【课件】函数概念的综合应用（课件）- (人教A版2019 必修第一册)

第三章

函数的概念与性质3.1.1函数的概念（第二课时）教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第三章《函数的概念与性质》的第一节《函数的概念及其表示》（第二课时）。教材通过具体的例子介绍了区间的概念，通过同一函数的概念加深学生对函数的理解，会求函数的定义域、值域.

借助第一课时的理论依据得到同一函数的概念，通过例子让学生掌握函数定义域，函数值的求法，强化学生的数学运算、数学抽象、数据分析的核心素养.学习目标

1.理解区间的概念，并会用区间表示集合。2.函数的三要素：定义域、对应法则及值域。3.掌握判定函数和函数相等的方法。4.学会求函数的定义域与函数值。重点、难点1.

重点：理解函数的三要素：定义域、对应法则及值域，会求函数的定义域与函数值，在此过程中培养学生的数学抽象、数据分析、数学运算的素养。2.

难点：进一步理解函数的对应关系

，体会函数相等的概念。（一）新知导入

创设情境、问题生成设计运行时速高达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.（一）新知导入

创设情境、问题生成【想一想】1.如何表示列车的运行速度的范围？2.还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？提示：1.我们已学习不等式、集合知识，所以用不等式可表示为

200<v<350，用集合可表示为{v|200<v<350}.2.还可以用区间表示为(200，350)，这是表示范围的另一种方法.（一）新知导入

探索交流、解决问题【问题1】

燃放烟火市元宵佳节的传统风俗，此起彼伏的烟花在天空中绽放，绚丽多姿，争奇斗艳，蔚为壮观.你听，烟火嗖嗖向空中窜去，在空中砰砰炸开；你看，五颜六色的烟花绽放了，美极了.已知：①烟花炸开的时间是10到26秒;②烟花炸开的高度是30到40米之间。【思考1】（1）烟花炸开的时间和炸开的高度都是一个大致范围，我们能否有其他的表示方法呢？（2）区间能表示单独的实数吗？（3）区间表示实数有什么要求吗？（二）区间的概念

区间的概念

：

设a，b是两个实数，且a＜b，我们规定

（二）区间的概念（1）区间只能表示_________的实数.如{3}不能用区间表示.（2）其他区间的表示方法。（3）注意端点的取舍，端点能取到是闭区间，端点取不到是开区间；_____和_____处一定是开区间。对概念的深度剖析：-∞+∞连续（二）区间的概念

【做一做】

用区间表示下列范围：[解析]∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∴A=（-∞，5]；∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,+∞）∴A∩B=（-∞，5]∩(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,+∞）

=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则用区间表示集合A、B、A∩B.（二）区间的概念【探究1】

用区间表示范围的时候应该注意什么？注意端点的取舍，端点能取到是闭区间，端点取不到是开区间；-∞和+∞处一定是开区间。【探究2】

当范围中有独立的实数时该怎么表示呢？独立的实数只能用集合来表示，也就是说区间的左端点一定小于右端点。（二）区间的概念【做一做】

若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为__________.【解析】由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴实数a的取值范围是(-∞,3).【答案】(-∞,3)（三）函数的相等提示：

1.由函数的概念可知是2个，定义域和对应关系；函数的三要素是：定义域、对应关系、值域。

2.根据函数的定义，函数值由自变量和对应关系唯一确定，所以函数的值域由定义域和对应关系唯一确定。【思考2】1.根据函数的定义，决定一个函数需要几个要素？函数的三要素是哪些？2.函数的值域由哪些因素确定？（三）函数的相等

函数的相等

：

一般地，函数有三个要素：_______________________.如果两个函数的定义域________，并且对应关系_________，我们就称这两个函数是_______函数.

定义域，对应关系与值域相同完全一致同一个1.两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也_________.2.定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？对概念的深度剖析：相同提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数（三）函数的相等【做一做】

判断下列函数是否为相同的函数？（1）f(x)=(

)2,

g(x)=

；（2）y=x0与y=1(x≠0)；（3）y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).[解析](1)因为函数f(x)=(

)2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=的定义域为{x|x∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数.（四）函数的定义域提示：

1.A

2.函数的定义域是指解析式中x的取值范围，所以地位相同，范围相同。【思考3】1.函数的定义域是函数定义中的哪个集合？2.已知函数的解析式，函数的定义域是指使解析式各部分都有意义的未知数的取值集合.如果函数的解析式未知呢？（四）函数的定义域

抽象函数的定义域

：

函数的解析式未知，求函数的定义域时应该遵循“______________________”的原则求自变量的取值范围。

地位相同，范围相同【做一做】

如已知函数f(x)的定义域为[-1,5],求f(2x-1)的定义域。[解析]已知f(x)的定义域是[-1,5],即-1≤x≤4.故对于f(2x-1)应有-1≤2x-1≤5,∴0≤2x≤6,∴0≤x≤3.∴函数f(2x+1)的定义域是[0,3]（五）函数的函数值、值域

