人教版八年级数学（上册）讲义全

...wd......wd......wd...八年级上册讲义第十一讲三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边11.1.2-11.1.3三角形的高、中线、角平分线及三角形的稳定性11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角11.2.2三角形的外角11.3多边形及其内角和教学活动小结复习题11【知识精要】1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．〔1〕三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法一样，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．〔2〕三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．〔3〕三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．〔二〕三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可〔三〕三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形构造就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：〔四〕三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°〔1〕构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线〔如图〕〔2〕构造邻补角，可延长任一边得邻补角〔如图〕构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边〔如图〕结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°〔因为∠A+∠B+∠C=180°〕注意：①在三角形中，两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－〔∠A+∠B〕②在三角形中，三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．〔五〕三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B,∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角〔相等〕，可见一个三角形共有六个外角．〔六〕多边形①多边形的对角线条对角线②n边形的内角和为〔n－2〕×180°③多边形的外角和为360°考点11.对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高. 考点21、以下说法错误的选项是().A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点2、以下四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是()3．如图3，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，假设沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，那么∠B等于〔〕A．25°B．30°C．45°D．60°4.如图4，AB=AC=BD，那么∠1和∠2之间的关系是〔〕A.∠1=2∠2B.2∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°5.如图5，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且=4，那么等于()A．2B.1C.D.6.如图7，BD=DE=EF=FC，那么，AE是_____的中线。7.如图6，BD=，那么BC边上的中线为______，=__________。8.如图，在△ABC中，∠BAC=600，∠B=450，AD是△ABC的一条角平分线，那么∠DAC=0，∠ADB=09.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，那么根据图形填空：⑴BE==；⑵∠BAD==⑶∠AFB==900；8题8题DCADDCBA10.如图在△ABC中，∠ACB=900，CD是边AB上的高。那么图中与∠A相等的角是〔〕A、∠BB、∠ACDC、∠BCDD、∠BDC11.在△ABC中，∠A=∠C=∠ABC，BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数〔12.，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数13.如图，在△ABC中，D,E分别是BC，AD的中点，=4，求.__E_D_B_C_A考点31.关于三角形的边的表达正确的选项是〔〕A、三边互不相等B、至少有两边相等C、任意两边之和一定大于第三边D、最多有两边相等2.△ABC中，∠A=200，∠B=∠C，那么三角形△ABC是〔〕A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、正三角形3.下面说法正确的选项是个数有〔〕①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，那么这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；⑤假设三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在ABC中，假设∠A＋∠B=∠C，那么此三角形是直角三角形。BCADBCADE4.一个多边形中，它的内角最多可以有个锐角5.如图是一副三角尺拼成图案，那么∠AEB＝_________°.考点41.以下每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cmC.13cm,12cm,20cmD.5cm,5cm,11cm2.以下长度的三条线段能组成三角形的是〔〕A、3，4，8B、5，6，11C、1，2，3D、5，6，103.等腰三角形两边长分别为3,7，那么它的周长为()A、13B、17C、13或17D、不能确定4.△ABC中，如果AB=8cm，BC=5cm，那么AC的取值范围是________________.5.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是6.一个等腰三角形的两条边长分别为8㎝和3㎝，那么它的周长为7.a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.考点51.不是利用三角形稳定性的是()A、自行车的三角形车架B、三角形房架C、照相机的三角架D、矩形门框的斜拉条2.以以下列图形中具有稳定性的有〔〕A、正方形B、长方形C、梯形D、直角三角形3.装饰大世界出售以下形状的地砖：eq\o\ac(○,1)正方形；eq\o\ac(○,2)长方形；eq\o\ac(○,3)正五边形；eq\o\ac(○,4)正六边形。假设只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有〔〕A.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)B.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,4)C.eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)D.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)4.