【总复习课件】三角函数

第一课时三角函数的相关概念第二课时三角变换与求值第三课时三角函数的图象和性质(1)第四课时三角函数的图象和性质(2)课题:第四章三角函数单元复习Thursday,February2,2023三角函数单元复习2任意角的概念角的度量方法（角度制与弧度制）弧长公式与扇形面积公式任意角的三角函数同角公式诱导公式两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）三角函数的图形和性质正弦型函数的图象已知三角函数值，求角知识网络结构Thursday,February2,2023三角函数单元复习3第一课时三角函数的相关概念Thursday,February2,2023三角函数单元复习41、角的概念的推广x正角负角oy的终边的终边零角一、角的有关概念2、角度与弧度的互化Thursday,February2,2023三角函数单元复习5二、弧长公式与扇形面积公式1、弧长公式：2、扇形面积公式：RLαThursday,February2,2023三角函数单元复习61、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。2、象限角、象间角与区间角的区别3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式三、终边相同的角Thursday,February2,2023三角函数单元复习7四、任意角的三角函数定义xyo●P(x,y)r五、同角三角函数的基本关系式倒数关系：商关系：平方关系：三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”Thursday,February2,2023三角函数单元复习8典型例题

各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；例1.若α是第三象限的角，问α/2是哪个象限的角?2α是哪个象限的角?Thursday,February2,2023三角函数单元复习9例2．已知sinα=m(|m|≤1)，求tanα.方法指导：此类例题的结果可分为以下三种情况.(1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解.(2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解.(3)已知角α的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论.α分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解.Thursday,February2,2023三角函数单元复习10指导：在各象限中，各三角函数的符号特征是去绝对值的依据.另外，本题之所以没有讨论角的终边落在坐标轴上的情况，是因为此时所给式子无意义，否则同样要讨论例3．化简Thursday,February2,2023三角函数单元复习11指导：容易出错的地方是得到x2＝3后，不考虑P点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地，在解此类问题时，可以优先注意角α所在的象限，对最终结果作一个合理性的预测例4．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，

)，且cosα＝，求sinα和tanα.Thursday,February2,2023三角函数单元复习12例5，若tanA=

,求2sin2A+sinA·cosA-3cos2A的值。指导：这是一个已知角A的三角函数值，求它的三角函数式的值。观察其构成特征，可考虑利用“1”的恒等变形，把欲求值的三角函数式用条件正切来表示。即先变形，后代入计算。Thursday,February2,2023三角函数单元复习13解：例5，若tanA=

,求2sin2A+sinA·cosA-3cos2A的值。Thursday,February2,2023三角函数单元复习14例6，若，则

。指导:条件是正余弦的乘积，结论要求的是差，要想联系起来只有平方，需注意的是∈(,)即=1-2×1/8=3/4∴Thursday,February2,2023三角函数单元复习15例7.已知一扇形中心角是α，所在圆的半径是R.①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.②若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值?指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度.

Thursday,February2,2023三角函数单元复习16

解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。

（2）扇形周长C=2R+l=2R+当扇形面积有最大值。Thursday,February2,2023三角函数单元复习17练习题一Thursday,February2,2023三角函数单元复习18补充:已知(1)试判断的符号；(2)化简作业《同步作业》小结复习(1)Thursday,February2,2023三角函数单元复习19解：由的终边在第二、三象限或y轴和x轴的负半轴上；

又，∴角的终边在第二、四象限，从而的终边在第二象限。（1）易知（2）原式=Thursday,February2,2023三角函数单元复习20第二课时三角变换与求值Thursday,February2,2023三角函数单元复习21诱导公式二诱导公式三诱导公式一诱导公式四诱导公式五（把α看成锐角）纵变横不变，符号看象限公式记忆诱导公式六一、诱导公式Thursday,February2,2023三角函数单元复习22Thursday,February2,2023三角函数单元复习23二、两角和与差的三角函数1、预备知识：两点间距离公式xyo●●2、两角和与差的三角函数注：公式的逆用及变形的应用公式变形Thursday,February2,2023三角函数单元复习243、倍角公式Thursday,February2,2023三角函数单元复习25其它公式(1)1、半角公式2、万能公式Thursday,February2,2023三角函数单元复习26其它公式(2)sincos=[sin(+)+sin(