2008年北京夏季奥运会中中国队获得51枚金牌,列金牌榜首位.让每个中国人都为之自豪!比赛进行天数与金牌总数如下表所示:天数12345678金牌总数2691317222627天数910111213141516金牌总数3539434546474951（五）函数的函数值、值域提示：（1）x的取值为1,2,3,…,15,16;y的取值为2,6,9,13,17,22,26,27,35,39,43,45,46,47,49,51.（2）f(2)=6,f(10)=39.若1≤a≤16,则f(a)对应y的一个值,否则无法表示.（3）不同.f(x)表示y是x的函数,其中f为对应关系;而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值f(a).（4）定义域：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},值域：{2,6,9,13,17,22,26,27,35,39,43,45,46,47,49,51}.【思考4】（1）设金牌总数是y,比赛天数为x,则该对应关系可用y=f(x)来表示,则x取哪些值,y取哪些值?（2）f(2)等于多少?f(10)呢?f(a)呢?（3）f(x)与f(a)是否相同?为什么?（4）定义域与值域是多少?（五）函数的函数值、值域

函数的值域：

函数的定义中，与的值相对应的值叫做_______，函数值____________的集合叫做函数的_______；值域是集合B的_______。并且函数值由定义域和对应关系唯一确定。

函数值值域子集【做一做】

已知(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则________，

_______.[提示]（六）函数概念的综合应用1.区间例1用区间的方法表示下列集合：表示为_____________；

表示为_____________.

[解析]表示为区间：[0,5)；表示为区间：（-∞，-1]∪[3,+∞)[答案][0,5)（-∞，-1]∪[3,+∞)（六）函数概念的综合应用1.区间【延伸拓展】若集合A=[2a+1,a-2],则实数a的取值范围用区间表示为______________.[解析]由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b.∵A=[2a+1,a-2],∴2a+1<a-2.∴a<-3,∴实数a的取值范围是(-∞,-3).答案：(-∞,-3)（六）函数概念的综合应用

如何用区间表示集合1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.【类题通法】【提醒】1.-∞和+∞处一定是开区间；2.独立的实数只能用集合来表示，也就是说区间的左端点一定小于右端点。3.区间和区间之间的连接和几何相同，也用“∪”和“∩”来连接。1.区间【巩固练习1】集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用区间表示为__________.

[答案](0,1)∪[2,11]（六）函数概念的综合应用2.函数相等例2.（多选题）（2020·安徽淮北市树人高级中学高一期中）下列函数中与函数y＝x不相同的是()A．y＝ B．y＝C．y＝ D．y＝【解析】函数y＝x的定义域为R，对于A，函数y＝x和y＝x2对应关系不同，故不是相同函数；对于B，函数y＝=t，定义域为R，故与函数y＝x是相同函数；对于C，函数y＝=|x|，和函数y＝x的对应关系不同，故不是相同函数；对于D，y＝的定义域为，和函数y＝x的定义域不同，故不是相同函数.答案：ACD（六）函数概念的综合应用2..函数相等

【类题通法】判断函数相等的方法定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等.（六）函数概念的综合应用2.函数相等【巩固练习2】试判断以下各组函数是否表示同一函数:[答案]⑤解析：①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同,是同一函数.①f(x)=,g(x)=x-1;②f(x)=,g(x)=;③f(x)=,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).其中表示相等函数的是___________(填上所有正确的序号).

（六）函数概念的综合应用3.函数的定义域例3.求下列函数的定义域:(1)y=(2)f(x)=【解】(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足即解得x<0,且x≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).（2）要使函数有意义,自变量x的取值必须满足即故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].（六）函数概念的综合应用3.函数的定义域例4.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域.【解析】已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4.故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4,∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤∴函数f(2x+1)的定义域是[-1，].（六）函数概念的综合应用3.函数的定义域

【类题通法】2.抽象函数的定义域：“地位相同，范围相同”1.常见函数的定义域：函数类型整式函数分式函数根式函数0次函数定义域R分母≠0奇次根式：R偶次根式：被开方数≥0底数≠0（六）函数概念的综合应用3.函数的定义域【巩固练习3】求下列函数的定义域.【解析】（1）由已知可得即所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}．（2）由已知可得即

所以定义域为（-∞，]∪[2,4)．（六）函数概念的综合应用4.求函数的函数值、值域例5.（2021·江苏高一专题练习）已知．（1）求，（a）+（3）的值；(2)若,求的值域．【解析】（1）因为

(2)因为，又因为所以得即所以函数的值域为[-4,5]（六）函数概念的综合应用4.求函数的函数值、值域例6.求下列函数的值域①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③；④【解析】①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)所以函数的值域为（-∞，3）∪（3，+∞）④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1所以y＝2(t2＋1)－t＝2（t-）2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[,+∞）（六）函数概念的综合应用4.求函数的函数值、值域

【类题通法】1.求函数值的方法(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值.(2)已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.2.求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f（x）=ax+b+（其中a，b，c，d为常数，且a≠0）型的函数常用换元法.（六）函数概念的综合应用4.求函数的函数值、值域【巩固练习4】求下列函数的值域（1）（2）【解析】（1）因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．（2）因为又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，所以0＜≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].（七）操作演练素养提升1．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x－1和y＝B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝(x－1)2