复变函数教案第五章

mm-让章节名第五章留数学时安6时教学要理解孤立奇点的念并掌握判别孤立奇点类别的方法理解留数的定义熟练掌握计算留数的方法理解留数基本定理熟练掌握用留数理论计算积分。教学内：理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法2．了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质3．理解留数的定义4．熟练掌握计算留数的方法；5．理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。教学重留数的定义，留数的计算教学难用留数理论计算积分教学手课堂讲授教学过第五章留§1孤立奇1.相关定义定义1点a函数f()若f)在点域0内解析，则称为函数(z)的孤立奇点．定义2

设a函数()孤立奇点：⑴若f()点a罗朗级数的主要部分为零，则称a为f(z可去奇点；⑵若f()点a罗朗级数的主要部分有有限多项，设为ccc(z)(z)z

,

0则称)m（阶）极点；⑶若f()点a罗朗级数的主要部分有无限多项称a为f)的本性奇点．sinez例依定义点z0为的可去奇点点0的二级极点点z2

1

的本性奇点．2.函数在孤立奇点的去心邻域内的性质⑴函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理1

若a(z孤立奇点，则下列三个条件是等价的：①a为f(z)的可去奇点；-让limf(z；③函数f()的某个去心邻域内有界．⑵函数在极点的去心邻域内的性质定理2

若a(z孤立奇点，则下列三个条件是等价的．a为f()m极点；f(z)在a的某个去心邻0内可表示为f(z)

h()(z)

其中h()在a的邻域zR内解析，(a01③a为级点（可去奇点视作解析点时fz定理3

a为函数f()的极点的充分必要条件是limf(za⑶函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理4a为函数f()的本性奇点的充分必要条件limf(z)不存在，即当z，(z既不趋于有限值，也不趋于定理5

若a(z本性奇点)在a充分小的邻域内不为零，1则为的本性奇点．fz例

设fz)5(1

，试求()复平面上的奇点，并判定其类别．解

首先，求f()奇点．(z)的奇点出自方程1

的解．解方程得Ln((2ki,k0000-让若设zi则易为(z)孤立奇点．另外，因(1z)

0z)

0

所以，由零点的定义为1kf(z)的一级极点．§2留数

的一级零点．从而z(k,均为1定3

设a为函数f()孤立奇点，为圆周：z

，若f(z)在0

上解析，则称i

c

f(为()点a的留数（或残数作Res(,)a)即Res(f,)

i

c

f()d2留数计算规则：规则1如果为f(z的一级极点，那Res(f)z)z.规则2如果为f(z的级极点，那么1d,z)lim{()(mz

m

f()}.规则3设f(z)

(z)(z)

)及z在z解析，如果z0，Q(00

，

'

()，么为f(z的一级极点，而0(),)00()0例1

设(z)

5

，f,．解法1

由定义**-让Res(f,0)

i

zz

i

z

5zz

)

z1注意：这里的积分路径的半径并非只能取，只须使半径小于1即可满足定4义的条件．解法2

因点

10为()孤立奇点，所以，在N):0内有335(f(z)12nzn2nzn由此2依（）式f,．解法3

因点z0()一级极点，则按规则1,0)lim0

5(解法4

因点0(z

5

的一级极点，则按规则33，定义4

5zRes(f0){}[z设z函数f(z)的孤立奇点，为圆周：

，若f(z)Rz

)，则称331n1n22331n1n22-让i

c

f()d为函数()点z的留数（或残数Res(,，即f,

i

c

f(规则4例2解

1f()(),z2设f(z),．取圆c:由（）式得12iez

dz

11iez

dz4，定理6

设区G是由围的内部构成（如图函数f(zG内除含有限个奇,a外解析，且G除a,,a外连续，则1nc

fzziRes(a)jj•

c

••

c

c

•

cG

c5，定7如果函数()扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么f()在有各奇点（包点）的留数的总和必等于零。例3

计算积分

2iz2

dza．解

首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点．

出被积jj-让函数的奇点有a与a21因，所以，，又因故z，即在积分路径内部只有被221积函数的一个奇点．其次，经检验，得

z

2iaz

dzi

z

2iaz

z)i)1za2

2i(z)(z)12

]§3留数在积分计算上应用1.形如

2π

R(cos

积分0通过一定的转化，可得

2π

(z)dz0

z例

计算I

20

cos212

dpR(x)dx的积2.形如通过一定的转化，可得R(xx

()(z)

nPz)dx2iz)Q(z)j例4

计算积分

4

2

2

dx．解

经验证，此积分可用公式一计算．首先，求出

()Qz)z

4

z2

2

在上半平面的全部奇点．令42即z

4

2

(

4

2

2z

2

2

2jj-让(z

2

2

于是，

(z)(z)

在上半平面的全部奇点只有两个：13i与i222且知道与均为

(z)(z)

的一级极点．其次，算留数，有()zQ(z)(zz

13i43i()z2Res(lim(zQ(z)z(zz

13i43i最后，将所得留数代入公式得

2()(z)dx,Res(4xQ(z)(3

3.形如

(x)exdx(ax)

(x(x)

)的分

(x)(x)

nPz)eikxdx2eikz,)Q(z)j例5

计算积分

2

eix

2

dx,a0解经验证，该积分可用公式二计算．eiz首先，求出辅助函数(z)在上半平面的全部奇点．-让由

2

2

0解得zaizi为f()奇点，而0所以，fz)在上半平面只有一个奇点其次，计算留数．有

ai

且ai为fz)的一级极点．eizRes(,i)i)2zai

eiz(zi)

eai最后，由公式得

2

ei

2

dxi

2

ei

2

ai)

于是容易得到

d与e