2.4.2圆的一般方程课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程复习：1.圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为

(x－a)2+(y－b)2=r2

当圆心在原点时(a=b=0)，圆的标准方程为：

x2+y2=r22.由于圆的标准方程中含有a,b,r

三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程.3.注意圆的平面几何知识的运用.思考我们知道,方程(x-1)2+(y-2)2=4表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0.

一般地,圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为

x2+y2+Dx+Ey+F=0(2)的形式.反过来,形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?例如,对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,对其进行配方,得(x-1)2+(y-2)2=-1,因为任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形.所以,形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明,形如(2)的方程不一定是圆的方程.将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边配方,并把常数项移到右边,得探究方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D,E,F满足什么条件时,这个方程表示圆?因此,当

时,方程①表示一个圆,我们把方程①叫做圆的一般方程.注意：任何一个圆的方程都可以写成：圆的标准方程的特点在于它明确地指出了圆心和半径.圆的一般方程突出了方程形式上的特点，是一个关于x,y的二元二次方程,其特点是缺少xy项,x2,y2项的系数相等且不为零.思考圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?解：(1)圆心坐标为(3,0),半径长为3；(2)圆心坐标为(0,-b),半径长为|b|；1.求下列各圆的圆心坐标和半径:课本P88解：(1)方程表示一个点(0,0)；(2)方程表示圆心坐标为(1,-2),半径长为1的圆；2.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由:课本P88解1：(待定系数法)设过O,M1,M2的圆方程为则∴过O,M1,M2的圆方程为例4求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.求圆的方程常用待定系数法,其大致步骤是:

(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;

(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;

(3)解出a,b,r或D,E,F,得到标准方程或一般方程.解2：(待定系数法)设过O,M1,M2的圆方程为则∴过O,M1,M2的圆方程为解3：例4求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.•l′•xO(0,0)yM1(1,1)••M2(4,2)l一般地，求圆的方程有两种方法：(1)待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组，求系数.(2)几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解.常用的性质是圆的弦的垂直平分线必过圆心.圆的标准方程：圆的一般方程：

利用待定系数法求圆的方程，对于由已知条件容易求出圆心坐标或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程.求圆的方程的方法：例5已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.•xOyA••B(4,3)•M134注意：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中,我们常常把图形看作点的轨迹(集合).解1：(相关点代入法)【教材89页·10】在平面直角坐标系中,如果点P的坐标(x,y)满足

证明:点P的轨迹是圆心为(a,

b),半径为r的圆.证明：∴点P的轨迹是圆心为(a,

b),半径为r的圆.方程特征：直接体现了圆上点的坐标x,y的间接关系,体现了变元(改变变量形式)和换元思想.

圆心为(a,b),半径为r

的圆

的参数方程为：圆的参数方程

特别地,圆心为(0,0),半径为r

的圆

的参数方程为：例5已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.•xOyA••B(4,3)•M134解2：(参数法)设M(x,y),A(x0,y0).由中点坐标公式得点M的轨迹参数方程为：消参数得∵点A在圆(x+1)2+y2=4上,3.如图,在四边形ABCD中,AB=6,CD=3,且AB//CD,

AD=BC,AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.•ABDC-3xOy33课本P88【巩固训练1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,点M在直线AB上,且满足求点M的轨迹方程.•xOyA••B(4,3)•M134解：【巩固训练2】已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．ABDC-2xOy2【巩固训练3】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．【巩固训练4】求经过点A(－2,－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解1：(1)x2

和y2

的系数相同且不为0，即A＝C≠0；(2)没有xy

这样的二次项，即B=0；(3)D2+E2－4AF>0.表示圆二元二次方程思考满足什么条件时，二元二次方程表示圆.1.圆心为(a，b)，半径为r

的圆的标准方程为：方程特征：明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）.---几何特征

.2.圆的一般方程为：方程特征：突出了圆方程形式上的特点.3.