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第二章函数函数与方程第15讲函数零点的存在性判断与求解点评

函数零点的存在性问题常用的办法有三种：一是零点存在的性质定理，即考察变号零点所在区间端点值的符号；二是直接解方程，求出方程的根或讨论方程根的存在性；三是构造函数，利用函数图象的交点判断函数零点的存在性．本题(1)是转化为方程求零点；本题(2)是构造函数，利用函数图象的性质研究函数零点的存在性．【变式练习1】(1)求函数y＝x3－3x的零点；

(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋lg(2m－1)有两个异号零点，求实数m的取值范围．

用二分法求方程的近似解【例2】求方程x3－x－1＝0在区间[0,2]上的实数根(精确度为0.1)．点评在用二分分法求解解方程时时，初始始区间的的选定往往往需要要通过分分析函数数的性质质(了解函数数的大致致图象)或者试验验估值，，并逐步步将零点点值的区区间范围围缩小．．初始区区间的端端点不一一定选在在两个相相邻整数数之间，，初始区区间选取取不同，，不影响响最终的的计算结结果．【变式练习习2】求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根根，取区区间中点点x0＝2.5，那么下下一个有有解区间间是_______________【解析】设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(2.5)＝5.625>0，f(3)＝16>0，故下一一个有根根区间是是[2,2.5]．[2,2.5]函数零点点的综合合应用点评【变式练习习3】已知关于于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实数根根，求实实数a的取值范范围．2.已知关于于x的方程ax＋2a＋1＝0在(－1,1)上有一个个实数根根，则实实数a的取值范范围是_____________4.函数f(x)＝lgx－sinx的零点个个数为_________【解析】在同一坐坐标系中中作出函函数y＝sinx，y＝lgx的图象如如图，即即可知道道交点个个数是3，即原函函数的零零点个数数是3.35.设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，求证：：方程f(x)＝0在(0,1)内有两个个实根．．1．函数的的零点函数的零零点不是是点，而而是函数数y＝f(x)的图象与与x轴交点的的横坐标标，所以以零点是是一个实实数，一一个使函函数值为为0的实数．．函数的的零点分分变号零零点和不不变号零零点两种种．变号号零点可可以用二二分法求求解，不不变号零零点一般般通过函函数图象象判断，，如函数数y＝|x－1|有一个零零点x＝1，它是不不变号零零点．所所以f(a)·f(b)<0是函数f(x)在区间[a，b]上存在零零点的必必要非充充分条件件．2．方程根根的分布布求方程的的根或根根的近似似值，就就是求函函数的零零点值或或其近似似值．将将方程根根的问题题转化为为函数的的零点问问题，不不仅直观观展现了了方程根根的几何何意义，，重要的的是能够够简化运运算程序序，提高高解决问问题的效效率．3．函数与与方程的的综合应应用数形结合

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