)]

积化和差公式cossin=[sin(+)sin(

)]

coscos=[cos(+)+cos(

)]

sinsin=[cos(+)cos(

)]和差化积公式Thursday,February2,2023三角函数单元复习27例１、设cos(α-β)=-4/5，cos(α+β)=12/13，α-β∈(π/2，π)，α+β∈(3π/2，2π)，求cos2α、cos2β的值.方法指导:

(1)解条件求值问题，转化是关键观察条件与求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向求式转化，要么将求式进行变形向已知式转化，

典型例题

（2）“整体角”——“α+β”、及“α-β”的应用:

(α+β)+(α-β)=2α,(α+β)-(α-β)=2β，Thursday,February2,2023三角函数单元复习28解:应用：找出已知角与未知角之间的关系例2.已知

Thursday,February2,2023三角函数单元复习29例3.Thursday,February2,2023三角函数单元复习30例4、求值：方法指导:三个关键点将1+·tan10°“切化弦”(3)对于形如1±cosα、1±sinα的式子的化简应熟练掌握.Thursday,February2,2023三角函数单元复习31解：应用：化简求值例5.已知Thursday,February2,2023三角函数单元复习32例6.化简：解法1:从“角”入手,“复角”化为“单角”,利用“升幂公式”Thursday,February2,2023三角函数单元复习33例6.化简：

解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式”。Thursday,February2,2023三角函数单元复习34例6.化简：

解法3：从“名”入手，“异名化同名”。Thursday,February2,2023三角函数单元复习35例6.化简：解法4：从“形”入手，利用“配方法”。Thursday,February2,2023三角函数单元复习36练习题Thursday,February2,2023三角函数单元复习371.在利用诱导公式求三角函数的值时，一定要注意符号误解分析2.如何巧妙地灵活地运用两角和与差、倍角、半角公式，是三角变换的关键3.三角变换一般技巧有①切割化弦，②降次，③变角，④化单一函数，⑤妙用1，⑥分子分母同乘除，⑦和积互化等，

方法不当就会很繁，只能通过总结积累解题经验，选择出最佳方法.Thursday,February2,2023三角函数单元复习38作业《同步作业》小结复习(2)相等?若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.Thursday,February2,2023三角函数单元复习39第三课时三角函数的图象与性质㈠Thursday,February2,2023三角函数单元复习40图象y=sinxy=cosxxoy-11xy-11性质定义域RR值域[-1，1][-1，1]周期性T=2T=2奇偶性奇函数偶函数单调性o(一)三角函数的图象与性质Thursday,February2,2023三角函数单元复习413、正切函数的图象与性质y=tanx图象xyo定义域值域R奇偶性奇函数周期性单调性Thursday,February2,2023三角函数单元复习421、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法2、y=Asin(ωx+φ)关于A、ω、φ的三种变换法一：五点法列表取值方法：是先对ωx+φ取0，π/2，π，3π/2，2π法二：图象变换法（1）振幅变换（对A）（2）周期变换（对ω）（3）相位变换（对φ）1、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法(二)y=Asin(ωx+φ)的相关问题Thursday,February2,2023三角函数单元复习433、求y=Asin(ωx+φ)+K的解析式的方法4、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的对称中心和对称轴方程Thursday,February2,2023三角函数单元复习44说明:三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视.(1)判断角的象限；(2)求对应锐角；如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.(3)求出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－x1＋π；如果它是第三或第四象限角，则可表示为x1＋π或－x1＋2π.(4)求出一般解利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.（三）已知三角函数值求角”的基本步骤1、基本步骤Thursday,February2,2023三角函数单元复习452、表示角的一种方法——反三角函数法1、反正弦：这时sin(arcsina)=a