以以下列图形中具有稳定性有〔〕A、2个B、3个C、4个D、5个5、如图，一扇窗户翻开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是()A、三角形的稳定性B、两点确定一条直线C、两点之间线段最短D、垂线段最短6.桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形构造，这是利用三角形的性；考点61.△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，那么∠B=0，∠C=02.如图，点P在△ABC内任一点，试说明∠A与∠P的大小关系3如图4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；考点71、等腰三角形的一个外角是120°，那么它是()A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为()A.30°B.60°C.90°D.120°3、三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，那么它的最大内角的度数().A.90°B.110°C.100°D.120°4、如图，以下说法错误的选项是()A、∠B>∠ACDB、∠B+∠ACB=180°－∠AC、∠B+∠ACB<180°D、∠HEC>∠B5、假设一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是().A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、无法确定6、如图，假设∠A=100°，∠B=45°，∠C=38°，那么∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°7、如图，∠1=______.8、如图，那么∠1=______,∠2=______,∠3=______,9、等腰三角形的一个外角为150°，那么它的底角为_______.10、如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.考点81．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是〔〕A、三角形B、四边形C、五边形D、六边形2．一个多边形内角和是10800，那么这个多边形的边数为〔〕A、6B、7C、8D、93．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是〔〕A、四边形B、五边形C、六边形D、八边形4、一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加()A.180°B.360°C.(n-2)·180°D.n·1805、假设一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，那么此多边形是()A、八边形B、十边形C、十二边形D、十四边形6、正方形每个内角都是______，每个外角都是_______。7、多边形的每一个内角都等于150°，那么从此多边形一个顶点出发引出的对角线有条。8、六边形共有_______条对角线，内角和等于__________，每一个内角等于_______。9、内角和是1620°的多边形的边数是______。10、如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是______边形。11、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和________。12、一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，那么这个多边形的边数为______。13、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,那么原多边形有____条边。14.一个十边形中九个内角的和的度数是12900，那么这个十边形的另一个内角为度15、.如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°,∠DEF=80°．1〕观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；〔2〕试求∠AFE的度数．16、阅读材料，并填表：_(3)_(2)_(1)B_A__(3)_(2)_(1)B_A_C_P_1_P_1_C_A_B_P_2_P_2_B_A_C_P_1_P_3完成下表△ABC内点的个数123…1002构成不重叠的小三角形的个数35…考点91.以下正多边中，能铺满地面的是〔〕A、正方形B、正五边形C、等边三角形D、正六边形2.以下正多边形的组合中，能够铺满地面的是〔〕A、正六边形和正三角形B、正三角形和正方形C、正八边形和正方形D、正五边形和正八边形3.以下正多边形的组合中，能够铺满地面的是().A.正六边形和正三角形B.正三角形和正方形C.正八边形和正方形D.正五边形和正八边形4.用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有()种.A、1B、2C、3D、45.某装饰公司出售以下形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形.假设只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有()种.A、1B、2C、3D、46.小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购置另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，那么小李不应购置的地砖形状是()A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形7.用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有___个正三角形和___个正四边形。__第1个_第3个_第?2个(2)第n个图案中有白色地砖_______块.__综合101.如图，在△ABC中，∠B,∠C的平分线交于点O.ABCO(1)假设∠A=500ABCO(2)设∠A=n0〔n为数〕，求∠BOC的度数.AABCD2.某零件如以下列图，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△ABC的角平分线,AD、CE交于F点.当∠BAC=80°,∠B=40°时,求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数.4.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△ABC的面积；(2)CD的长；〔3〕作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；〔4〕作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm时，试求出DF的长。5.在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.6.如以下列图，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度数．7.如图：AB∥CD，直线交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，N是直线CD上的一个动点〔点N不与F重合〕〔1〕当点N在射线FC上运动时，，说明理由〔2〕当点N在射线FD上运动时，与有什么关系并说明理由.8.图1-4-27，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数.9.：如图5—130，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，CE平分∠BCD，且∠ACD：∠BCD＝1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由．10.：如图5—131，在△ABC中有D、E两点，求证：BD＋DE＋EC＜AB＋AC．11.如图18，AB∥CD，AD∥BC，∠A的2倍与∠C的3倍互补，BE平分∠ABC，求∠A，∠DEB的度数

