概率论与数理统计01-第一节-随机变量的数学期望

随机变量前面讨论了随机变量的分布函数,从中知道随机变量的分布数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中,人们并不需要去全面察随机变量的变化情而要知道它的某些数字特征即.例如在价地区粮食产量的水平通只要知道该地区粮食的平均产;又如,在价一批棉花的质量时,既要注意纤维的平均度又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度,平长度较大,偏程度小则量就较.等实际上描随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义,它能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包:数期望、方差、相关系数、第一节随变量的学期望内容要：一离型机量数期平均值是日常生活中最常用的一个数字特,它评判事物决等具有重要作.定义设是离散型随机变量的概率分布为P{X}p,iii如果p绝收敛,则义的学期望又均值为()p.iiiii二连型机量数期定义设是连续型随机变量,其度函数为(x)如

i

xf()dx绝对收敛,定的数学期望为E()

xf()三随机量数数期设是随机变量,()为实函数,则Yg()也是一随机变量,理上,虽可通过的布求出(X的布,再定义求出(的学期望E[g()]但种求法般比较复杂.下不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定.定理设X是个随机变量,(),(Y)存在则（1若为散型随机变量其率分布为P{X}iii则Y的学期望为E))]iii1（2）若X连续型随机变,概率密度为Y学期望为)E)]注:的性在于E必知道的,只道X的布即可.这给求随机变量函数的数学期望来很大方;上理可推广到二维以上情,即定理2是二维随机向,Zg(X))存,（1）若为离散型随机向,概率分布为P{Xy}i则Z的数望为g(x,y)p,ijijj1i1（2）若)为连续型随机向量,率密度为Z的学期望为E)]四数期的质C,E)．常数，则);E

1

)E212立,则E)E)注E)E)定能推出X独例如，在10中计算得EE

94

，31但P{X1，显然48P{XP{X故X与Y不立这质可推广到有限个随变量之和的情例题选：离型机量数期例1讲例1)甲乙人进行打所得数记为121,02831i试评定他们的成绩的好.

,们的分布律分别为解

我们来计算的期,得E)022)11这意味着,果甲进行很多次的,那,分数的算术平均就接近而得4k0.814kk4k0.814kk分数的数学期望为0.30.10.5().很明显乙成绩远不如甲的成绩.例(讲例2)某产品的每件表面上的疵点数服从参数

0.8的松分布,若定疵点数不超过个一等品价10元;疵数大于个不多为二等,价8元;疵点数超过个为废求产品的废品率;产品价值的平均.解设代表每件产品上的疵点,由意知

因为{4}P{X

k

0.8k!

e

所以产品的废品率为

0.001411.(2)设代产品的价值,那Y概率分布为Y0P{P4}P{X4}所以产品价值的平均值为Y){X4}{10

ek!kk

k!

e9.61(元)例3按定某车站每天8:00~9:00和之都恰有辆客车到,但站的时刻是随机,且者到站的时间相互独其律为8:00~9:00站时间9:00~10:00到站时间概率

:108:30:109:301/63/62/6一旅客8:20到站求候车时间的数学期.解设客的候车时间为X(以分计)的布律为pi

103050316

7016

90166在上表中例如P{70}AB)AP(B

13其为件“第班车在6:10到”B为第二班车在到”.候车时间的数学期望3E(X636

27.22(分)连型机量数期x例4讲义例已知随机变量的分布函数)/4,x求().x412/101112/1011解

4,4随机变量的分布密度为()F它故E)

)dx

1x48

X

例(讲例4)某店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的记用寿命为(以年计)规定:设寿命

X

一台付1500;X一台付款2元;2,一台付款2元;一台付000.X服从指数分布,概密度为e/10x0fx0.试求该商店一台电器收费的数学期望.解先出寿命落各个时间区间的概,即有{

0

110

dx

PX

1

110

dx

0.0861,P{2X

312

dx

0.0779,P{

3

110

dx

则Y的分布律为200030000.09520.08610.07790.7408得EY)即平均一台收费2732.15元例6

设随机变量~f(),E()

,且,f(x)0,求a与b的,并分布函数().

解

由题意知

f(x)

0

()

a2

EX

xf(x)dx

0

x

a7,312解方程组得b1/2.2/x/2x/2/x/2x/当0有F(x

1xxf(t)dt022所以x)

x(x2),0x例有2相互独立工作的电子装置,它的寿命概率密度为

(

服从统一指数分其f(

e,x0,

0.若将这电子装置串联联接组成整,求机寿命(以小时计)N的数学期解

/x0X(分布函数为F(),0,xNX}的分布函数为min

(x)(x)],因而N的率密度为f

min

(x)Fmin

()

e

x于是N的学期望为E()

xf

min

(x)

0

2

x/

2

随变函的学望例8(讲义例设X,Y)的合概率分布:Y03X03/801/81/8求E(),(),().解要E(X)E(Y),需求出X和Y的边缘分关X和Y的边缘分布为3233/4P1/81/8则有E(X

334421333(Y)8823(X(38

18

/4.2022232x3x1/x432022232x3x1/x43例9(讲义设随机变量

X在

上从均匀分布求E(sin),(

2

)及[()]解

根据随机变量函数数学期望的计算公有E)

xf()

0

x

1

2

sinxfx

sin(x)|0

2,(X)

xf(x)

x

1

3

E[X(X)]E

1dx012

例10设随机变量X,Y)的率密度f()

xx0,

它.求数学期望E(Y),

1解

(Y)

yf(x,y)dydx11/x

32

1[lny]dxxx

3ln2

1xE

1

xy)1x

3.5例讲例设际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X(单位吨它从区间[4000]上均匀分布每售出一吨商可国家赚取外汇万;若销售不出,则吨商品需贮存费1万,问组织多少货才使国家收益最?解设织货源吨,显应要求20004000,国收单:万元是的数Y(表式为(X

tX

XX

2000,x设的概率密度函数为f(则f(x0,

于Y的望为E(Y)

()f()dx

40002000

(2222222ii202020202222222ii20202020

12000

t1x)dx3tdx(t

2

14000t

6

考虑的值使(Y)达最大,易t

3500,因组织吨商品为好.例12设((

)均在，证明E[()]

2

(X

2

)E(X)]

2

证

因为[X()]

2

X

2

X)(X)]

2

,于是[(X)]{XX)E()]}()())E(X)]()E()]例13（二项分布的数学期望）若Xb,),求().解因(n,p),则X表n重努利试验中的“成功次数.如第i成功若设X第i验失败

(i

1,2,

,)则X,12因为P{p,P{0}pEX)p,iiin所以E(XE()ii可见服参为n和p的项分布的随机变量X的学期望是.数期的质例14讲义8)一航送各车载有位旅客自机场开出,旅有10个站可以如到达一个车站没有旅客下车就不停.以表示停车的次数,求(X(每位旅客在各个车站下车是等可能的,并各旅客是否下车互独).解

i站没有人下车引入随机变量1,i站没有人下车

i

易知.1210现在来求().按意任旅客不在第i站车的概率为因