同济大学(高等数学)-第四篇-无穷级数

...wd......wd......wd...第四篇无穷级数第七章无穷级数无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为根基，是研究函数的性质及进展数值计算方面的重要工具.本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.第1节常数项级数的概念与性质1.1常数项级数的概念一般的，给定一个数列那么由这数列构成的表达式叫做〔常数项〕无穷级数简称〔常数项〕级数记为即其中第项叫做级数的一般项作级数的前项和称为级数的局部和当n依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列，，，…，，…根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。定义如果级数的局部和数列有极限即那么称无穷级数收敛这时极限叫做这级数的和并写成如果没有极限那么称无穷级数发散当级数收敛时其局部和是级数的和的近似值它们之间的差值叫做级数的余项例1讨论等比级数〔几何级数〕(a0)的敛散性解如果那么局部和当时因为所以此时级数收敛其和为当时因为所以此时级数发散如果那么当时因此级数发散当时级数成为因为随着为奇数或偶数而等于或零所以的极限不存在从而这时级数发散综上所述如果那么级数收敛其和为如果那么级数发散例2判别无穷级数的收敛性解由于因此,而，故该级数发散.例3判别无穷级数的收敛性解因为,所以从而所以这级数收敛它的和是11.2收敛级数的基本性质根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质.性质1如果级数收敛于和那么它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛且其和为证明设与的局部和分别为与那么,这说明级数收敛且和为性质2如果级数、分别收敛于和、那么级数也收敛且其和为证明如果、、的局部和分别为、、，那么性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性比方级数是收敛的;级数也是收敛的;级数也是收敛的性质4如果级数收敛那么对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛那么不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数〔11)+〔11)+收敛于零但级数1111却是发散的推论如果加括号后所成的级数发散那么原来级数也发散性质5如果收敛那么它的一般项趋于零即证明设级数的局部和为且那么注级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例6证明调和级数是发散的证明假假设级数收敛且其和为是它的局部和显然有及于是但另一方面故矛盾这矛盾说明级数必定发散习题7-11.写出以下级数的前四项:〔1〕；〔2〕.2.写出以下级数的一般项〔通项〕:〔1〕；〔2〕；〔3〕.3.根据级数收敛性的定义，判断以下级数的敛散性:〔1〕;〔2〕.4.判断以下级数的敛散性:〔1〕;〔2〕;〔3〕〔4〕.第2节常数项级数的收敛法那么2.1正项级数及其收敛法那么现在我们讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数.设级数〔7-2-1〕是一个正项级数，它的局部和为.显然，数列是一个单调增加数列，即：如果数列有界，即总不大于某一常数，根据单调有界的数列必有极限的准那么，级数〔7-2-1〕必收敛于和，且.反之，如果正项级数〔7-2-1〕收敛于和.根据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列有界.