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基本不等式

下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的.颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。情景导入思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’

=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？

探究１：S>S′问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab思考：你能给出不等式的证明吗？证明：（作差法）问题一替换后得到：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法问题二证明不等式：特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0

函数，当取什么值时的值最小？最小值是多少？例题解当且仅当答：当取1时，的值最小，最小值为4适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0课堂小结：注意从不同角度认识基本不等式思考题1.求函数

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+12.若

0<x<,求函数

y=x(1-2x)

的最大值.12=(x

+1)+

-11x+1

f(x)=x

+

1x+1=1,≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当

x=0

时,函数

f(x)

的最小值是

1.x+1=

,即

x=0

时,1x+1解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.∴1.求函数

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+1配凑系数分析:

x+(1-2x)

不是

常数.2=1为

解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤

∙[]22x+(1-2x)21218=.

当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即

x=

14∴当

x=时,

函数

y=x(1-2

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