第9讲曲线与方程

第9

曲线与程．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系．．利用直接法或定义法求轨迹方程．．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质．【复习指导】正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程fxy＝0的数解建立了如下关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点么个方程叫做曲线的方程条曲线叫做方程的曲线．．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤建立适当的坐标系，用有序实数(x，y)示曲线上任意一点M的坐标．写出适合条件p的M集合P{Mp)}用坐标表示条件p(M，列出方程f(，)＝0.化方程fx，)＝0为简形式．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．．两曲线的交点由曲线方程的定义可知两条曲交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解两曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条线就没有交点．两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．一个主题通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一．四个步骤对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为：22设点：即设出弦的两端点坐标；代入：即代入圆锥曲线方程；作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开；整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．五种方法求轨迹方程的常用方法直接法：直接利用条件建立x，之的关系F，)＝；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；定义法据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线曲的定义直接写出动点的轨迹方程；代入转移法：动点P)依赖于另一动点Q(x，y)变化而变化，并且Q(x，又在某已知曲0000线上，则可先用x，的数式表示，，将x，y代已知曲线得要求的轨迹方程；000参数法：当动点Px，y)坐标之间的关系不易直接找到，没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通程．．(x，＝0是点(x，)在曲线f(x，y)上的．00．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析利用曲线与方程定义的两件来确定其关系，∵(x，)＝可知点P(x，y)在曲线fx，y)＝0上又Px，在曲线fx，y)＝0上，有(x，0000y)＝00∴(x，)＝是Px，)在曲线fx，)＝0上充要条件．000答案C．泉州质检方程＋xy＝的线是()．．一个点．一条直线．两条直线．一个点和一条直线解析方程变为x(x＋y－＝0∴x＝0或x＋y－＝故方程表示直线x＝直线＋－1＝0.答案C22222222222222222222合肥月考)知点P是直线2－＋＝0上的一个动点定点M(－1,2)Q是段PM延线上的一点，且PM＝MQ，则Q的轨迹方程(．．2＋＋1＝0．x－y－5＝0．x－y－1＝0．2－＋5＝0解析由题意知，M为中，设(，)，则为(－2，4－)，代入x－y＋3＝得x－＋5答案D．福模拟)若点P到直线x＝－1的离比它到点的距离小1则点P的迹()A圆C．曲线

B椭圆D．物解析依题意，点P到直线＝－2的离等于它到(2,0)的距离故点P的迹是抛物线．答案D．北京)曲线C是面内与两个定点F－1,0)和的离的积等于常数a(＞的点的12轨迹．给出下列三个结论：曲线过标点；曲线关坐原点对称；③若点P在曲线上则eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)的积不大于a122

2其中，所有正确结论的序号是．解析设动点M()到两定点的离的积等于线C的程为x＋＋－1＋1＝a

2

，∵a1，故原点坐标不满足曲线C的程，故①错误．以－x－分别代替曲线C的方程中的、y程不变线C关原点对称正Seq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)＝PF∠≤121212121＝，面不大于a，以③正确．2答案②③考一

直法轨方【例】已知O的程x＋－2＝0⊙O的程是＋－x＋10＝0如图所示．由动点向⊙O和所引的切线长相等，求动点P的迹方程．22222222222→→→→222222222222→→→→22[审题视由已知条件找出等量关系，直接写点标满足的等式化简即得轨迹方程．解设(xy)，由圆O的程为－4)＋y＝，已|＝|，|－|＝O－O，则－＝O|－6.∴x

＋y

－2＝(x－＋y－，∴x＝，动点P的迹方程是＝.【反思与悟】直接求曲线方程的一般步骤：建立恰当的坐标系，设动点坐xy)列出几何等量关系式；用坐标条件变为方程fx，y＝；变方程为最简方程；检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性．【变式】如所示，过点P作相垂直的直线ll.l交轴l交y轴，求线1段AB中M的迹方程解设M的标为x，y，∵M是线段AB的中点，∴点坐标为2x,，B点坐标为0,2．∴＝－2，－，PB＝－y－4)．由已知＝0∴－2(2x－2)4(2y－4)＝0，即x＋2－5＝∴线段AB点的迹方程为x＋y－＝考二

定法轨方【例2一动圆与圆x＋＋x＋5＝0外，同时与圆＋－x－910内，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．[审题视由曲线定义出发建立关系式，从而出轨迹方程．解如所示，设动圆圆心为M(，)，半径为R，设已知圆的圆分别为、O，圆的方程分122222222222＝22222222222＝8，设点M的坐标为x，y，其轨迹方程为x2别配方得：＋3)