因此，有如下重要结论：定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的局部和数列{}有界定理2(比较审敛法)设和都是正项级数且假设级数收敛那么级数收敛反之假设级数发散那么级数发散证明设级数收敛于和那么级数的局部和即局部和数列有界由定理1知级数收敛反之设级数发散那么级数必发散因为假设级数收敛由上已证明的结论将有级数也收敛与假设矛盾推论设和都是正项级数如果级数收敛且存在自然数N使当时有成立那么级数收敛如果级数发散且当时有成立那么级数发散例1讨论p级数的收敛性其中常数解设这时而调和级数发散由比较审敛法知当时级数发散设此时有对于级数其局部和因为所以级数收敛从而根据比较审敛法的推论1可知级数当时收敛综上所述p级数当时收敛当时发散例2证明级数是发散的证明因为而级数是发散的根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理3〔比较审敛法的极限形式)设和都是正项级数如果那么级数和级数同时收敛或同时发散证明由极限的定义可知对存在自然数N当时有不等式即.再根据比较审敛法的推论1即得所要证的结论例3判别级数的收敛性解因为而级数发散根据比较审敛法的极限形式级数发散用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个其收敛性的级数作为比较的基准.最常选用做基准级数的是等比级数和p级数.定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)假设正项级数的后项与前项之比值的极限等于，即那么当时级数收敛当(或)时级数发散当时级数可能收敛也可能发散例4判别级数收敛性解因为根据比值审敛法可知，所给级数收敛例5判别级数的收敛性解因为根据比值审敛法可知,所给级数发散定理5(根值审敛法柯西判别法)设是正项级数如果它的一般项的n次根的极限等于，即那么当时级数收敛当(或)时级数发散当时级数可能收敛也可能发散定理6〔极限审敛法〕设为正项级数，〔1〕如果〔或〕，那么级数发散；〔2〕如果，而〔〕，那么级数收敛.证明〔1〕在极限形式的比较审敛法中，取，由调和级数发散，知结论成立.〔2〕在极限形式的比较审敛法中，取，当时，p级数收敛，故结论成立.例6判定级数的收敛性.解因，故，根据极限审敛法，知所给级数收敛.2.2交织级数及其审敛法那么以下形式的级数称为交织级数.交织级数的一般形式为其中定理7〔莱布尼茨定理〕如果交织级数满足条件(1)(2)那么级数收敛且其和其余项的绝对值证明设前项局部和为，由,及，看出数列单调增加且有界所以收敛设那么也有所以，从而级数是收敛的且因为|也是收敛的交织级数所以.2.3绝对收敛与条件收敛对于一般的级数：假设级数收敛，那么称级数绝对收敛；假设级数收敛，而级数发散那么称级数条件收敛级数绝对收敛与级数收敛有如下关系：定理8如果级数绝对收敛那么级数必定收敛证明令.显然且.因级数收敛，故由比较审敛法知道，级数，从而级数也收敛.而，由收敛级数的基本性质可知：，所以级数收敛.定理8说明，对于一般的级数，如果我们用正项级数的审敛法判定级数收敛，那么此级数收敛.这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛性判定问题.一般来说，如果级数发散我们不能断定级数也发散但是如果我们用比值法或根值法判定级数发散那么我们可以断定级数必定发散这是因为此时|un|不趋向于零从而也不趋向于零因此级数也是发散的例7判别级数的收敛性解因为|而级数是收敛的所以级数也收敛从而级数绝对收敛例8判别级数〔为常数〕的收敛性解因为所以当时，级数均收敛；当时，级数绝对收敛；当时，级数发散.习题7-21.用比较审敛法判定以下级数的收敛性：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕.2.用比值审敛法判定以下级数的敛散性:〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕.3.判定以下级数的敛散性:〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕;〔5〕.4.判定以下级数是否收敛假设收敛，是绝对收敛还是条件收敛〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕.第3节幂级数3.1函数项级数的概念给定一个定义在区间I上的函数列由这函数列构成的表达式,称为定义在区间上的(函数项)级数记为对于区间内的一定点假设常数项级数收敛那么称点是级数的收敛点假设常数项级数发散那么称点是级数的发散点函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域所有发散点的全体称为它的发散域在收敛域上函数项级数的和是的函数称为函数项级数的和函数并写成函数项级数的前项的局部和记作即在收敛域上有.