第一章波函数与Schr

第一章波函数与Schrödinger方程§1波函数的统计解释§2力学量的平均值和算符的引进§3Schrödinger方程§4量子态叠加原理§1

波函数的统计解释

一.实物粒子的波粒二象性（Wave-particleduality）

1923年，在爱因斯坦光子理论的启发下，德布罗意提出一切实物粒子（如电子等）均具有波粒二象性，即实物粒子都伴随着一种波，称为德布罗意波或物质波（matterwave）：等价（德布罗意-爱因斯坦公式）粒子的物质波波长p、E

粒子的动量和能量50布拉格公式：

微粒波动性的实验证实1—戴维孙-革末实验（1927）当自由粒子速度较小时Ek<<E0，按牛顿力学处理如果电子经过加速电场获得动能当U＝54V时

可见，由德布罗意关系给出的电子波波长的理论值与实验结果吻合。

微粒波动性的实验证实2—C60分子束光栅衍射实验（1999）（a）C60分子束光栅衍射实验装置(M.Arndt,etal.,Nature,Vol.401,P680,1999)每秒计数每50秒计数(b)实验结果图，圆圈代表C60分子的计数，其中b图是无光栅时的结果。（c）简化分析：C60分子的双缝衍射示意图

粒子性和波动性是一对矛盾的属性，微观粒子的性质由这对彼此对立，但又相互补充的矛盾属性完全描述—互补原理（Complementarityprinciple）“波粒二象性是辐射（radiation）和实物粒子（materialparticle）都具有的内禀的和不可避免的性质。波动和粒子描述是两个理想的经典概念，各自有其适用范围。在特定的物理现象中，辐射和实物粒子均可展现其波动性或粒子性。但这两种理想的描绘中的任何单独一方，都不能对所研究的现象给出完整的说明。”

—

N.玻尔1927直线运动的自由粒子波包二.粒子波动性的两种错误看法观点：波包即粒子

薛定谔将德布罗意的位相波理解为像电磁场E和B那样的“物质波”，代表一种真实的物理波动。波动就是一切，粒子不过是波的聚集，称之为“波群”，也即后来所说的“波包”，波包的大小即粒子大小，群速度即粒子速度。

什么是波包？单色平面波通常不存在，而实际的波可则展开为各种波长平面波的迭加，称为波包。(1)粒子由波组成—“波包论”(薛定谔)

困难之处

理论分析表明，随传播时间的推移，自由粒子的物质波波包会不断的扩散，粒子将变得越来越“胖”，因此粒子的结构是不稳定的。

实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å

与实验事实相矛盾！物质波包的观点夸大了波动性，抹杀了粒子性，带有片面性。其核心是将量子的波看成经典的波(2)波由粒子组成如声波，是介质分子（粒子）密度疏密变化而形成的一种分布。观点：电子的波动性是由于大量的电子分布于空间而形成的疏密波。

波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。其核心仍是将量子的粒子看成经典的粒子。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子双缝实验—单个电子多次重复性行为单个电子显示出波动性！电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波.

我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典粒子和量子论中的粒子的差别？经典的波和量子的波(物质波)的区别？核心问题：经典概念中粒子意味着：1.有一定质量、电荷等“颗粒性”或“原子性”的属性;2．有确定的运动轨道，可以准确预言每一时刻的位置和速度（动量），是决定性的描述。经典概念中波意味着：1.实在物理量的空间分布作周期性的变化;2.干涉、衍射现象，其本质在于相干叠加性。量子世界中的粒子：1.有一定质量、电荷等“颗粒性”或“原子性”的属性;2．有确定的运动轨道，可以准确预言每一时刻的位置和速度（动量），是决定性的描述。（）量子世界中的波（物质波）：1.实在物理量的空间分布作周期性的变化;()2.干涉、衍射现象，其本质在于相干叠加性。（微粒的“轨道”是不可观测量，因而应摒弃；微粒的位置和动量亦不能同时确定**）（波做概率解释，是几率波，其绝对值平方代表粒子出现几率）三.波函数的统计解释（1）波函数