12.如图19，，∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB与DF平行吗为什么13.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．〔1〕∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；〔2〕在△BED中作BD边上的高；(3〕假设△ABC的面积为40，BD=5，那么点E到BC边的距离为多少(1)11⑵⑶(1)11⑵⑶⑵⑵⑶(1)15.探究规律：如图，直线∥，A、B为直线上的两点，C、P为直线上的两点。〔1〕请写出图中面积相等的各对三角形：______________________________。〔2〕如果A、B、C为三个定点，点P在上移动，那么无论P点移动到任何位置总有：与△ABC的面积相等；理由是：nnmOBAPC八年级数学三角形单元测试题选择题1．以下长度的三条线段中，能组成三角形的是〔〕A、3cm，5cm，8cmB、8cm，8cm，18cmC、0.1cm，0.1cm，0.1cmD、3cm，40cm，8cm2．假设三角形两边长分别是4、5，那么周长c的范围是〔〕A.1<c<9B.9<c<14C.10<c<18D.无法确定3．假设一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长满足，那么这样的三角形有〔〕A.2个B.3个C.4个D.5个4．一个多边形内角和是10800，那么这个多边形的边数为〔〕A、6B、7C、8D、95．，如图，AB∥CD，∠A=70°，∠B=40°，那么∠ACD=〔〕A、55°B、70°C、40°D、110°第5题图DC第5题图DCBA第6题图第6题图第7题图第7题图6．如以下列图，△ABC为直角三角形，∠B=90°，假设沿图中虚线剪去∠B，那么∠1+∠2等于〔〕A、90°B、135°C、270°D、315°2_B_C_A_2_B_C_A_O1A、90°B、130°C、270°D、315°8．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，那么∠BOC等于〔〕第8题图A.95°B.120°C.135°D.无法确定第8题图9．在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC,那么图中面积相等的三角形有〔〕A.4对B.5对C.6对D.7对10．能把一个任意三角形分成面积相等的两局部是〔〕A.角平分线B.中线C.高D.A、B、C都可以11．一个三角形三个内角的度数之比为，这个三角形一定是〔〕A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形12．如图四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是〔〕ABCDABCD13．三角形的一个外角是锐角，那么此三角形的形状是〔〕A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定二、选择题1.锐角三角形的三条高都在，钝角三角形有条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的。2.假设等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，那么它的周长是。3.要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。4.在△ABC中，假设∠A=∠C=∠B，那么∠A=，∠B=，这个三角形是。5.如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE=ED=DC，∠1=∠2，那么eq\o\ac(○,1)AD是△ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是△ABE的边上的高；eq\o\ac(○,2)AD既是的边上的中线，又是边上的高，还是的角平分线。6.假设三角形的两条边长分别为6cm和8cm，且第三边的边长为偶数，那么第三边长为。7.a、b、c是三角形的三边长，化简：|a－b＋c|＋|a－b-c|=_____________。8.等腰三角形的两边的长分别为2cm和7cm，那么三角形的周长是.9.在以下条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°－∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有第15题图第15题图10.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的值为 11.如图，假设∠A＝70°，∠ABD＝120°，那么∠ACE＝第11题图1第11题图1234第10题图12.如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，那么∠E=BBEACD三、解答以下各题1．如图直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A和∠D。〔7分〕

2．如图，△ABC中，∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB，CABDEFCD⊥CABDEF3.如图在△ABC，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°,求∠DAC与∠BOA的度数。4如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求△BDE各内角的度数.5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，外角∠EAB，∠ABF的平分线AD、BD相交于点D，求∠D的度数.DD6．如图9：∠ACD是△ABC的外角，BE平行∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E。求证：〔1〕∠E＝∠A.第十二讲全等三角形12.1全等三角形12.2三角形全等的判定阅读与思考全等与全等三角形12.3角的平分线的性质教学活动小结复习题11【知识精要】能够____________的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。用符号“≌〞表示全等。全等三角形的性质：_______相等、_______相等、_______相等、___________相等。全等三角形的判定：①边边边〔SSS〕_____________________________________________________________②边角边〔SAS〕_____________________________________________________________③角边角〔ASA〕_____________________________________________________________④角角边〔AAS〕_____________________________________________________________⑤斜边直角边〔HL〕___________________________________________________________4、角平分线的做法⑴以O为圆心，以适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；⑵分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠AOB的内部两弧交于点C；⑶过O、C两点作射线OC，那么射线OC就是所求的角的平分线。