，-2，沿渐近线区域无穷远第四章线性系统的根轨迹法画出下列负反馈系统实轴上的根轨迹和渐进线第四章线性系统的根轨迹法【法则三】根轨迹的分离点与会合点在复平面上，两条或两条以上的根轨迹相遇以后又立即分开的点称为分离点或会合点。L为相遇根轨迹的条数在分离点或会合点上，根轨迹的切线与正实轴之间的夹角称为根轨迹的分离角。分离角按下式计算：第四章线性系统的根轨迹法第四章线性系统的根轨迹法z，p为有限开环零点和极点，无零点时左边表达式为零。求例4-1的根轨迹的分离点分离点的位置可由下面几种方法确定：

试探法、重根法、极值法（1）试探法：设分离点的坐标为d，则d满足如下关系第四章线性系统的根轨迹法解：方法1M(s)=1;N(s)=s(s+1)(s+2)=s3+3s2+2s由得S1,2=-1.577,-0.422用重根法求例4-1的根轨迹的分离点第四章线性系统的根轨迹法解：由得d1d2

是否均为分离点吗？d1,2=-1.577,-0.422第四章线性系统的根轨迹法（2)重根法

第四章线性系统的根轨迹法解：由得例4-2：设负反馈系统的开环传递函数为求概略的根轨迹图。两条根轨迹，分别起始于0和-1，其中一条终止于-2，一条沿渐近线趋于无穷远渐近线与实轴正方向的夹角为1800，即渐近线沿负实轴趋于无穷远第四章线性系统的根轨迹法解：由得画出实轴上的根轨迹。存在分离点，为d,满足d1d2

是否均为分离点吗？概略画出下列系统的根轨迹第四章线性系统的根轨迹法【法则四】根轨迹与虚轴的交点1）在D(s)=0中，令s=jw，特征方程：1+k/s(s+1)(s+2)＝０s3+3s2+2s+k=0S312S23kS1(6-k)/3S0k(6-k)/3=0,k=62）应用Routh判据求解，求特征方程的虚根。使Routh表发生特殊情况。（第一列的元素为零）3s2+k=0

s2=-k/3=-2s=j1.414,-j1.414第四章线性系统的根轨迹法画出下列负反馈系统实轴上的根轨迹和渐进线第四章线性系统的根轨迹法画出下列负反馈系统实轴上的根轨迹和渐进线根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同学们，头昏了吧？第四章线性系统的根轨迹法【法则五】根轨迹的入射角和出射角-2-1-j为一对共轭开环复数极点，在该极点处根轨迹的出射角为第四章线性系统的根轨迹法-2-1-j为一对共轭开环复数零点，在该极点处根轨迹的入射角为第四章线性系统的根轨迹法-2-1-j某系统的开环传递函数为GH=k(s+1)/s(s+4)(s2+2s+2)，画出概略的根轨迹。零点：-1极点：0，-4,–1+j,-1-j第四章线性系统的根轨迹法零点：-1极点：0，-4,–1+j,-1-j渐进线:n-m=3,600,1800,-6000-4-1+j-1-j-(-1)/3=-5/3出射角:第四章线性系统的根轨迹法练习：绘制下列系统的根轨迹图第四章线性系统的根轨迹法绘制根轨迹图的Matlab命令rlocus(num,den)或rlocus(num,den,k）计算根轨迹坐标值和增益的命令[k,p]=rlocfind()4.3.1参数根轨迹例题:某单位负反馈系统的开环传递函数为绘制系统参数b变化的根轨迹.只要通过对系统闭环特征方程做简单处理的基础上，引入等效开环传递函数的概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均可以用于参数根轨迹的绘制。以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，与此对应，称以Kg为可变参数的根轨迹称为常规根轨迹。

4.3.1参数根轨迹参数根轨迹的绘制步骤是，首先将系统的特征方程进行等效变换，整理成如下形式等效开环传递函数绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。4.3.1参数根轨迹解:写出特征方程,求出等效传递函数。4.3参数根轨迹（参变量系统的根轨迹）出射角闭环系统的传递函数为4.3参数根轨迹（参变量系统的根轨迹）例如：开环系统传递函数可以把上式整理为如下形式例如：多项式方程的根轨迹4.3绘制00根轨迹根轨迹方程化为模值条件不变：相角条件为：根轨迹的渐进线；实轴上的根轨迹；根轨迹的出射角与入射角4.3绘制00根轨迹的基本法则根轨迹的渐进线；渐进线与实轴夹角的计算公式为实轴上的根轨迹；实轴上右侧的开环零点和极点数和为偶数时，则是根轨迹段。如某系统的根轨迹方程为：4.3绘制00根轨迹的基本法则根轨迹的出射角与入射角4.3绘制00根轨迹的基本法则例题：单位正反馈系统的开环传递函数为绘制系统概略的根轨迹解：写出闭环特征方程开环的零点、极点z1=-1,p1=-2,p2=-44.3.2绘制00根轨迹的基本法则渐进线可通过分离点公式求出具体坐标值。4.5控制系统的根轨迹分析方法