为了方便对物质波进行数学描述，薛定谔引入了函数，称为波函数（复函数），来表示物质波，并建立了波函数的偏微分方程—薛定谔方程。

自由粒子的波函数单色平面波（利用了德布罗意公式）k

波矢量；p、E

自由粒子的动量和能量

力场中的粒子波函数

实际的粒子通常受力场的作用（例如原子中的电子），其物质波波函数(r,t)不能再用单色平面波描写，具体形式视情况而定，但是都可展开为不同波长（波数）的单色平面波的叠加：或单色平面波（自由粒子波函数）自由粒子波函数的归一化因子其中从数学上看，这相当于将波函数(r,t)做傅里叶展开，C是展开系数，且有明确的物理意义。傅里叶逆变换其中问题：c(p，t)的物理意义是什么呢？波函数的物理含义？

如果说粒子的波函数代表粒子的空间分布，那么自由粒子的波函数在空间上是无限展延的，而作为一个实物粒子，因其“原子性”，占有的空间体积是十分有限的，显然彼此矛盾！

玻尔曾经说：“量子理论诠释的关键在于，必须把彼此矛盾的波动和粒子这两种描述协调起来”。因此上述对波函数的解释行不通！

因此对波函数的物理诠释必须要求把波动和粒子性融合在一起。1926年，玻恩对波函数的物理解释做到了这一点！（2）概率波（Probabilitywave）

波函数在空间某点的强度（i.e.振幅绝对值的平方|Ψ(r,t)|2

）和在这点找到粒子的概率成正比。

该点附近感光点的数目

该点附近出现的电子数目电子出现在r点附近的概率在电子衍射实验中，照相底片上r点附近衍射花样的强度（|Ψ|2

）以电子的单缝衍射为例。因此，量子力学中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在物理量的空间波动，只不过是刻画粒子在空间的概率分布的概率波而已。考虑自由粒子的波函数即自由粒子在空间各点出现的概率均等，符合自由粒子的物理描述，前面所述的矛盾也不存在了！

由于|Ψ(r,t)|2

代表粒子出现的概率，因此玻恩对波函数的统计解释，把彼此矛盾的波和粒子性统一在了一起。换言之，波函数的概率解释，是实物粒子波粒二象性的内在要求。

另一方面，微观粒子的性质由彼此对立，但又相互补充的矛盾属性，即波动性和粒子性，完全描述（互补原理）。微观粒子的运动状态（量子态）由波函数Ψ完全描述，只要给出了波函数就可得到体系所有性质（如位置、动量、角动量、动能、势能、电场、磁场等）—

量子力学的基本假定之一

量子力学中这种状态的描写方式与经典力学中描写质点运动状态的方式完全不同。在经典力学中，质点的状态用（r，p）完全描述，只要给出质点的位置和动量，其他力学量（如能量等）均可表示为r和p的函数，因而也随之确定。但在量子力学中，由于波粒二象性，r和p不能同时有确定值（海森堡的不确定原理），而波粒二象性现在被统一到波函数Ψ中，所以量子力学中用波函数Ψ描述量子态。显然，正是波粒二象性决定了量子的和经典的描述方式本质的差别。

总之，由于波粒二象性，微观粒子服从统计性规律，用不确定的语言（如概率）描述；经典粒子服从决定性规律，用确定性语言（如轨道）描述。

概率解释对波函数的要求

根据波函数的统计解释，在空间r点附近的体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率是|Ψ|2ΔxΔyΔz

。

概率密度

概率波幅则在任意体积空间中，找到粒子的概率：①真实的波函数应满足归一化条件（平方可积）在全体积空间中，找到粒子的概率应等于1：问题：自由粒子的波函数满足归一化条件吗？②标准化条件

粒子在某时刻在空间某点出现的概率应该单值、有限，因此波函数应该是坐标r的单值、有限函数，且波函数及其各阶导数也要连续。波函数满足单值、有限、连续性要求，称为标准化条件。③

统计解释中只涉及波函数的振幅，因此波函数还存在下述不确定性：

常数因子的不确定性

若Ψ(r,t)

归一，C为常数，则Ψ(r,t)和CΨ(r,t)

描述同一个物理状态，因为它们的相对概率相同即，Ψ和CΨ表示同一个概率波，因此对于概率分布来说，重要的是相对概率。

相位的不确定性Ψ(r,t)和Ψ(r,t)ei（为实常数）代表同一个概率波，因两者的模—从而概率密度—相同。（3）多粒子体系的波函数设体系由N个粒子组成，则粒子1出现在()中同时粒子2出现在()中…………同时粒子N出现在()中的几率体系的波函数(态函数)归一化条件本节例题例1设粒子波函数为，求在(x,x+dx)范围中找到粒子的几率。