作图依据：构造△OMC≌△ONC〔SSS〕5、角平分线的性质：________________________________________________________。即角平分线→距离相等6、角平分线的判定：_________________________________________________________。即距离相等→角平分线【方法破译】证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，在根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，在设法对它们进展证明；证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进展证明，有时要证的两个三角形并不全等，这是需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移，翻转，旋转，等倍延长中线，截取等等.有角平分线时通常通过以下几种情况构造全等三角形。【经典考例】如图，AB∥EF∥CD,∠ABC＝90°,AB＝CD.那么图中有全等三角形﹙﹚A.5对B.4对C.3对D.2对【变式题组】以下判断中错误的选项是〔〕有两角和一边对应相等的两个三角形全等有两边和一角对应相等的两个三角形全等有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等有一边对应相等的两个等边三角形全等如图，AB＝DC，AE＝DF，CE＝FB，求证：AF＝DE。【变式题组】如图，AD﹑BE是锐角△ABC的高,相交于点O,假设BO＝AC,BC＝7,CD＝2,那么AO的长为()A．2B.3C.4D.5〔第1题图〕〔第2题图〕〔第3题图〕2.如图，在△ABC中,AB＝AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE=4cm，CE=2cm，那么BD=〔〕.3.:如上图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,CE=BC,过E点作AC的垂线,交CD的延长线于点F,求证:AB=FC.例3.如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.⑴当△DEF旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一条直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是.⑵当△DEF旋转至如图③位置时,⑴中的结论成立吗?请说明理由_________.图①图②图③【变式题组】1.如图,D,E分别为△ABC的AC,BC边上的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处,假设∠CDE=48°,那么∠PAD等于()A.42°B.48°C.52°D.58°2.如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,以下结论中错误的选项是()A.△ABC≌△DEFB.∠DEF=90°C.AC=DFD.EC=CF第1题图第2题图第3题图3.一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如以以下列图形式，使点B,F,C,D,在同一直线上.⑴求证：AB⊥ED：⑵假设PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.【例4】，如图，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：⑴AP=AQ；②AP⊥AQ.【例5】如图，OD平分∠AOB,在OA，OB边上截取OA=OB，PM⊥BD,PN⊥AD.求证：PM=PN.【变式题组】如图,CP,BP分别平分△ABC的外角∠BCM,∠CBN.求证:点P在∠BAC的平分线上.如图,BD平分∠ABC,AB=BC,点P是BD延长线上的一点,PM⊥AD,PN⊥CD.求证:PM=PN.☆【例6】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.求证:CE=BD☆【变式题】如图,在△ABC中,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F.⑴请你判断FE和FD之间的数量关系,并说明理由;⑵求证:AE+CD=AC.【根基演练】一、选择题1．以下说法错误的选项是〔〕A．全等三角形对应角所对的边是对应边B．全等三角形两对应边所夹的角是对应角C．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等D．等边三角形都全等2.在⊿ABC和⊿A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，假设证⊿ABC≌⊿A/B/C/还要从以下条件中补选一个，错误的选法是〔〕A.∠B=∠B/B.∠C=∠C/C.BC=B/C/D.AC=A/C/3.以下各组条件中，不能判定△ABC≌△ABC的一组是〔〕A、∠A=∠A,∠B=∠B,AB=ABB、∠A=∠A，AB=AB，AC=ACC、∠A=∠A，AB=AB，BC=BCD、AB=AB,AC=AC,BC=BC4．如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是〔〕A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去5．如图.从以下四个条件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CA＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，那么最多可以构成正确的结论的个数是〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等。其中能判断两直角三角形全等的是〔〕ABCEDGFA．①ABCEDGF7．如以下列图，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，以下结论正确的选项是〔〕A．∠C=∠ABCB.BA=BGC.AE=CED.AF=FD8．如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角〔〕A、相等B、不相等C、互余D、互补或相等9．以下命题中：⑴形状一样的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有()A、3个B、2个C、1个D、0个10．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，那么S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于〔〕A．1︰1︰1B．1︰2︰3C．2︰3︰4D．3︰4︰511.两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是〔〕A.两角和一边B.两边及夹角C.三个角D.三条边12.以下说法不正确的选项是〔〕A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；B.一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等D.有两条边对应相等的两个直角三角形全等13．以下命题中正确的选项是〔〕A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等14．以下各条件中，不能作出惟一三角形的是〔〕A．两边和夹角B．两角和夹边C．两边和其中一边的对角D．三边15.