数理统计第一章绪论1.2节若干基本概念

第一章绪 定义1.2.1(总体)：一个统计问题所研究对象的全体.：1 若总体 数目为无限个，称为无限总例1.2.1假定一批产品有10000件，其中有正 2仅仅是关心其每个的一项(或几项)情况.这时，总体可以看成由所有具的集合.3该批灯泡

4 和将来)的最高气温 测量某一湖泊任一地点的深5由于每个的出现是随机的，所以相应的上的数量指标的出现也带有随机性.从而可以把这种数量指标看作一个随量.因此，随量的分布就是该数量指6例1.2.1(续)假定10000件产品中废品数为100件，其余为正品，废品率为0.01定义随量如下：X1废0,正X服从的分布为0-1分布，且P(X=1)=0.01 7 量X的研究,X的分布函数和数字特征就称为8 示，或用其分布函数F(x)表示.若F有密度f，则此总体也可以用密度函数f来某灯泡X可用某灯泡9 F(x,y)来表示.若F有密度f，则此总体也可以用联合密度函数f来表示1.2.2.则从总体中抽取若干进行观察试验，为“抽样”所抽取的部分称为样本(或子样样本中所包含的数目称为样本容量的全体，构成样本空间，记为.例1.2.3：打靶试验，每次打三发{(x1,x2,x3):xi

,10;i1,2,样本是 量容量为n的样本可以看作n维随机向个具体的数(x1,x2,…,xn)，称为容量为n打靶问题中，三维样本X=(X1,X2,X3),其0Xi10(i12,3)为整数,它们是数字向量 注：总体、样本、样本值的关高，用X1,X2,…,X10表示10个人的身高。进行试验后，得到10个数x1x2,…,x10，它们是样本取到的值.我们只能观察到随量取的值而见不到随量由于抽样的目的是为了对总体分布中某抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点代表性X1X2Xn中每一个与所独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的 由简单随机抽样得到的样本称为单随机样本，简称样本;它可以用与总体同分布的n个相互独立的随量X1,若总体的分布函数为F,从总体中抽容量为n的独立同分布样本，常记X1,X2,…,Xni.i.d.F有密f可记X1,X2,…,Xni.i.d.X1,X2,…,Xn为从总体X中抽取的容量为n的X1X2Xn相互独X1X2Xn有相同分布,即同有分布则称X1,X2,…,Xn为从总体X中得到的(X1,“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.总体（理论分布？样 样本样 是联系二者的桥设总体X的分布函数F(x)PX则(X1,X2 ,Xn 的联合分布函,xn F*,xn PX1x1,X2x2 ,XnxnPX1x1PX2x2nF(xini1

PXnxn总体Xf(x),则,xnX1,X2, ,X,xn1f*x1

,x2f(xnf(1)ff(xnnfxin若总体X为离散型 量，其分布为 (X1X2Xn)联合分布律f(x1,x2,xn)P(X1x1,X2x2,XnxnnP(Xnxi{y1,y2,},i

xi设二维总体(X,Y)的分布函F(x，y)P(Xx,Yy),(Xn,Yn(X1,Y1),(X,(Xn,YnnnF(x1,y1)F(x2,y2 F(xn,yn)F(xi,yi若F(x,y)有密度f(x,y)，则其密度nf(x1,y1)f(x2,y2

f(xn,yn)f(xi,yi例1.2.4一大批产品共有N件，其中废品M求样本分布1第i次抽出的为废品Xi0第i次抽出的为合格品样本X1,X2 ,Xn中的每一个都只能取01两个值之一.给定一组样本x1,x2所求样本分布为

,xn每个xi为0或P(X1x1,X2 ,Xnxn利用概率乘法公式得P(X1x1,X2 ,XnxnMNMMNM(a1)NMN(a NNM(n1N(n

x2, xn为01，且xi其他情：X1, ,Xn例1.2.5一大批产品共有N件，其中废品M1,第i次抽出的为废品Xi0,第i次抽出的为合格品样本X1,X2 ,Xn中的每一个都只能取01两个之一.给定一组样本x1,x2 ,xn,每个xi为0或所求样本分布为P(X1x1,X2 ,Xnxn 由于P(X 1)M/N,P(X 0)(NM)/ 因P(X1x1,X2 ,XnxnM

NM N

x1x2, xn为01，且xi 例1.2.6为估计一物件的重量a，用一架天平将它重复称n次，结果记为X1,X2,,Xn求样X1,X2Xn的分布需要进行一些假假定1：各次称重相互独X1,X2 ,Xn是相互独立的 假定2：各次称重在相同条件下进X1,X2 ,Xn同分为确定X1,X2, ,Xn的分布，在以上假定下求出X1的分布即可.在此考虑称重误差的特性的随机因素叠加而成，而每一个所起作从而X1的概率分布为N(a,

2)因此X1,X2 ,Xn的分布i i

f(x,x ,x)

exp (xa)2

补例1:设总体X～N(,2),R, 0(X1,X2(X1,X2

Xn)为抽自总体XXn)的联合概率密度函数解:由于X～N(,2 其概率密度函数f(x;

2)

exp

(x)2 X1X2n

,Xn

n

f(xi;1

2 (x)2 exp

i i exp

(x)2

补例2：设总体X～B(1,p),0p，即P{Xx}px(1p)1x，其中x0或x1，(X1,X2, ,Xn)为抽自总体X的样本，试求(X1,X2 ,Xn)的联合分布列解：样本(X1,X2,Xn)(x1,,Xn)(x1,x2,xn

,Xn的联合分布列 P{ x}

p

(1p)1xii1n

i1n npi1 (1p

pk(1p)n,其中k为观测值(x1,x2, ,xn的个数，k0,1,,1统计模型的确定(例1.2.4，例同一模型下可以提出很多不同的统计问(正态模型下的参数估计和假设检验问题1参数和参数空设样本X1,X2

,Xniid.,X1~N(,

2其中和2未知设样本X1,X2其中未知

,Xniid.,X1~Exp(),这些未知的量只有通过样本去估计参数取值范围称为参数空间设样本X1,X2

,Xniid.,X1~N(,

2其中和2未知该问题的参数空间{(,):R,设样本X1,X2其中未知

,Xniid.,X1~Exp(),该问题的参数空间{:2样本分布样本分布既然包含未知参数，则可能样本分布就不止一设样本X1,X2

,Xniid.,X1~N(,

2其中和2未知样本分布族n

f(xi;,

2):

(x)2f(xi;,)

exp 设样本X1,X2其中未知样本分布族

,Xniid.,X1~Exp(),n{f(xi;):nf(xi;)expxi,xi

{B(1,p):0p{B(n,p):0p{P():{U[a,b]:ab{E():0}{N(,2):R,3统计推统计推断包标补例某车间生产的直径X服从正态分布N(100,0.52)，现从一批中随机抽取10根，测98.599.699.8100100.2100.3