解：根据波函数的统计解释，在空间r点附近的体积元dxdydz中找到粒子的概率是|Ψ|2dxdydz

。则在(x,x+dx)范围内，找到粒子的概率：例2设二粒子体系的波函数为，求测得粒子1在中的几率。

解：由于代表粒子1出现在()中，同时粒子2出现在()中的几率，故所求为例3设，为常数，求归一化常数A。解：由波函数归一化条件知道：利用积分公式四.动量空间（表象）的波函数

描述微观粒子运动状态的波函数不仅可以是坐标r和时间t的函数，即Ψ(r,t)；也可以是动量p和时间t的函数，即(p，t)。（那么可以是r和p的函数？）Ψ(r,t)以坐标为自变量—坐标表象(re-

presentation)中的波函数表示(p,t)以动量为自变量—动量表象中的波函数表示同一个状态不同的描述方式表象=“坐标系”问题：波函数Ψ(r,t)和(p，t)之间的联系？

波函数Ψ(r,t)可以展开为各种波长（波数）的平面波的叠加，按照德布罗意关系，也可展开为具有不同动量的单色平面波的叠加，即将付氏展开系数C(p,t)(p,t)付氏分波（1）

按(1)式，任意粒子波函数Ψ(r,t)包含各种动量成分的傅里叶分波，故在波函数Ψ所描写的状态下测量粒子的动量，不会有确定值，展开式中的每一种动量值都有可能出现，换言之，每一个傅里叶分波所对应的动量值是以某一概率出现在测量中！问题：测到粒子动量为p的概率是多少？傅里叶逆变换（2）将波函数Ψ归一化：其中使用了积分若已归一化，则也是归一化的

所以，粒子波函数Ψ(r,t)的傅里叶展开系数(p,t)也做概率波解释，描述的是每一个可能的动量值出现的概率

。—

动量表象下的波函数|(p,t)|2dp

测得粒子动量在p附近，即

pp+dp内的概率；|(p,t)|2

粒子动量分布的概率密度

很明显，波函数Ψ(r,t)和(p,t)不过是在不同的表象空间描述同一个量子态而已！只是前者刻画的是粒子的位置分布概率，而后者刻画的是粒子的动量分布概率。数学上，Ψ和互为傅里叶变换。

若给出粒子状态的波函数Ψ(r,t)解薛定谔方程相应的测量概率

在此态下测量粒子的位置，结果是一系列可能值：

在此态下测量粒子动量，结果也是一系列可能值：相应的测量概率由(2)式计算

实际上，不仅位置和动量，粒子的其它力学量如角动量、能量等也都可以根据波函数计算出各自的测量概率。因此，只要给出了粒子的波函数，粒子的所有力学量的测量概率都可以知道，也就是粒子的所有物理性质统统可以知道。因此，量子力学中粒子的状态由一个波函数完全描述！坐标表象：

位置概率密度（分布）粒子位置在rr+dr内的概率归一化条件动量表象：

动量概率密度（分布）粒子动量在pp+dp内的概率归一化条件同一个量子态在不同表象中的描述！§2

力学量的平均值和算符的引进

一般来说，当微观粒子处于某种状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，具有一系列的可能值，每一可能值均以一定的概率出现，当给定描述该状态的波函数Ψ后，力学量各种可能值的相应概率就完全确定，利用统计平均的方法，就可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。换言之，力学量平均值就是在Ψ所描述的量子态下，相应力学量的观测结果。一.力学量的平均值在统计物理中知道当可能值为离散值时:一个物理量的统计平均值等于物理量的各种可能值乘上相应的概率求和；（加权平均）当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的概率密度求积分。

如，气体分子速率在（0，+）内取值，则气体分子速率的算术平均：f(v)

速率分布函数，亦做概率解释（概率密度）给定粒子的波函数Ψ(r,t)：

若波函数已归一化，则力学量F的平均值

若波函数未归一化，则力学量F的平均值(相对概率密度)力学量平均值的计算公式注：这实际上是在坐标表象中计算F的平均值，故要求F要能表示成r的函数（1）坐标平均值

一维情况设Ψ(x)是归一化波函数，|Ψ(x)|2

是粒子出现在x点的概率密度，则

三维情况设Ψ(r)是归一化，|Ψ(r)|2

是粒子出现在r点的概率密度，则注:

为了方便，这里暂不考虑时间t

给定归一化波函数Ψ(r)，此量子态下粒子动量平均值为（2）动量平均值

要计算右边积分，必须给出动量p与坐标r的函数关系。但是由于波粒二象性，粒子的坐标r和动量p不同时确定，因此“粒子在空间某点r处的动量”是无意义的，即动量p不能表示成坐标r的函数，pp(r)。故上式积分在坐标表象中无法计算！如何计算粒子动量的平均值呢？二.力学量用算符表示

何为算符？

量子力学中的力学量为何要用算符表示？

如何得到力学量算符表达式？

算符的运算规则？（见第三章）（1）什么是算符

数学上的算符（Operator）代表一种运算，如加、减、乘、除、微分、积分等；在量子力学中，算符代表对波函数（量子态）的一种运算，例如经典力学

力学量是一个数，如坐标r、动量p、能量E、角动量l等；量子力学

力学量是一个算符，用其经典力学量符号上方加“”表示，如：坐标算符动量算符返回（2）力学量为何要用算符表示

先回到上一个问题：“如何计算动量平均值”？在坐标表象中，动量平均值该式无法计算。现改用动量表象，动量平均值**：代入波函数(p)的傅里叶变换式：得到结果又回到了坐标表象！对比(3)式：原来在坐标表象中由于动量p不能写成r的函数形式，导致(3）式不能计算。现在只要将动量p改造成算符形式，就能直接使用坐标表象中的波函数Ψ(r)计算平均值！

力学量改造成与经典力学不同的算符形式称为第一次量子化，其根源在于微观粒子的波粒二象性。波粒二象性波函数做几率解释测量力学量出现一系列可能值计算力学量平均值须引入算符一般地返回（3）力学量算符表达式那么，如何得到(4)式中算符的具体形式？

坐标算符

动量算符坐标表象对比(4)式即得动量算符在直角坐标系的分量形式？其它力学量算符可按下述规则写出：如果量子力学中的力学量F在经典力学中有对应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式F(r,p)中将p换成算符而得出，即

角动量算符经典式三个直角分量

势能算符即势能算符等于势能自身！为什么？你能写出动能算符？

动能算符

能量算符（哈密顿算符）粒子的能量在经典力学中称之为哈密顿（Hamilton）函数，故相应的算符又称哈密顿算符，用表示注：以上给出的都是坐标表象中算符的具体形式在不同的表象中，算符的表示式会不同！在自身表象中，算符的形式最简单(等于自身)！例如坐标表象动量表象(自身表象)坐标表象(自身表象)动量表象(见教程p14思考题)为什么？本节例题例题1：一维谐振子处在基态（为谐振子折合质量）

求：(1)势能的平均值；

(2)动能的平均值；

(3)动量的概率分布函数。解：（1）一维谐振子的势能势能的平均值利用积分公式（I）（2）动能平均值力学量算符须夹在ψ*和ψ之间利用积分公式及(I)式（3）动量的概率分布函数（概率密度）

动量的概率分布函数:例题2：证明在一维情况下，动量表象中的坐标算符本节例题证明：在动量表象下，坐标x的平均值而在坐标表象下，坐标x的平均值使用波函数(x)的傅里叶变换式：代人上面第二式，得到其中利用了附录A2（23）式因此坐标表象下，x平均值应该和动量表象下，坐标x的平均值相等:对比两式，得到动量表象下，坐标x的算符形式：推广到三维情况：得证！§3Schrödinger方程

（一）引言（二）自由粒子满足的方程（三）势场V(r)中运动的粒子（四）定域的几率守恒（五）定态和非定态（六）多粒子体系的Schrödinger方程

在各种具体情况下，找出描述体系状态的各种可能的波函数；(2)波函数如何随时间演化。(据此可知体系任意时刻的状态)

微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：（一）引言目标：

建立一个关于波函数的含时的微分方程——

薛定谔方程(1926)。

下面从最简单的情况—自由粒子着手，建立上述方程，然后再推广到一般的情况，即力场中的粒子情形。（二）自由粒子满足的方程

描写自由粒子的波函数应是所要建立的方程的解。将上式对时间微商，得(5)这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E，方程(5)只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。将Ψ对坐标二次微商，得(5)–(6)式自由粒子故自由粒子满足的波动方程：（7）讨论：