以下说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS〞来判定全等，那么一定也可以依据“ASA〞来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的选项是ADCB图16EF〔〕A．①和②B．②和③ADCB图16EF16．如图16，AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连结BF，CE．以下说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个17．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是〔〕A．形状一样B．周长相等C．面积相等D．全等EDACB图18EDACB图18A．△ABE≌△ACDB．△ABD≌△ACEC．∠DAE=40°D．∠C=30°19.如图,△ABC中,AB=AC.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,那么以下结论中:①AD上任意一点到B,C的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③AD⊥BC且BD=CD;④∠BDE=∠CDF.其中正确的选项是().A.②③B.②④C.②③④D.①②③④20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CBA=30°,∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点,那么∠AEB的度数为().A.50°B.45°C.40°D.35°21.如图,P是△ABC内一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,且PD=PE=PF,给出以下结论:①AD=AF;②AB+EC=AC+BE;③BC+CF=AB+AF;④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是()A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④第19题图第20题图第21题图二、填空题1.，如图：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明ΔABC≌ΔDEF(1)假设以“SAS〞为依据，还要添加的条件为______________；(2)假设以“ASA〞为依据，还要添加的条件为______________；2.如图:AE∥BF,∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是__________。3题图ENCBAMCE3题图ENCBAMCEFBAD2题图1题图4．如以下列图：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然前方向不变继续朝前走50米到D处，在D处90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为_____米。5．正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF＝90o,AE＝3,CF＝4,ABDC那么SABDC6．如以下列图，AD是△ABC中BC边上的中线，假设AB=2，AC=4，那么AD的取值范围是7．在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=5︰3，那么D到AB的距离为_____________．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,BC=BD.假设AC=3,那么AE+DE=_________.9.①如图,BA⊥AC,CD∥AB,BC=DE,且BC⊥DE,假设AB=2,CD=6,那么AE=__________.第9题图第10题①图第10题②图②.如图，BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC﹑AC和AB的垂线QM﹑QN和QK,垂足分别为M﹑N﹑K,那么QM﹑QN﹑QK的关系是____________.三、解答题11．AC=FE，BC=DEA、D、B、FABC≌△FDE应增加什么条件并根据你所增加的条件证明：ABC≌△FDE。111题图ABCDMNABCDMNO1212题图13.如图,AC⊥BC,DF⊥F,AB=DE,B、E、C、F，在同一直线上，且BE=CF,求证:AB∥DE113题图14.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗请你说明理由.114题图15.:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:ΔABC≌ΔDEF16.如图，．求证：．17.如以下列图，AB=DC，AD=BC，DE=BF，求证：BE=DF。18.如图,AB=CD,AB∥CD,BC=12cm,同时有P,Q两只蚂蚁从点C出发,沿CB方向爬行,P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行时间t为多少时,△APB≌△DQC.19.如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE。(1)请说明∠1=∠C(2)猜想并说明DE和DC有何特殊关系20.如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．ADECBFADECBF21.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.⑴求证:AE=CD;⑵假设AC=12cm,求BD的长.22.如图在和中，点A，E，F，C在同一条直线上,有下面四个论断：〔1〕AD=CB，〔2〕AE=CF，〔3〕，〔4〕AD//BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程.AAEBCFD22题图23.如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AM⊥CD于点M，求证：CM=DM。24.AB⊥BC，AD⊥DC，且BC=DC，求证：∠ABD＝∠ADB25.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：〔1〕△ABC≌△ADC；〔2〕BO＝DO．DDCBAO123426.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E。求证：∠ACE=∠B+∠ECD27．〔2008年泰安市〕两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．图1图2图1图2DCEAB〔2〕证明：DC⊥BE．【能力提升】1、以下各图中，不一定全等的是〔〕A．有一个角是45°腰长相等的两个等腰三角形B.周长相等的两个等边三角形C.有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形D.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形。2、如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，那么图中全等三角形的组数是〔〕A.3B.4C.5D.63、〔山东潍坊〕如图,△ABC的六个元素,那么下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是〔〕A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙4、如图，中，，，是高和的交点，那么线段的长度为〔〕DCBAEHA．B．4C． D．5DCBAEH5、(多项选择)以下说法错误的选项是〔〕A．