数字建模-节水洗衣机问题

1996年全国大学生数学建模竞赛题B：节水洗衣机问题

我国淡水资源有限，节约用水人人有责，洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要，假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：“加水——漂水——脱水”。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少，选用合理的数据进行计算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。一、模型的假设1、仅考虑离散的加水方案，即每次脱水后换成清水进行下一次洗涤。2、每次洗涤加水量不能低于L，否则洗衣机无法转动，加水量不能高于H，否则会溢出，设L<H。3、每次洗涤的时间是足够的，以使衣服上的脏物充分溶入水中，从而使每次所加的水被充分利用。4、脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣服所含的脏水量达到一个低限，设这个低限是一个大于0的常数C，并由于脱水时不会另加水，故C<L5、设共进行n轮“洗漂——脱水”的过程，依次为第0轮，第1轮，第2轮，第n-1轮6、第k轮用水量为Uk(k=0,1,2，……，n-1)7、衣服上的初始脏物量为x0，在第k轮脱水之后的脏物量为xk+1(k=0,1,2,……，n-1)二、模型的建立每一轮脱水之前，污物分为两部分

Xk=pk+qkPk为溶入水中的污物，qk为未溶入水中的。Pk与第k轮的加水量有关，总的规律可看成是Uk越大，Pk越大，且当Uk=L时，Pk==0最小（因为此时洗衣机处于停止状态，无法转动，该轮洗衣无效）当Uk=H时，Pk最大=Qxk(0<Q<1,Q为溶解率)因此，在第k轮脱水后，衣服上尚有污物在第k轮脱水后，还有污水C，所含污物为于是，在第k轮完成之后衣物上尚存的污物总量为代入Pk后整理得动态方程为：所以优化模型为：其中代表对洗净效果的要求，若令则优化模型可化为更为简洁的形式其中:四、分析与求解1、确定最小洗衣轮数定义函数易知可知r(t)是区间[0，1]上的单调减函数，所以第k轮的洗净效果为：由此，不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到给定洗净效果的要求ε，则应有于是而又因为0≤Q≤1，C/H是一个非常小的常数，所以简化为当ε、Q给定后，由上式就可确定最小洗衣轮数N0，下表给出了一些N0-Q之间的关系Q0.990.950.900.850.800.700.600.50N0ε=10-3233456810ε=10-424456810142、数据模拟检验基于常识给出如下实验数据（1）洗净效果要求为千分之一，即（2）每轮用水量下限为上限的百分之25，即L/H=0.25（3）脱水后衣服上的脏水量为用水量上限的十万分之一，即C/H=10-5所以由(2)、（3）易得计算结果如下Q=0.99,不同洗衣轮数n下的最少总用水量和每一轮的最优用水量∑vkvk备注1无解21.95630.9782n=2为最优32.72730.909143.32190.830553.78190.756464.14410.690774.43510.633684.67320.584294.87140.5413105.03860.5386不同溶解率Q值下的最优洗衣轮数,最少总用水量和每一轮的最优用水量(各轮的最优用水量恰好相等)Qn∑vkvk备注0.9921.95630.97820.9532.84210.94970.9043.65400.91350.8543.86900.96730.8054.68010.93600.7065.86100.97680.6087.71080.96380.50109.97640.9976（