⑴根据(5)式，粒子能量E和作用在波函数上的算符相当，即（能量算符的另一种表示式）。⑵根据经典的能量关系E=p2/2m，将其写成如下方程形式：

（8）做下列算符替换，即可得方程(7)式。（三）势场中运动的粒子（自由粒子的推广）若粒子处于势场V(r)中运动，则能量关系变为：对其做（8）式的算符替换，并作用于波函数后有（9）式中，体系的两个能量算符和完全相当，因其对波函数作用结果相同。方程(9)称为含时Schrödinger方程，也称波动方程。（V=0即自由粒子）薛定谔方程的几点说明：（1）薛定谔方程是量子力学的一个基本假定，它不能从其他更基本的理论来获得证明（前面只是通过导引来建立方程的），其正确性只能通过在具体情况下由方程得出的结论和实验结果相比较来验证。（2）求解薛定谔方程，可以得到任何情况下体系的波函数，以及波函数随时间的演化规律。只要给定初值条件(r0,t0)，即初态，就可以得到体系在任意时刻的状态。所以，薛定谔方程反映了微观粒子运动规律，是量子力学中最基本的方程，其地位和经典力学中的牛顿方程相当。（3）薛定谔方程是复数方程，其解(r,t)显然是复数。因此在量子力学中体系的波函数只能是复数表示。而且波函数本身不是可观测量，从这个角度说波函数也不能是实数，因为物理上的可观测量一定是实数。（5）薛定谔方程是非相对论的，在相对论情况下由狄拉克方程取代。（6）在极限的情况下，薛定谔方程满足对应原理：当时，它能过渡到经典力学的运动方程。（进入运动方程是量子化的基本特征）（4）薛定谔方程的解（波函数）要满足归一化和标准化条件。返回（四）定域的几率守恒

在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域（定域）内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在t

时刻r

点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：在非相对论情况下，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即(10)总几率守恒

证明：考虑Schrödinger方程及其共轭形式：将*×（11）－×（12）式得在空间闭区域τ中将上式积分，则有：令概率密度J是什么呢？S使用Gauss定理(散度定理)—（13）（13）闭区域τ上找到粒子的几率(粒子数)在单位时间内的增量单位时间内通过τ的封闭表面S流入（积分前的负号）τ内的几率(粒子数)所以(13)式是定域的几率(粒子数)守恒的积分表示式。J是几率流(粒子流)密度，是一矢量。量子力学的连续性方程几率(粒子数)守恒的微分表示式：

令Eq.(13)τ趋于∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是Eq.(13)变为Eq.(10)：表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。讨论：(1)这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种“流”来实现这种变化。(2)连续性意味着某种流的存在。“抽刀断水水更流”J:几率流密度,单位时间内通过单位横截面积的几率(3)以粒子质量m乘连续性方程等号两边，得到：量子力学的质量守恒定律—时刻t在点的质量密度—质量流密度其中（4）以粒子电荷e乘连续性方程等号两边，得到：量子力学的电荷守恒定律,表明电荷总量不随时间改变—电荷密度—电流密度返回（五）定态薛定谔方程

现在讨论薛定谔方程的解。一般来说，粒子势能V(r)可以是时间t的显函数，这种情况将在微扰论中讨论；这里仅讨论V(r)不显含时间t的情形。含时薛定谔方程(9)V(r)与t无关，可以分离变量考虑特解：

什么是定态（Stationarystate）两边同时除以(r)f(t)等式两边是相互无关的物理量，故应等于与t,r无关的常数,设为E于是：(14)式(16)此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率

。由deBroglie关系可知：E

就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，形如(16)式的波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。方程式(15)称为定态Schrödinger方程（不含时Schrödinger方程），(r)也可称为定态波函数。和波函数应满足的物理条件得出。空间波函数可由方程式（15）（15）

能量本征值方程

使用哈密顿算符，改写定态薛定谔方程(15):(1)一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数,此类方程称为本征值方程。故方程(17)也称能量本征值方程。—能量本征值方程(17)(2)常量E

称为算符的本征值(即能量本征值)；称为算符的本征函数（即能量本征函数）。(3)数学上，对于任何的E值方程(17)都有解，但并非所有E值的解都满足物理上的要求（如波函数的标准化条件、束缚态边界条件）。通常只有某些离散E值所对应的解才满足物理要求。故能量本征值和本征函数一般取分立值：En和n（n=1,2,…）(4)当体系处于能量本征函数(r)

