考研-课件第12章结构动力计算

多自由度体系自由振动的重要特性：1)多自由度自振频率和主振型的个数均与体系自由度的个数相等；2)每个自振频率有其相应的主振型，而这些主振型就是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式；3)多自由度体系的自振频率和主振型是体系自身的固有动力特性，它们只取决于体系自身的刚度系数及其质量的分布情形，而与外部荷载无关。【例12-22】图示框架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，试计算其自振频率和主振型。解：本例两层框架为两个自由度体系，用刚度法计算较为方便。(1)求刚度系数kij(2)求自振频率wi将m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入所以由此得(3)求主振型（振型常数ri）第一主振型第二主振型(4)作振型曲线，如图所示。第一主振型

第二主振型

2.柔度法作用下所产生的静力位移（图a）对于图示体系，在自由振动中的任一时刻t，质量m1、m2的位移、应当等于体系在当时惯性力思路(1)运动方程的建立dij是体系的柔度系数也可写为或以上运动方程，也可利用刚度法所建立的运动方程间接导出：因所以，有前乘以[d]，得注意：[d]与[K]虽然互为逆阵，但[d]中之dij与[K]中之kij元素一般并不互逆（仅单自由度体系例外）。(2)运动方程的求解(3)求自振频率wi设特解代入运动方程，并消去公因子表明，主振型的位移幅值(Y1及Y2)，就是体系在此主振型惯性力幅值作用下引起的静力位移，如图所示。惯性力为:将式通除以称为振型方程或特征向量方程。为了求得Y1、Y2不全为0的解，应使该系数行列式等于零，即称为频率方程或特征方程。由它可以求出w1和w2。令l

=，代入式(a)，得关于l

的二次方程展开，得(a)可解出l的两个根，即约定l1>l2(从而满足w1<w2)，于是求得(4)求主振型1)第一主振型：将w=w1代入2)第二主振型：将w=w2代入【例12-23】试求图示结构的自振频率及主振型。各杆EI为常数，弹性支座的刚度系数。解

(1)计算柔度系数dij应考虑弹性支座变形对位移的影响。图图图(1)计算柔度系数dij(2)求自振频率wi将m1=m2=m及已求得的dij代入(3)求主振型ri(4)作振型曲线第一主振型

第二主振型【例12-24】试求图示等截面梁的自振频率和主振型。质量m1=m2=m＝1000kg。E＝200GPa，I＝2×104cm4，l=4m。图图图图解:(1)求柔度系数dij(2)求自振频率wi(3)求主振型ri第一主振型第二主振型(4)作振型曲线第一主振型（反对称）第二主振型（对称）

如果结构和质量布置都是对称的，体系的振型必定是对称或反对称的,可以利用对称性，取半边结构计算体系的第一频率,第二频率。这样，就将两个自由度体系的计算问题，简化为按两个单自由度体系分别进行计算。反对称半边结构对称半边结构第一主振型（反对称)

第二主振型（对称）【例12-25】试计算图示刚架的自振频率和主振型。解：取集中质量m处竖向位移y和刚性杆CD绕C点的转角q作为独立的几何位移。由于本题是由线位移和角位移耦合组成的振动，因此，不能简单地利用前面按柔度法推出的公式计算自振频率和主振型，而应从考虑结构整体平衡，建立运动方程入手。某一瞬时t，刚架上作用的惯性力如图所示。由分布质量所产生的惯性力对C点的合力矩为(1)计算柔度系数dij图图惯性力建立运动方程:惯性力将及各柔度系数dij代入式(a)，经整理后，得(a)与运动方程对比可知：m1=m，(3)求自振频率wi(4)求主振型ri(5)作振型曲线