函数项级数的和函数与局部和的差叫做函数项级数的余项并有3.2幂级数及其收敛性函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数这种形式的级数称为幂级数它的形式是其中常数叫做幂级数的系数定理1〔阿贝尔定理)对于级数，当时收敛那么适合不等式的一切x使这幂级数绝对收敛反之如果级数当时发散那么适合不等式的一切使这幂级数发散证先设是幂级数的收敛点即级数收敛根据级数收敛的必要条件有于是存在一个常数使这样级数的的一般项的绝对值因为当时等比级数收敛所以级数收敛也就是级数绝对收敛定理的第二局部可用反证法证明倘假设幂级数当时发散而有一点适合使级数收敛那么根据本定理的第一局部级数当时应收敛这与所设矛盾定理得证推论如果级数不是仅在点一点收敛也不是在整个数轴上都收敛那么必有一个完全确定的正数存在使得当时幂级数绝对收敛当时幂级数发散当与时幂级数可能收敛也可能发散正数通常叫做幂级数的收敛半径开区间叫做幂级数的收敛区间再由幂级数在处的收敛性就可以决定它的收敛域幂级数的收敛域是或、、之一假设幂级数只在收敛那么规定收敛半径假设幂级数对一切都收敛那么规定收敛半径这时收敛域为定理2如果其中、是幂级数的相邻两项的系数那么这幂级数的收敛半径证明(1)如果,那么只当时幂级数收敛故(2)如果那么幂级数总是收敛的故(3)如果那么只当时幂级数收敛故例1求幂级数的收敛半径与收敛域解因为所以收敛半径为即收敛区间为.当时有，由于级数收敛，所以级数在时也收敛.因此收敛域为例2求幂级数=的收敛域解因为所以收敛半径为从而收敛域为例3求幂级数的收敛半径解因为所以收敛半径为即级数仅在处收敛例4求幂级数的收敛半径解级数缺少奇次幂的项定理2不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径幂级数的一般项记为因为当即时级数收敛当即时级数发散所以收敛半径为3.3幂级数的运算设幂级数及分别在区间及内收敛那么在与中较小的区间内有加法.减法.乘法.除法:关于幂级数的和函数有以下重要性质：性质1幂级数的和函数在其收敛域上连续性质2幂级数的和函数在其收敛域上可积并且有逐项积分公式逐项积分后所得到的幂级数和原级数有一样的收敛半径性质3幂级数的和函数在其收敛区间内可导并且有逐项求导公式逐项求导后所得到的幂级数和原级数有一样的收敛半径例6求幂级数的和函数解求得幂级数的收敛域为设和函数为即显然在的两边求导得：对上式从到积分得于是当时有从而提示应用公式即习题7-31．求以下幂级数的收敛区间〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕.2.利用逐项求导法或逐项积分法，求以下级数的和函数〔1〕;〔2〕.第4节函数展开成幂级数4.1函数展开成幂级数给定函数要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数〞就是说是否能找到这样一个幂级数它在某区间内收敛且其和恰好就是给定的函数如果能找到这样的幂级数我们就说函数能展开成幂级数而该级数在收敛区间内就表达了函数如果在点的某邻域内具有各阶导数，那么当时在点的泰勒多项式成为幂级数这一幂级数称为函数的泰勒级数显然当时的泰勒级数收敛于需要解决的问题除了外的泰勒级数是否收敛?如果收敛它是否一定收敛于?定理设函数在点的某一邻域内具有各阶导数那么在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒公式中的余项当时的极限为零即证明先证必要性设在内能展开为泰勒级数即又设是的泰勒级数的前项的和那么在内而的阶泰勒公式可写成，于是再证充分性设对一切成立因为的阶泰勒公式可写成于是，即的泰勒级数在内收敛并且收敛于在泰勒级数中取得此级数称为的麦克劳林级数要把函数展开成的幂级数，可以按照以下步骤进展：第一步求出的各阶导数第二步求函数及其各阶导数在处的值第三步写出幂级数并求出收敛半径R第四步考察在区间(内时是否是否为零如果那么在内有展开式例1试将函数展开成的幂级数解所给函数的各阶导数为因此得到幂级数该幂级数的收敛半径由于对于任何有限的数(介于0与之间)有而所以从而有展开式例2将函数展开成的幂级数解因为所以顺序循环地取于是得级数它的收敛半径为对于任何有限的数(介于0与之间)有因此得展开式.