采用根轨迹分析方法，首先根据系统的结构和参数绘制闭环系统的根轨迹图，然后在根轨迹图上分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳定性能等。然而，在系统初步设计过程中，重要的方面往往不是如何求出系统的阶跃响应，而是如何根据已知的闭环零、极点定性地分析系统的性能。4.5.1闭环零极点与时间响应4.5.2系统性能的定性分析

4.5控制系统的根轨迹分析方法接近虚轴，其邻近没有零点的闭环极点应用根轨迹法，根据对系统的要求，确定系统在某一参数下，闭环的极点位置.根据闭环零极点定性分析系统的性能主导极点偶极子相距很近的零、极点。10相对距离<模值4.5控制系统的根轨迹分析方法主导极点法采用主导极点代替全部的闭环极点来估算系统的性能指标选留主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距虚轴远6倍以上的闭环零、极点。4.5.2系统性能的定性分析（1）稳定性（2）运动形态（3）阻尼性（4）快速性在根轨迹图上获得4.5控制系统的根轨迹分析方法参看例题4-11解：绘制概略根轨迹图，计算d=-1,Kd=4,Kw=54（1）稳定性（2）运动形态（3）阻尼性（4）快速性4.5控制系统的根轨迹分析方法通过改变根轨迹图来改变闭环极点分布(1)开环零极点的影响（2）偶级子的影响（3）参看例题4-124.5控制系统的根轨迹分析方法开环零极点的分布对系统根轨迹的影响4.5控制系统的根轨迹分析方法设某闭环系统的原开环传递函数为，其根轨迹如图4-22所示。当在以下三种情况下，讨论闭环系统根轨迹和控制系统性能有哪些变化？（1）增加开环极点（2）增加开环实零极点（3）增加一对开环偶极子4.5控制系统的根轨迹分析方法解（1）增加开环极点如给G0(s)附加一个原点极点，即串接一个积分环节,则开环传递函数为4.5控制系统的根轨迹分析方法（2）增加开环零点在原开环系统中串联一个s=-3的零点后,开环传递函数成为4.5控制系统的根轨迹分析方法（3）增加开环偶极子在s平面原点附近的负实轴上增加一对开环偶极子，并使z0=γp0,γ>1(即零点在极点的左边)。则可基本不改变原根轨迹的形状，而使系统的开环放大倍数提高到原来的γ倍，即若取p0=0.02，γ=5，z0=0.1，其根轨迹如图4-25所示开环增益增加了5倍。4.5控制系统的根轨迹分析方法

(开环偶极子对根轨迹的影响)在开环传递函数中,合理配置偶极子,可改善系统的稳态性能.不影响根轨迹的形状不影响根轨迹点的根轨迹增益4.5参数根轨迹在比例微分控制中，分析当K=0.25,1,5,10时，Ta对系统性能的影响。闭环传递函数特征方程开环传递函数当k=0.254.5参数根轨迹在根轨迹上，分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳态性能当k=1当k=10当k=5第四章习题简答··4-3绘制下列系统负反馈系统的根轨迹，开环传递函数为解：m=0,无开环零点

n=4,开环极点p1=0,p2=-2,p3=-1+j,p4=-1-j渐进线：交点-1,交角450，1350，-1350，-450分离点：d=-1第四章习题简答··4-3绘制下列系统负反馈系统的根轨迹，开环传递函数为解：m=1,开环零点z=-2

n=4,开环极点p1=0,p2=-3,p3=-1+j,p4=-1-j渐进线：交点-1,交角600，1800，-600出射角

：-26.70,26.70第四章习题简答··4-6绘制下列系统负反馈系统的根轨迹，开环传递函数为解：化为根轨迹的标准形式渐进线：分离点

：d=-0.422,与虚轴的交点：k=3,s=j1.414系统稳定：0<k<3第四章习题简答··若阻尼=0.5，求系统的性能指标在根轨迹上找出闭环极点s1及对应的其他极点第四章习题简答··4-7单位负反馈系统的开环传递函数为（1）画根轨迹（2）分析k对系统性能的影响，求最小阻尼比所对应的闭环极点解：分离点

：d=-0.无需计算与虚轴的交点第四章习题简答··最小阻尼比根据几何关系求出根轨迹上闭环极点s1第四章习题简答··4-10在负反馈系统的传递函数为（1）画根轨迹，讨论稳定性（2）H(s)=1+2s,分析H对系统稳定性的影响.解：m=0,无开环零点

n=4,开环极点p1=0,p2=0,p3=-2,p4=-5渐进线：交点-7/3,交角（度）45，135，-135，-45分离点：d=-4第四章习题简答··第四章习题简答··解：m=1,开环零点z=-0.5

n=4,开环极点

p1=0,p2=0,p3=-2,p4=-5渐进线：交点-6.5/3,交角600，1800，-600计算与虚轴的交点系统稳定：0<k<22.45第四章习题已知某负反馈系统的开环传递函数为