第一主振型

第二主振型12.6.2（推广）n个自由度体系的自由振动1.刚度法(1)运动方程的建立平衡方程为其中式中，kij是结构的刚度系数，即使j方向产生单位位移（其他各点的位移保持为零）时所在点i所需施加之力。即得自由振动微分方程组其矩阵形式为或简写为(2)运动方程的求解设特解(3)求自振频率将和代入式，得这是关于位移幅值的齐次线性代数方程，称为振型方程或特征方程。频率方程为其展开形式为（4）求主振型令表示与频率wi相应的第i个主振型向量，即将wi和代入振型方程，得令i=1,2,…,n，可得出n个振型方程，由此可求出n个主振型：可求出由振型方程可以惟一地确定主振型的形状，即中各幅值的相对值，但不能惟一地确定它的幅值(因方程右端项干扰力为零)。（5）标准化主振型(规一化主振型)一般常用以下两种作法：1)规定主振型中的某个元素为某个给定值。通常规定第一个元素Y1i或最后一个元素Yni等于1，也可以规定最大的一个元素等于1。2)规定主振型满足【例12-26】试求图示三层刚架的自振频率和主振型（横梁变形略去不计）。各层间侧移刚度（亦称抗剪刚度，为该层上下两端发生单位水平相对位移时该层各柱剪力之和）分别为k1、k2、k3，其单位为MN/m。解：以各楼层的水平位移为几何坐标。（1）求自振频率wi1)建立刚度矩阵[K]k11=k1+k2=441k21=k12=-k2=-196k31=k13=0k22=k2+k3=294k32=k23=-k3=-98k33=k3=98于是，得到刚度矩阵为N/m2)建立质量矩阵[M]kg3)引入符号，并求自振频率则频率方程为其展开式为解得上式的三个根为于是得（2）求主振型设取各标准化振型的第一个元素Y1i为1，确定Y(i)的方程为可得为求第一标准化振型，令i=1，并将代入上式，利用其前两个方程，得设Y11=1，解出Y21=2Y31=3将Y11、Y21、Y31三个元素汇总在一起，得第一振型为依照以上作法，可得第二和第三标准化振型为第一主振型第二主振型第三主振型2.柔度法(推广到n个自由度)(1)振型方程刚度法导出的特征向量方程为用[d]左乘上式得上式通除以w2，再令可得柔度法的振型方程其展开式为由此得到关于l的n次代数方程，可解出n个根l1，l2，…，ln，进而可求n个频率w1，w2，…，wn。将所有的频率从小到大排列，得频率谱。(3)主振型(2)频率方程【例12-27】试求图示刚架的自振频率和主振型。已知各杆EI＝常数。解：本刚架具有三个自由度

(1)求柔度系数图图图(2)求自振频率体系的柔度矩阵和质量矩阵为频率方程并解得故自振频率为(3)求主振型并绘振型图将li(i=1,2,3)分别代入振型方程并令Y3i＝1，即可求得各阶各振型为:1)第一主振型2)第二主振型3)第三主振型主振型图

第一主振型

第二主振型

第三主振型【例12-28】求图示刚架的自振频率和振型。已知m1=m4=100kg，m2=m3=150kg，EI1=6MN·m2，EI2=3EI1。五个自由度的体系

正对称自由振动反对称自由振动解：此刚架具有五个自由度。利用对称性，分解为有两个自由度的正对称自由振动和有三个自由度的反对称自由振动分别进行计算，其结果列于下面线框内。从小到大重新排列正对称自由振动反对称自由振动主振型图

第一主振型

第二主振型第三主振型

第四主振型第五主振型12.7主振型的正交性●在同一体系中，不同的两个固有振型之间，无论对于[M]或是[K]，都具有正交的性质（分别称为第一正交性和第二正交性。●利用这一特性，一是可以将多自由度体系的强迫振动简化为单自由度问题（主要应用在任意干扰力作用下的强迫振动）二是可以检查主振型的计算是否正确，并判断主振型的形状特点。12.7.1主振型的第一正交性n个自由度体系的振型方程为设wi为第i个自振频率，其相应的振型为；wj为第j个自振频率，其相应的振型为。将它们分别代入上式，可得(a)(b)对式(a)两边左乘以，对式(b)两边左乘以，则有(c)(d)将式(c)减去式(e)，得当时，得为主振型的第一正交性，它表明，对于质量矩阵[M]，不同频率的两个主振型是彼此正交的。即将式(d)两边转置，将有(e)12.7.2主振型的第二正交性将式(12-83a)代入式(c)，可得称为主振型的第二正交性，它表明，对于刚度矩阵[K]，不同频率的两个主振型也是彼此正交的。12.7.3主振型正交性的物理意义1.第一正交性的物理意义将式分别乘以和，可以得出以下两式式(a)说明第i主振型惯性力在第j主振型上所做的虚功为零；式(b)说明第j主振型惯性力在第i主振型上所做的虚功为零。因此，第一正交性的物理意义是：相应于某一主振型的惯性力不会在其他主振型上做功。(a)(b)2.第二正交性的物理意义由可知，第二正交性的物理意义是：相应于某一主振型的弹性力不会在其他主振型上做功。3.小结主振型的正交性可理解为：相应于某一主振型作简谐振动的能量不会转移到其他振型上去，也就不会引起其他振型的振动。因此，各主振型可单独存在而不互相干扰。可推导出【例12-29】试验算例12-26所求得的主振型是否满足正交关系。解：由例12-26得知质量矩阵和刚度矩阵分别为又三个主振型分别为(1)验算第一正交性同时，有(2)验算第二正交性同时，有经以上检验表明，例12-26所求得的主振型是满足第一、第二正交关系的，其计算是正确无误的。12.8多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动(无阻尼)12.8.1刚度法1.运动方程的建立以质点为隔离体，其振动方程为2.运动方程的求解简谐荷载，即(1)设特解形式(2)求位移幅值代入得由此可解得质点位移的幅值。位移幅值Yi为正号，表示与FPi(t)同方向达到最大值，负号表示与FPi