例3将函数展开成x的幂级数其中为任意常数解的各阶导数为所以且于是得幂级数以上例题是直接按照公式计算幂级数的系数，最后考察余项是否趋于零.这种直接展开的方法计算量较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事.下面介绍间接展开的方法，也就是利用一些的函数展开式，通过幂级数的运算以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.这样做不但计算简单，而且可以防止研究余项.例4将函数展开成的幂级数解对上式两边求导得例5将函数展开成的幂级数解因为而是收敛的等比级数的和函数所以将上式从0到逐项积分得上述展开式对也成立这是因为上式右端的幂级数当时收敛而在处有定义且连续常用展开式小结4.2幂级数的展开式的应用4.2.1近似计算有了函数的幂级数展开式，就可以用它进展近似计算，在展开式有意义的区间内，函数值可以利用这个级数近似的按要求计算出来.例6计算的近似值(误差不超过)解因为所以在二项展开式中取即这个级数从第二项起是交织级数，如果取前项和作为的近似值那么其误差(也叫做截断误差)可算得为了使误差不超过只要取其前两项作为其近似值即可于是有例7利用求的近似值并估计误差解首先把角度化成弧度(弧度)(弧度)从而其次估计这个近似值的准确度在的幂级数展开式中令得等式右端是一个收敛的交织级数且各项的绝对值单调减少取它的前两项之和作为的近似值起误差为因此取.于是得，这时误差不超过例8计算定积分的近似值要求误差不超过〔取〕解将的幂级数展开式中的换成得到被积函数的幂级数展开式.于是根据幂级数在收敛区间内逐项可积得.前四项的和作为近似值其误差为所以例9计算积分的近似值要求误差不超过解因为所以对上式逐项积分得=.上面级数为交织级数，所以误差，经试算，，.所以取前三项计算，即.4.2.2欧拉公式设有复数项级数为〔7-4-1〕其中为实常数或实函数.如果实部所成的级数〔7-4-2〕收敛于和，并且虚部所成的级数〔7-4-3〕收敛于和，就说级数〔1〕收敛且其和为.如果级数〔7-4-1〕各项的模所构成的级数收敛，那么称级数〔7-4-1〕绝对收敛.如果级数〔1〕绝对收敛，由于那么级数〔7-4-2〕，〔7-4-3〕绝对收敛，从而级数〔7-4-1〕收敛.考察复数项级数〔7-4-4〕可以证明级数〔7-4-4〕在整个复平面上是绝对收敛的.在轴上它表示指数函数，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作，于是定义为〔7-4-5〕当时，为纯虚数，〔7-4-5〕式成为把换写为，上式变为〔7-4-6〕这就是欧拉公式.应用公式〔7-4-6〕，复数可以表示为指数形式：〔7-4-7〕其中是的模，是的辐角在〔7-4-6〕式中把换成，又有与〔7-4-6〕相加、相减，得〔7-4-8〕这两个式子也叫做欧拉公式.〔7-4-6〕式或〔7-4-最后，根据定义式〔7-4-5.特殊地，取为实数，为纯虚数，那么有这就是说，复变量指数函数在处的值是模为、辐角为的复数.习题7-41.将以下函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间：〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕;〔5〕;〔6〕.2.将函数展开成的幂级数.3.将函数展开成的幂级数.4.利用函数的幂级数展开式求的近似值〔误差不超过0.0001〕5.利用欧拉公式将函数展开成的幂级数.第5节傅里叶级数5.1三角级数三角函数系的正交性正弦函数是一种常见而简单的周期函数.例如描述简谐振动的函数,就是一个以为周期的正弦函数，其中表示动点的位置，表示时间，为振幅，为角频率，为初相.在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦函数的周期函数，它们反响了较复杂的周期运动.如电子技术中常用的周期为的矩形波,就是一个非正弦周期函数的例子.为了深入研究非正弦周期函数，联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数,我们也想将周期为的周期函数用一系列以为周期的正弦函数组成的级数来表示，记为〔7-5-1〕其中都是常数.将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频率的简谐振动的叠加.