2、反余弦：这时cos(arccosa)=a

这时tan(arctana)=a

3、反正切：Thursday,February2,2023三角函数单元复习46典型题选讲【例1】已知下图是函数的图象(1)求的值；(2)求函数图象的对称轴方程.Ox21–1–2yThursday,February2,2023三角函数单元复习47典型题选讲Ox21–1–2y解析：解这类问题的一般方法是通过特殊点来确定函数中的，于是由题设图象知:（1）（2）函数图象的对称轴方程为

即。Thursday,February2,2023三角函数单元复习48Thursday,February2,2023三角函数单元复习49Thursday,February2,2023三角函数单元复习50Thursday,February2,2023三角函数单元复习51Thursday,February2,2023三角函数单元复习52例4f(x)=2acos2x+2asinxcosx-a+b(a≠0)定义域为[0,]，值域为[-5,1]，求a，b。解：f(x)=asin2x+acos2x+b=2asin(2x+)+b-≤sin(2x+)≤1

当a>0时2a+b=1a=2-a+b=-5b=-3

当a<0时-a+b=1a=-22a+b=-5b=-1∴Thursday,February2,2023三角函数单元复习53Thursday,February2,2023三角函数单元复习54例2:已知函数求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值及相应的x的值；⑷函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到。解：⑴⑵⑶⑷图象向左平移个单位图象向上平移2个单位

应用：化同一个角同一个函数Thursday,February2,2023三角函数单元复习55例3、函数f(x)=cos2(x-)+sin2(x-)+msinxcosx的值域为[a,2](x∈R,m>a)求m值和f(x)的单调增区间。解：f(x)=Thursday,February2,2023三角函数单元复习56例4函数y=cos(2x+)图象的一条对称轴方程为_____。(A)x=-(B)x=-(C)x=(D)x=解：2x+=k2x=k-x=-k=0x=-选B例5函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来2倍（纵坐标不变）得函数y=sinx图象则ω=____φ=____。解：y=sin2x=sin2(x-)=sin(2x-)ω=2φ=-Thursday,February2,2023三角函数单元复习57Thursday,February2,2023三角函数单元复习58课堂练习1.给出四个函数:(A)y=cos(2x+π/6)

(B)y=sin(2x+π/6)(C)y=sin(x/2+π/6)(D)y=tan(x+π/6)则同时具有以下两个性质的函数是()①最小正周期是π②图象关于点(π/6，0)对称.2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论中正确的是()(A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π(B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1(C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象(D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象ADThursday,February2,2023三角函数单元复习593.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移π/4个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x，则f(x)是()(A)cosx(B)2cosx(C)sinx(D)2sinx

B４.关于函数f(x)=２sin(3x-3π/4），有下列命题：①其最小正周期是2π/3；②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位得到；③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4)；④在x∈[π/12，5π/12]上为增函数.其中正确的命题的序号是_________①④Thursday,February2,2023三角函数单元复习60考点练习重庆市万州高级中学曾国荣wzzxzgr@126.comDOxyOxyOxyOxyABCDThursday,February2,2023三角函数单元复习61５.函数y=|tgx|·cosx(0≤x＜3π/2，且x≠π/2)的图象是(

)ＣThursday,February2,2023三角函数单元复习62６７Thursday,February2,2023三角函数单元复习63９、求下列函数的值域：8、Thursday,February2,2023三角函数单元复习6421）已知f(x)=2sin(x+)cos(x+)+2cos(x+)-。（1）化简f(x)的解析式；（2）若0≤θ≤π，求θ，使函数f(x)为偶函数。（3）在（2）成立的条件下，求满足f(x)=1，x∈[-π,π]的x的集合。解：(1)f(x)=sin(2x+θ)+[2cos2(x+)-1]=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2cos(2x+θ-)(2)当θ=时f(x)为偶函数。(3)2cos2x=1cos2x=x=±