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等6、〔多项选择〕在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：〔1〕AB=DE；〔2〕BC=EF；〔3〕AC=DF；〔4〕∠A=∠D；〔5〕∠B=∠E；〔6〕∠C=∠F，以其中三个条件为，能判断△ABC与△DEF全等的是〔〕Ａ．〔1〕〔5〕〔2〕Ｂ．〔1〕〔2〕〔3〕Ｃ．〔4〕〔6〕〔1〕Ｄ．〔2〕〔3〕〔4〕7、如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，那么∠BCM：∠BCN等于〔〕A．1:2B．1:3C．2:3D．1:48、以下说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS〞来判定全等，那么一定也可以依据“ASA〞来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．④有两条边对应相等的的两个直角三角形全等。正确的选项是〔〕A．①和②B．②和③C．①③④D．①②③9、如以下列图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，假设∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，那么∠α的度数为〔〕A．80°B．100°C．60°D．45°．10、如图的△BDC′是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中〔包括实线，虚线在内〕共有全等三角形〔〕A．2对 B．3对 C．4对 D．5对☆11、如图，△ABC的三条角平分线AD、BE、CF交于点G，那么与∠EGC互余的角是〔〕A.∠CGD B．∠FAG C.∠ECG D.∠FBG12、如图，点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，假设∠A∶∠C＝5∶3，那么∠DBC等于〔〕A．3O° B．25° C．20° D．15°第14题图13、如图，OA=OB,OC=OD,以下①∠A=∠B②DE=CE③连接DE，那么OE平分∠AOB,正确的选项是〔〕A.①②B.②③C.①③D.①②③14、如以以下列图，AC与BD相交于O，∠1=∠4，∠2=∠3，△ABC的周长为25㎝，△AOD的周长为17㎝，那么AB=〔〕A、4㎝B、8㎝C、12㎝D、无法确定15、：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么图中共有全等三角形〔〕A．5对B．4对C．3对D．2对ADEADECB16题FG17题图18题图16、如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE,∠1=∠2=∠3,那么DE的长等于〔〕。A.DCB.BCC.ABD.AE+AC17、如右图，在中，平分，于，假设，那么的周长为．18、在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35，如图，那么∠EAB是多少度大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．19、如图,点P在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD20如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF=AE,△ABE≌△ADF.⑴在图中,可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；⑵线段BE与DF有什么关系证明你的结论.21、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E、F分别是AB、AC上的点，∠EDF+∠BAF=180°，求证：DE=DF。22、如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.23、如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：〔1〕AD=AG，〔2〕AD与AG的位置关系如何。24.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，并且AF平分∠EAD，求证：BE+DF=AE。25.在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.⑴当直线MN绕点C旋转到图⑴的位置时,求证:DE＝AD＋BE⑵当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证:DE＝AD－BE;⑶当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系请直接写出这个等量关系.【挑战自我】1.以下有四个命题，其中真命题的是〔〕A.两个三角形有两边及一角对应相等,这两个三角形全等B.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等2在△ABC中,高AD和BE所在直线相交于H点,且BH=AC，那么∠ABC=______.3如图,EB交AC与点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出以下结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN=△ABN;④CD=DB.其中正确的结论有___________.(填序号)第5题图第4题图第3题图4.如图,△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的平分线,有一个动点P从A向B运动.:DC=3cm,DB=4cm,AD=8cm.DP的长为χ(cm),那么χ的范围是___________.5如图,AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足分别为E﹑F﹑G,且PF=PG=PE,那么∠BPD=_______.6.如图,AB∥CD,O为∠CAB﹑∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC,且OE=2,那么两平行线AB﹑CD间的距离等于_______.第6题图第7题图7.如图,AD平分∠BAC,EF⊥AD,垂足为P,EF的延长线与BC的延长线相交于G,求证:∠G=(∠ACB-∠B).8.如图,△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB-AC＞DB-DC.9.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P﹑Q分别在BC﹑AC上,并且AP﹑BQ分别在∠BAC,∠ABC的角平分线上,求证:BQ+AQ=AB+BP.10.如图,在凸四边形ABCD中,E为△ACD内一点，满足AC=AD,AB=AE,∠BAE+∠BCE=90°,∠BAC=∠EAD.求证：∠CED=90°.11将两个全等的直角三角形ABC和DEF按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F。⑴求证：AF+EF=DE;⑵假设将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在⑴中猜想的结论是否仍然成立；⑶假设将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③，你认为⑴中猜想的结论还成立吗假设成立，写出证明过程；假设不成立，请写出AF，EF和DE之间的关系，并说明理由。图①图②图③12.如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°.AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G。