在电工学上，这种展开称为是谐波分析.其中常数项称为是的直流分量；称为一次谐波；而,依次称为是二次谐波，三次谐波，等等.为了以后讨论方便起见，我们将正弦函数按三角公式变形，得=+，并且令，，，，那么〔1〕式右端的级数就可以改写为〔7-5-2〕形如〔7-5-2〕式的级数叫做三角级数，其中都是常数.令〔7-5-2〕式成为〔7-5-3〕这就把以为周期的三角级数转换为以为周期的三角级数.下面讨论以为周期的三角级数〔7-5-3〕.我们首先介绍三角函数系的正交性.三角函数系〔7-5-4〕在区间上正交，就是指在三角函数系〔7-5-4〕中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零，即三角函数系中任何两个一样的函数的乘积在区间上的积分不等于零即5.2函数展开成傅里叶级数设是周期为的周期函数且能展开成三角级数〔7-5-5〕那么系数与函数之间存在着怎样的关系?假定三角级数可逐项积分那么=类似地，可得系数叫做函数的傅里叶系数由于当时，的表达式正好给出，因此，已得结果可合并写成〔7-5-6〕将傅里叶系数代入〔5〕式右端，所得的三角级数叫做函数的傅里叶级数.一个定义在上周期为的函数如果它在一个周期上可积那么一定可以作出的傅里叶级数然而函数的傅里叶级数是否一定收敛?如果它收敛它是否一定收敛于函数?一般来说这两个问题的答案都不是肯定的定理1〔收敛定理狄利克雷充分条件)设是周期为的周期函数如果它满足在一个周期内连续或只有有限个第一类连续点在一个周期内至多只有有限个极值点那么的傅里叶级数收敛并且当是的连续点时级数收敛于当是的连续点时级数收敛于由定理可知，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多，假设记，在上就成立的傅里叶级数展开式.〔7-5-7〕例1设是周期为的周期函数它在上的表达式为，将展开成傅里叶级数解所给函数满足收敛定理的条件它在点处不连续在其它点处连续从而由收敛定理知道的傅里叶级数收敛并且当时收敛于当时级数收敛于傅里叶系数计算如下[1(1)n].于是的傅里叶级数展开式为例2设是周期为的周期函数它在上的表达式为.将展开成傅里叶级数.解所给函数满足收敛定理的条件它在点处不连续因此的傅里叶级数在处收敛于在连续点处级数收敛于傅里叶系数计算如下.的傅里叶级数展开式为.设只在上有定义我们可以在或外补充函数的定义使它拓广成周期为的周期函数在内.按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓.例3将函数展开成傅里叶级数解所给函数在区间上满足收敛定理的条件并且拓广为周期函数时它在每一点处都连续因此拓广的周期函数的傅里叶级数在上收敛于傅里叶系数为;于是的傅里叶级数展开式为5.3正弦级数和余弦级数对于周期为的函数，它的傅里叶系数计算公式为由于奇函数在对称区间上的积分为零，偶函数在对称区间上的积分等于半区间上积分的两倍，因此，当为奇函数时是奇函数是偶函数故傅里叶系数为因此奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数当为偶函数时是偶函数是奇函数故傅里叶系数为bn0因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数例4设是周期为的周期函数它在[)上的表达式为将展开成傅里叶级数解首先所给函数满足收敛定理的条件它在点不连续因此的傅里叶级数在函数的连续点收敛于在点收敛于其次假设不计)那么是周期为的奇函数于是而的傅里叶级数展开式为设函数定义在区间上并且满足收敛定理的条件我们在开区间内补充函数的定义得到定义在上的函数使它在上成为奇函数(偶函数)按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)限制在上有例5将函数分别展开成正弦级数和余弦级数解先求正弦级数为此对函数进展奇延拓函数的正弦级数展开式为在端点及处级数的和显然为零它不代表原来函数的值再求余弦级数为此对进展偶延拓.函数的余弦级数展开式为5.4周期为的周期函数的傅里叶级数我们所讨论的周期函数都是以为周期的但是实际问题中所遇到的周期函数它的周期不一定是怎样把周期为的周期函数展开成三角级数呢问题我们希望能把周期为的周期函数展开成三角级数为此我们先把周期为的周期函数变换为周期为的周期函数令及那么是以为周期的函数这是因为于是当满足收敛定理的条件时可展开成傅里叶级数其中(n012)从而有如下定理定理2设周期为的周期函数满足收敛定理的条件那么它的傅里叶级数展开式为其中系数anbn为当为奇函数时其中当为偶函数时其中例6设是周期为4的周期函数它在上的表达式为(常数)将展开成傅里叶级数解这里.