所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与该本征函数相应的能量算符的本征值En。(5)Hamilton算符一方面在Schrödinger方程里负责描写态的演化，另一方面其本征值又代表着系统的能量。（6）对于任何体系，关键是给出体系的哈密顿算符的具体形式，如此就能求解能量本征值方程（定态薛定谔方程）。

求解定态问题的步骤（1）列出定态Schrödinger方程(主要是写出势能函数的具体形式)讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψn(r,t)

和在这些态中的能量En。其具体步骤如下：（2）根据波函数应满足的标准化条件以及具体问题的边界条件求解能量E

的本征值方程，得：（4）含时Schrödinger方程(9)的一般解，可写为这些定态波函数的线性迭加，并通过归一化确定归一化系数Cn

（可以证明18式满足方程9）（3）写出定态波函数,即对应第n个本征值En

的定态波函数（含时Schrödinger

方程(9)的一个特解）（18）哈密顿算符作用于非定态波函数非定态下能量平均值

非定态（Nonstationarystate）

形如（18）式的波函数代表的是由不同能量本征态的叠加态，是体系的一般态，称为非定态。（18）非定态波函数：

体系处于非定态下，能量没有确定值，而是一系列的可能值，这些可能值分别是能量本征值E1、E2

、E3

，…En出现概率

定态的性质(1)能量算符的本征值E或En必定是实数(可观测量)；处于定态（能量本征态）下的粒子有如下性质：(2)粒子的几率密度和几率流密度都与时间无关；不含时间变量不含t（3）任何不显含t的力学量平均值与t无关

综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任何一个时，Ψ就是定态波函数：1.Ψ描述的状态其能量有确定的值；2.Ψ满足定态Schrödinger方程；3.|Ψ|2与t无关。换言之，定态就是统计分布不随时间变化的状态。（六）多粒子体系的Schrödinger方程

设体系由N个粒子组成质量分别为mi(i=1,2,...,N)

体系波函数记为(r1,r2,...,rN;t)

第i个粒子所受到的外势场Ui(ri)

粒子间的相互作用势V(r1,r2,...,rN)

则多粒子体系的Schrödinger方程可表示为：体系的哈密顿算符例如：对有Z个电子的原子，电子间相互作用为Coulomb

排斥作用：而原子核对第i个电子的

Coulomb吸引能为：(假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点)本节例题例题：设一维自由粒子波函数证明(x)是Hamilton量（能量）本征态，本征值E=p2/2m。

(b)设粒子初始(t=0)时刻，(x,0)=(x)，求(x,t)=？解：(1)一维自由粒子的哈密顿量作用于波函数(x):即波函数(x)满足能量本征值方程，因此代表了自由粒子的能量本征态，且能量本征值E=p2/2m。(2)由于体系初始时刻的波函数为能量本征函数(x)，表明初态为定态，则体系将一直处于定态，即(x)是动量本征态？§4量子态叠加原理

微观体系的状态,可以由波函数加以完全的描述,因为波函数给定后,微观粒子的所有力学量的观测值的分布概率都确定了。(1)量子态体系的量子态，可由波函数(r,t)也可由波函数(p,t)描述（还可以有其他的描述方式；数学上两者互为傅里叶变换），两者不过是同一量子态在不同表象(i.e.坐标表象和动量表象)下描述方式的差异。(2)态叠加原理

量子的态叠加原理微观粒子具有波动性，会产生干涉和衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的相干叠加性，即可相加性，波相干叠加的结果产生干涉和衍射。因此，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数，完全描述体系的状态，称波函数为态函数,所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。

经典的波叠加原理空间任意一点P的波强可以由前一时刻波前上所有各点传播出来的子波在P点线性迭加起来而得出。（惠更斯-菲涅耳原理）

态叠加原理的表述

若Ψ1和Ψ2

是体系的可能状态，那末它们的线性叠加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是该体系的一个可能状态，称线性迭加态。其中C1和C2

是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。

先考虑最简单的情形：两个态的叠加，然后再推广到多态叠加。考虑电子双缝衍射

PΨ1Ψ2ΨS1S2电子源感光屏电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的概率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的概率密度相干项,正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。一个电子有Ψ1和Ψ2

两种可能的状态，Ψ是这两种状态的叠加。Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是电子的可能状态;空间（屏上）找到电子的概率则是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]推广到多态叠加：若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...