求证：GD=GE。第十三讲轴对称13.1轴对称13.2画轴对称图形13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题数学活动小结复习题13【知识精要】1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的局部能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。说明：轴对称图形是一个______图形，它被对称轴分成的两局部_______；轴对称图形的对称轴可以是___条，也可以是___条，甚至是________条。2、对于两个图形，如果___________________________________，那么这两个图形成轴对称，这条直线就是_________，折叠后_________________是对应点，叫做对称点。说明：轴对称的前提是_________________________________________。3、两个图形成轴对称，那么__________相等，_______相等。4、性质1：___________________________________________________________________。性质2：____________________________________________________________________。5、线段垂直平分线的性质：______________________________________________________。6、线段垂直平分线的判定：_____________________________________________________。7、由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。作轴对称图形，关键是________________________________________。8、关于x轴对称的点：______不变，_______互为______；关于y轴对称的点：_____不变，________互为_______。9、知识点关键构造全等三角形的方法等腰三角形的定义________________________顶角与底角关系边的多解分析构造等腰三角形的方法①平行线构造②三线合一的构造③截长补短法等腰三角形的性质：⑴___________；⑵____________底边上中线、高、顶角平分线是常用辅助线等腰三角形的判定：⑴定义；⑵等角对等边等边三角形的性质⑴_______；⑵______________；⑶___________________由60°角猜想30°角的直角三角形与等边三角形构造等边三角形的方法①60°角构造②120°角构造等边三角形的判定：⑴定义；⑵三个角都相等的三角形；⑶有一个角是60°的等腰三角形【方法破译】当条件中出现了等腰三角形﹑角平分线﹑高〔或垂线〕，或求几条折线段的最小值等情况时,通常考虑作轴对称变换,以“补齐〞图形,集中条件.等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法:⑴从定义入手,证明一个三角形有两条边相等;⑵从角入手,证明一个三角形有两个角相等,依据是等腰三角形判定定理;等角对等边.构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线+平行线=等腰三角形⑵角平分线+垂线(或高)=等腰三角形⑶线段中垂线构造等腰三角形⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形⑴⑵⑶⑷【经典考例】【例1】如图,将一个直角三角形纸片ABC(∠ACB=90°),沿线段CD折叠,使点B落在B1处,假设∠ACB1=70°,那么∠ACD=()A.30°B.20°C.15°D.10°【例2】如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,EF是AD的垂直平分线,E为垂足,EF交BC的延长线于点F,求证:∠B=∠CAF.【变式题组】如图,点D在△ABC的BC边上,且BC=BD+AD,那么点D在______的垂直平分线上.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=15°,DE⊥AC于E,且AE=EC,假设AB=3cm,那么DC=_______cm。如图,在△ABC中,∠BAC=126°,DE,FG分别为AB,AC的垂直平分线,那么∠EAG=________.△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线交AC于F,假设AB=12cm,△BCF的周长为20cm,那么△ABC的周长是_________cm.第1题图第2题图第3题图【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，D在BC的上，且AD=BD，AC=CD，求∠B的度数。【变式题】1.如以下列图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB上，BD=BC，AD=DE=BE，求∠A的度数。2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求∠A的度数.3.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA.求∠A的大小.☆【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D，求证：DE=DF。☆【例5】如图，△ABD为等边三角形，∠BCA=60°，求证：AC=BC+CD☆【例6】如图，△ABC中，∠A=90°，CA=AB，CE⊥EB于E，BE平分∠CBA交EB于D.求证：BD=2CE。AAEDCB【例7】坐标原点O在点A(2,-2),B是坐标轴上的一点.假设△AOB是等腰三角形,那么这样的点B一共有()个A.4B.5C.6D.8【变式题组】1.在平面直角坐标系xOy内,A(3,-3),点P是y轴上一点,那么使△AOP为等腰三角形的点P共有()A.2个B.3个C.4个D.5个2.如图,长方形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG＞60°,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片中的点H处,连接AH,那么与∠BEG相等的角的个数为〔〕A.4B.3C.2D.13.如以下列图，矩形ABCD中，AB=4，BC=4，点E是折线段A－D－C上的一个动点〔点E与点A不重合〕，点P是点A关于BE的对称点，在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有〔〕A.2个B.3个C.4个D.5个☆【例8】在两个全等的含30°﹑60°角的三角板ADE和三角板ABC如以下列图放置，E﹑A﹑C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME﹑MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.【变式题组】2.如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°,D为BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于C⑴求证:AD⊥CF;⑵连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.【根基演练】一、选择题1．以以下列图案是轴对称图形的有〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个2．将写有字“B〞的字条正对镜面，那么镜中出现的会是〔〕A、B、C、D、3．以下英文字母属于轴对称图形的是〔〕〔A〕N〔B〕S〔C〕H〔D〕F4．以以下列图形中对称轴最多的是〔〕〔A〕圆〔B〕正方形〔C〕等腰三角形〔D〕线段第6题5．以下说法正确的选项是〔〕第6题A、等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B、顶角相等的两个等腰三角形全等C、等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D、等腰三角形的两个底角相等6．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，假设BC=8cm，AB=10cm，那么△EBC的周长为〔〕A、16cmB、28cmC、7．等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是〔〕A、50°或80°B、80°C、50°D、20°或80°8.束光线从点Ａ〔３，３〕出发，经过ｙ轴上点Ｃ反射后经过点Ｂ〔１，０〕那么光线从Ａ点到Ｂ点经过的路线长是〔〕Ａ．４Ｂ．５Ｃ．６Ｄ．７