于是.例7将函数展成周期为4的余弦函数.解对进展偶延拓那么,,故习题7-51.以下函数周期都为，试求其傅里叶级数展开式：〔1〕;〔2〕.2.将函数展开成傅里叶级数.3.将函数展开成正弦级数和余弦级数.4.将函数展开成傅里叶级数.第6节级数的应用6.1级数在经济上的应用6.1.1乘子效应设想联邦政府通过一项消减100亿美元税收的法案，假设每个人将花费这笔额外收入的93%，并把其余的存起来。试估计消减税收对经济活动的总效应。因为消减税收后人们的收入增加了，亿美元将被用于消费。对某些人来说，这些钱变成了额外的收入，它的93%又被用于消费，因此又增加了亿美元的消费，这些钱的承受者又将花费它的93%，即又增加了亿美元的消费。如此下去，消减税收后所产生的新的消费的总和由以下无穷级数给出：这是一个首项为，公比为的几何级数，此级数收敛，它的和为：亿美元即消减100亿美元的税收将产生的附加的消费大约为亿美元.此例描述了乘子效应(themultipliereffect).每人将花费一美元额外收入的比例称作“边际消费倾向〞(themarginaltoconsume),记为.在本例中，，正如我们上面所讨论的，消减税收后所产生的附加消费的总和为：附加消费的总和==[消减税额],消减十二乘以乘子就是它的实际效应.6.1.2投资费用问题设初始投资为,年利率为,年重复一次投资.这样第一次更新费用的现值为,第二次更新费用的现值为,以此类推,投资费用为以下等比数列之和：.例1建钢桥的费用为元,每隔年需要油漆一次，每次费用为元,桥的期望寿命为年；建造一座木桥的费用为元,每隔年需要油漆一次，每次的费用为元,其期望寿命为年，假设年利率为,问建造哪一种桥较为经济解根据题意,桥的费用包括两局部：建桥费用+油漆费用.对建钢桥;建钢桥费用为,其中,那么.油漆钢桥费用为.故建钢桥的总费用的现值为.类似地,建木桥的费用为.油漆木桥费用为.建木桥的总费用的现值为.现假设价格每年以备份率涨价，年利率为,假设某种服务或工程的现在费用为时,那么年后的费用为,其现值为.因此在通货膨胀的情况下,计算总费用的等比级数为.6.2级数在工程上的应用在土建工程中，常常遇到关于椭圆周长的计算问题。设有椭圆，求它的周长.把椭圆方程写成参数形式：.记椭圆的离心率为，即：，那么椭圆的弧微分所以椭圆的周长.由于不是初等函数，不能直接积分，我们用函数的幂级数展开式推导椭圆周长的近似公式易得又因为，从而，由上式得：.于是，所以椭圆周长的近似公式为.利用上述方法还可退出椭圆周长的幂级数展开式，并由此得出更准确的近似计算公式：习题7-61.某合同规定，从签约之日起由甲方永不停顿地每年支付给乙方300万元人民币，设利率为每年5%，分别以〔1〕年复利计算利息；〔2〕连续复利计算利息，那么该合同的现值等于多少2.钢筋混凝土椭圆薄壳根基内某根椭圆形钢筋的尺寸为：长半轴为1米，短半轴为米，试求这钢筋的长度〔准确到小数点后三位〕.第七节Mathematica软件应用7.1无穷级数之和在MATLAB中使用命令symsum来对无穷级数进展求和.该命令的常用格式如表6-1所示，其中s为级数的一般项.命令格式功能r=symsum(s,a,b)返回默认变量k从a开场到b为止s的和r=symsum(s,a,inf)返回默认变量k从a开场到为止s的和例1求的一般表达式.解：输入命令：symskn;symsum(k^2,1,n)输出结果为：ans=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6输出结果比较复杂，可以简化一下，输入命令：simplify(ans)输出结果为：ans=1/3*n^3+1/2*n^2+1/6*n可以再对该结果进展因式分解，输入命令：factor(ans)输出结果为：ans=1/6*n*(n+1)*(2*n+1)例2.求解输入命令：symsk;symsum(k^3,1,10)输出结果为：ans=3025例3求.解输入命令：symsk;r=symsum(1/sym(‘k!’),0,inf)输出结果为：r=exp(1)7.2幂级数之和设幂级数为，可以使用命令symsum(s,n,0,inf)来求出s(