向量数量积的概念同步练习

向量数量积的概念【基础练习】一、单选题1．已知，且的夹角为，则的值是A．1 B．±1 C．2 D．±22．已知是圆心为，半径为的圆上两点，且，则等于（）A． B． C． D．3．若，和的夹角为30°，则在方向上的投影为（）A．2 B． C． D．44．下面给出的关系式中正确的个数是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．45．若，则三角形ABC必定是（）三角形A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角二、填空题6．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_____________.7．如图，正六边形的边长为，记，从点､､､､､这六点中任取两点为向量的起点和终点，则的最大值为______.8．中，，，则在方向上的投影是__________.三、解答题9．已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列哪个条件时，能确定△ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由.①a·b<0；②a·b＝0；③a·b>0.10．如图所示，已知各单元格都是边长为的正方形，求出以下向量的数量积．（1）；（2）；（3）．【提升练习】一、单选题1．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．充分不必要条件2．对于下列命题：①若，则；②在，若，则为锐角三角形；③零向量与任何向量都共线④若和都是单位向量，则或．其中正确命题有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．如图所示，四个边长为1的正方形拼成一个大正方形，是其中一个小正方形的一条边，是小正方形其余的顶点，则集合中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．64．若向量、满足，则一定有（）A． B． C． D．5．如图，为圆的一条弦，且，则A．4 B．-4 C．8 D．-8二、填空题6．如图，已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点．则的最大值为______．7．在中，，，则_________.8．知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为__________．三、解答题9．作图说明,如果向量在向量上的投影为，则.10．已知是一个正六边形，将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列：，，，．答案与解析【基础练习】一、单选题1．已知，且的夹角为，则的值是A．1 B．±1 C．2 D．±2【答案】A【解析】.2．已知是圆心为，半径为的圆上两点，且，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由是圆心为，半径为的圆上两点，且，可得为等边三角形，可得：，故选：A.3．若，和的夹角为30°，则在方向上的投影为（）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】因为，和的夹角为30°所以在方向上的投影为.故答案选C4．下面给出的关系式中正确的个数是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①错误，正确的是，向量数乘的结果还是向量.②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.④错误，，故⑤错误，.综上所述，正确的个数为，故选B.5．若，则三角形ABC必定是（）三角形A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角【答案】B【解析】，即所以三角形ABC必定是直角三角形故选：B二、填空题6．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_____________.【答案】4【解析】设与的夹角为,∵,∴.又∵在上的投影向量为,∴,∴.故答案为:47．如图，正六边形的边长为，记，从点､､､､､这六点中任取两点为向量的起点和终点，则的最大值为______.【答案】2【解析】由题意可知：则，由图可知时，所以，故的最大值为2.故答案为：28．中，，，则在方向上的投影是__________.【答案】【解析】在方向上的投影为.三、解答题9．已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列哪个条件时，能确定△ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由.①a·b<0；②a·b＝0；③a·b>0.解∵a·b＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cosA.①当a·b<0时，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形；②当a·b＝0时，∠A为直角，△ABC为直角三角形；③当a·b>0时，∠A为锐角，△ABC的形状不确定．10．如图所示，已知各单元格都是边长为的正方形，求出以下向量的数量积．（1）；（2）；（3）．【答案】（1）1；（2）0；（3）-1.【解析】（1）由图可知，，因此．（2）由图可知，，因此．（3）由图可知，向量在向量上的投影的数量为，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知．【提升练习】一、单选题1．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．充分不必要条件【答案】D【解析】充分性：若存在正数，使得，则，，得证；必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；所以是充分不必要条件故选：D2．对于下列命题：①若，则；②在，若，则为锐角三角形；③零向量与任何向量都共线④若和都是单位向量，则或．其中正确命题有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【解析】解：①，，又，所以，所以，故①正确；②，，即，故为钝角三角形，故②错误；③零向量与任何向量都共线（平行），故③正确；④单位向量指模为的向量，再具体的情境中，单位向量的方向是确定的，故④错误.故选C.3．如图所示，四个边长为1的正方形拼成一个大正方形，是其中一个小正方形的一条边，是小正方形其余的顶点，则集合中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】根据数量积的定义，元素的个数取决于在向量方向的投影的结果的个数.结合已知条件，由图可知：与，与，与在向量方向的投影相同，故集合中有3个元素.故选：A.4．若向量、满足，则一定有（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵，∴，∴，∴．故选：5．如图，为圆的一条弦，且，则A．4 B．-4 C．8 D．-8【答案】D【解析】设AB的中点为M，连接OM，则OM⊥AB，则=2•=2||•||•cos=-2×2•||•cos=-4||=-8．故选D．二、填空题6．如图，已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点．则的最大值为______．【答案】1【解析】根据平面向量数量积的几何意义得：当点E在点B时，值的最大，此时，所以的最大值为1.7．在中，，，则_________.【答案】【解析】由知：，则在方向的投影为，由向量数量积的几何意义得：，∴故答案为8．知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为__________．【答案】【解析】解：向量在向量方向上的投影为所以，向