＋y

＝，(－3)＋y＝，当动圆与圆O相切时，1有OM＝＋2.①1当动圆与圆O相切时，OM＝10②22将①②两式相加，得＋OM＝OO，1212∴动圆圆心Mx，y到O(－3,0)的离和是常数121所以点M的迹是焦点为－、O(3,0)，1长轴长等于12的圆．∴2＝6,2＝，∴＝，＝6∴＝－＝，x∴圆心轨迹方程为＋＝，轨迹为椭圆．【反思与悟】在利用圆锥曲线义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围．【变式】已圆：x＋3)＋y＝和：(x－＋y＝，动圆同与圆C及圆C相11外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解如所示，设动圆M圆及分外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件，得1－＝MA，11－＝MB|.22因为MA＝MB，所以－MC＝－AC＝－1221这表明动点M到定点C、C的距离的差是常数2，且小于CC＝6.212根据双曲线的定义，动点M的迹为双曲线的左(点M到C的距离大，到C的距离小，这里2＝1＝3，则

2

y－＝x．考三

参法相点求迹程2222222222y2212222222222y221【例3】已知抛物线y＝4px>0)，O为点，AB为物线上两动点，且满足⊥，如果OM⊥ABM点求点M轨迹方程．[审题视点]设点的坐x，y后，直接找，y的系式不好求，故寻求他变量建立，y之间的联系．解设Mx，y，直线AB方为y＋bx由OM⊥AB得＝－y由y＝＝kx消y，得k＋(2－4)＋b＝0.以xx＝.12k消去x，得

pb－py＋＝所以yy＝.12k由OA⊥，得y＝x，12pb所以＝－，＝4kpk故y＝＋b(x－4p)x把k＝－代，得＋－＝0(≠0)．即M的迹方程为x＋y－px＝≠0)．【反思与悟】在一很难找到形成曲线的动点(xy的坐标x所足的关系式的情况下，往往借助第三个变量，建立和t和y的系式＝)y＝x()再通过一些条件消掉t就接找到了x和所足的方程，从而求出动点(x，y所形成的曲线的普通方程．【变式3-1如图示，从双曲线x－y＝上点引线x＋y＝2的线，垂足为求线段QN的中点P的迹方程．解设点的标为，)点Q的标为，)，则点坐标为(2－x，2－y)．111∵点在线＋＝上∴2－x＋－y＝，①11又∵直于直线＋y＝y－y∴＝，即－＋y－＝0，②x－x112222222222222→→→→222222222222222→→→→22a1x＝x＋y－，1由①、②联立，解得3y＝x＋y－1.1又Q在双曲线－y＝1上∴x－＝，13即x＋y－1－x＋y－＝1整理得x－y－2＋y－1，这就是所求动点P的迹方程．如解求线方【问题研究】曲线方程是解析几何的一条主线，虽然高考对曲线与方程的要求不是很高，但高考中也经常会有一些试题是以建立曲线方程作为切入点命制的．从近几年的高考试题中可以现，无论客观题还是主观题都有曲线与方程的命题点．【解决方案】首先，要深入理求曲线的轨迹方程的各种方法及其适用的基本题型，注意参数法和交轨法的应用其求轨方程时要注意检验多余的点要扣除而漏的点要补上再，要明确圆锥曲线的性质，选相应的解题策略和拟定具体的解题方法，如参数的选取，相关点变的规律及限制条件等．x【示例】(2011·津在平面直角坐标系中点P(aa＞0)为点FF分为椭圆1ay＋＝1的、右焦点．已知eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)PF为等腰三角形．1求椭圆的离心率e；设直线与椭圆相交于A两，M直线上的点，满足AMBM＝2求点的22迹方程．【审题视点】第1)设出焦点坐标，根PF＝F列等式，解方程即求得；(2)根据题212意设出A，两坐标，代入关系BM－2即可求得点M的迹方程．解(1)F－c,，c＞0)．1由题意，可PF＝F|，2即

2

，c整理，得＋－10c1得＝1(舍，或＝a222→→→2222222→→→2222所以＝.由(1)知ac，bc，可得椭圆方程为＋4y＝12c，直线PF的程为＝x－c)2A，两点的坐标满足方程组

x2y23

消去y并理，得x－cx＝0解得x＝0，x＝c.1，得方程组的＝c，1

c，253y＝c.2533不妨设A，5

，，－3c).→8设点M坐标(x，y)则AM＝－，－c，BM＝x＋3．由y＝3(x－c)得＝x－

y→3→于是AM＝y－