9．等腰三角形的一个角是40°，那么它的顶角是〔〕〔A〕40°〔B〕100°〔C〕40°或100°〔D〕70°或50°10．假设等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么这个等腰三角形的底角是〔〕A、75°或15°B、75°C、15°D、75°和30°11、以下命题中真命题的个数是〔〕。①如果等腰三角形内一点到底边两端距离相等，那么过这个点与顶点的直线必垂直于底边；②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点的距离相等；③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等；④等腰三角形高上一点到底边的两端点的距离相等。A、1个B、2个C、3个D、4个12、在平面直角坐标系xoy中，〔2，-2〕，在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，那么符合重要条件的点有〔〕。A、2个B、3个C、4个D、5个13、A〔2，3〕，其关于x轴的对称点是B，B关于y轴对称点是C，那么相当于将A经过〔〕的平移到了C。A、向左平移4个单位，再向上平移6个单位。B、向左平移4个单位，再向下平移6个单位。C、向右平移4个单位，再向上平移6个单位。D、向下平移6个单位，再向右平移4个单位。14、P〔x，y〕的坐标满足等式〔x-2〕2+|y-1|=0,且点P与P′〔x′,y′〕关于y轴对称，那么x′，y′的对应值为〔〕A、-2，1B、2，-1C、2，1D、-2，-115、桌面上有A、B两球，假设要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，那么如以下列图8个点中，可以瞄准的点有〔〕个.〔A〕1〔B〕2〔C〕4〔D〕616、以下语句中正确的有〔〕句.①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕417、∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,那么P1,O,P2三点构成的三角形是()(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等腰三角形(D)等边三角形二、填空题1、△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，那么△ABC的形状是。第3题第2题2、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么图中等腰三角形有________个.第3题第2题3、如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，那么△4、点A〔a，-2〕和B〔3，b〕当满足条件时，点A和点B关于y轴对称。〔第7题〕CBDEA5、A〔m,-n〕，那么A到x轴距离为，到y轴距离为。与点A〔第7题〕CBDEA6、A〔2，b〕，B〔a,-4〕，假设A，B关于x轴对称，那么a，b为和；假设AB∥x轴，那么a，b；假设AB∥y轴，那么a，b。7、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：〔1〕BD平分∠ABC；〔2〕AD=BD=BC；〔3〕△BDC的周长等于AB+BC；〔4〕D是AC中点。其中正确的命题序号是。三、作图题1、如图，A、B是两个蓄水池，都在河岸a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站M，将河水送到A、B两地，问该站M建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点〔保存作图痕迹〕2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，〔1〕作出AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，ACACB〔2〕以下结论正确的选项是：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D点是AC中点；3、如图14-9所示，△ABC和直线MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.〔不要求写作法，只保存作图痕迹〕4、(1)如以下列图编号为1、2、3、4的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为；6题图(2)在图4中，画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C6题图四、解答题1、如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货。〔1〕假设要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里〔2〕假设要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里〔分别在图上找出点P，并保存作图痕迹，写出相应的文字说明.〕第〔2〕题图M第〔2〕题图MN.A.B第〔1〕题图MN.A.BABCDFE2、如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=ABCDFE3、如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B+∠C=120°,求∠BAD的度数.4、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.求证：AD⊥BC．5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，求证：DF=EF．6、如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明：BD=CE.7、如图：等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点。8、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出以下四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB＝OC.〔1〕上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形〔用序号写出所有情形〕；〔2〕选择第〔1〕小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.9、如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：AD垂直平分EF。【能力提升】1、如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，那么所得图形大致是〔〕2、以下各对字母中，前后不能构成