或x=±Thursday,February2,2023三角函数单元复习651.在能力·思维·方法4中，由于φ没有给出范围，所以极易求出不合题意的φ值，解题时要结合“零点”观察误解分析2.由y=sinx作y=sin(2x+π/3)图象，如果先把横坐标缩短为原来的1/2倍，得y=sin2x后再平移，应向左平移π/6，切勿左移π/3.Thursday,February2,2023三角函数单元复习66三角函数部分题型一、概念题：1、任意角的概念2、弧度制概念3、任意角的三角函数概念；概念是逻辑判断的依据，是数学分析、理解的基础二、考查记忆、理解能力题如：简单的运用诱导公式、和、差、倍、半角公式的堆积题要求学生做到：记忆熟悉、计算细心、答案正确三、求值题1、特殊角、非特殊角的三角函数求值题4、周期5、反三角函数6、三角函数线Thursday,February2,2023三角函数单元复习672、已知三角函数求角（反三角函数的定义和表示）3、求正弦、余弦型函数的解析式三、三角函数的图象与性质题1、求定义域（注意与不等式的结合）2、求值域题如：求y=asinx+bcosx的最值题及其变换题3、求周期4、奇偶性5、单调性：如求单调区间、比较大小四、图象变换题1、画图和识图能力题：如：描点法、五点法作图、变换法2、已知图象求解析式（五点法作图的应用）Thursday,February2,2023三角函数单元复习68

五、三角函数的最值：常用方法：①利用②形如，化为，再利用①③利用函数的单调性④判别式法⑤换元法|sinx|≤1,|cosx|≤1Thursday,February2,2023三角函数单元复习69三角解题常规宏观思路分析差异寻找联系促进转化指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一Thursday,February2,2023三角函数单元复习701、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；6、见2sinα，想拆成sinα+sinα；7、见sinα±cosα或想两边平方或和差化积8、见asinα+bcosα，想化为9、见cosα·cosβ·cosθ····，先若不行，则化和差微观直觉10.见cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)····，想乘sinα+sinβ=pcosα+cosβ=qThursday,February2,2023三角函数单元复习71高考试题精选及分析C点评:本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的余弦符号确定结论.Thursday,February2,2023三角函数单元复习72思路:函数y=sin2x+acos2x可化为要使它的图象关于直线x=-π/8对称,则图象在该处必是处于波峰或波谷.即函数在x=-π/8时取得最大、小值.Thursday,February2,2023三角函数单元复习73解题步骤:3.指出变换过程:Thursday,February2,2023三角函数单元复习74答案:tg(α－2β)=7/24.Thursday,February2,2023三角函数单元复习75基本思路:

最后结果:Thursday,February2,2023三角函数单元复习76Thursday,February2,2023三角函数单元复习77

例71、（02年）在内使成立的取值范围是（）2、（00年）函数的部分图象是（）xy0xy0xy0xy0CDThursday,February2,2023三角函数单元复习78例8、(00年)已知函数①当函数取得最大值时，求自变量的集合。②该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？Thursday,February2,2023三角函数单元复习79分析：①，当即：(k∈z)时，取得最大值。∴②y=sinxy=sin(x+)y=2sin(x+)纵伸长到原来2倍左移Thursday,February2,2023三角函数单元复习80例9、(98年)关于函数有下列命题：①的表达式可改写为②是以为最小正周期的周期函数③的图象关于点对称④的图象关于直线对称其中正确的命题序号是。①③Thursday,February2,2023三角函数单元复习81基础练习一、选择题:1、若A=21°，B=24°，则(1+tgA)(1+tgB)的值是()(A)1(B)2(C)1+(D)2(tgA+tgB)2、若270°<α<360°，则等于（）

(A)-cos(α/2)(B)cos(α/2)(C)sin(α/2)(D)-sin(α/2)BAThursday,February2,2023三角函数单元复习824.若函数f(x)sinx是周期为π奇函数，则f(x)可以是（）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x5.函数f（x）=sinx-cosx的最大值是（）

A.2B.1C.D.6．函数y=sin(2x+)的图象的一条对称轴是直线（）A.x=-B.x=C.x=-D.3．下列函数中，周期为的偶函数是（）A．y=sin4xB.y=cos4xC.y=tan2xD.y=cos2xBBDBThursday,February2,2023三角函数单元复习837.如果函数y=tan2x-2tanx,x∈(-,),那么它的值域为（）A.[-1,+∞]B.[-1,3]C.(-1,3)D.(-1,3)8.下列各式中，正确的是（）A.Sin>sinB.sin(-)>sin(-)C.tan>tan(-)D.cos(-)>cos(-)9.要得到函数y=cos(2x-)的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A.向左平移（单位长）B.向右平移（单位长）C．向左平移（单位长）D.向右平移（单位长）DCAThursday,February2,2023三角函数单元复习8410．函数y=的值域是（）A.[0，2]B.(0,2)C.[0,2]D.(0,2)11.若x∈(-,)，则使sinx>tanx>cotx成立的x的取值范围是（）A.(-,-)B.(-,0)C.(0,)D.(,)

12.已知函数

其中定义域相同的是（）A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)CBBThursday,February2,2023三角函数单元复习8513．函数y=2cos(2x-)的一个单调区间是（）A.[-B.[]C.[-,0]D.[-,]14．将函数y=sinx的图象向左平移（单位长），再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的曲线的解析式为（）y=sin(+)B.y=sin(2x-)C.y=sin(+)D.y=sin(3x+)AAThursday,February2,2023三角函数单元复习8615.函数y=sinxcosx+cos2x-的一个周期是（）A.B.C.D.16.如果，（，），且tan<tan,那么必有（）A.<B.>C.+<D.+>AAThursday,February2,2023三角函数单元复习872、设则ctg(π/4+α)=___________1、________二、填空题:4Thursday,February2,2023三角函数单元复习881、已知α、β为锐角，cosα=，

cos(α+β)=，求β。三、解答题:β为锐角，故=/3Thursday,February2,2023三角函数单元复习89Thursday,February2,2023三角函数单元复习90（三）单元测试一、选择题1）函数y=的值域是（A）(A)|3,-1|(B)|3,1|(C)|-1,1,3|(D)|-1,1-3|2）把函数y=sin(-3x)的周期扩大为原来的2倍，再将所得到函数的图像向右平移，则所得图像的函数解析式为（A）（A）y=sin(-)（B）y=cos（C）y=sin(-)（D）y=sin(-6x)3）函数y=sin2x的单调递减区间是（B）(A)[kπ-,kπ+],k∈Z(B)[kπ+,kπ+],k∈Z(C)[kπ,kπ+],k∈Z(D)[kπ+,kπ+π],k∈Z4）若函数y=sin(ωx)cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为4π，则ω等于（D）（A）4（B）2（C）（D）5）函数y=sin2x+2cosx(≤x≤)的最大值和最小值分别是（B）（A）最大值为，最小值为-

（B）最大值为，最小值为-2

（C）最大值为2，最小值为-

（D）最大值为2，最小值为-26）函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴方程是（D）(A)x=-(B)x=-(C)x=(D)x=π7）设则有（C）（A）a<b<c（B）b<c<a

（C）c<b<a（D）a<c<b8）已知f(x)=xcosx-5sinx+2，若f(2)=a，则f(-2)等于（D）（A）-a（B）2+a（C）2-a（D）4-a9）若0<a<1，在[0,2π]上满足sinx≥a的x的范围是（B）(A)[0,arcsina](B)[arcsina,π-arcsina](C)[π-arcsina,π](D)[arcsina,+arcsina]10）函数y=lgsinx+的定义域是（A）（A）{x|2kπ<x≤2kπ+(k∈Z)}（B）{x|2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z)}（C）{x|2kπ<x≤2kπ+π(k∈Z)}（D）{x|2kπ<x≤2kπ+(k∈Z)}11）已知函数f(x)=-acos2x-asin2x+2a+b，其中a>b，0≤x≤

，-5≤f(x)≤1，则当t[-1,0]时，g(t)=at2+bt-3的最小值为（C）（