中考复习数学考点过关训练：图形的相似、位似

图形的相似、位似【基础训练】1.如果4x=3y,那么下列结论正确的是 ()A.x3=y4 B.xC.xy=43 D.x=4,2.已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则BCB'C'=A.2 B.4C.3 D.163.[2021·西城区二模]若相似三角形的相似比为1∶4,则面积比为 ()A.1∶16 B.16∶1C.1∶4 D.1∶24.[2021·温州]如图1,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为2∶3,点A,B的对应点分别为点A',B'.若AB=6,则A'B'的长为 ()图1A.8 B.9 C.10 D.155.如图2,在△ABC中,D,E分别是AB和AC的中点,S四边形BCED=15,则S△ABC= ()图2A.30 B.25 C.22.5 D.206.如图3,点D,E分别在△ABC的AB,AC边上,增加下列条件中的一个:①∠AED=∠B,②∠ADE=∠C,③AEAB=DEBC,④ADAC=AEAB,⑤AC2=AD·AE,使△ADE与△ACB一定相似的有图3A.①②④ B.②④⑤C.①②③④ D.①②③⑤7.[2021·东城区一模]一个直角三角形木架的两条直角边的长分别是30cm,40cm.现要做一个与其相似的三角形木架,如果以60cm长的木条为其中一边,那么另两边中长度最大的一边最多可达到 ()A.60cm B.75cm C.100cm D.120cm8.[2021·海淀区期末]如图4,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,DE∥BC,AD=1,BD=AE=2,则EC的长为.

图49.[2020·东城区期末]《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:“今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?”意思就是:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆(如图5所示),它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为.

图510.如图6,在平面直角坐标系中,将△AOB以点O为位似中心,23为位似比作位似变换,得到△A1OB1.已知A(2,3),则点A1的坐标是图611.[2021·丰台区期末]将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作:图7(1)如图7①,先将纸片对折,使BC和AD重合,得到折痕EF;(2)如图②,再将纸片分别沿EC,BD所在直线翻折,折痕EC和BD相交于点O.那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是.

12.如图8,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).画出以点O为位似中心,与△ABC的位似比为2∶1的△A2B2C2.图813.[2021·朝阳区期末]阅读下面材料:小军遇到这样一个问题:如图9①,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内一点,∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=45°,AP=1,求BP的长.图9小军的思路是:根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP,进一步推理可得BP的长.请回答:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠PCB=∠PBA,∴∠PCA=.

∵∠PAC=∠PCB,∴△ACP∽△CBP.∴APPC=PCPB=∵∠ACB=45°,AB=AC,∴∠BAC=90°.∴ACCB=∵AP=1,∴PC=2.∴PB=.

参考小军的思路,解决问题:如图②,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内一点,∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=30°,求APBP的值14.如图10,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.(1)求证:△ABE∽△DFA;(2)若AB=6,BC=4,求DF的长.图10【能力提升】15.如图11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为.

图1116.如图12,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P为BC边上的动点(与B,C不重合),PD∥AB,交AC于点D,连接AP,设CP=x,△ADP的面积为S.(1)用含x的代数式表示AD的长;(2)求S与x的函数表达式,并求当S随x增大而减小时x的取值范围.图12

【参考答案】1.A2.B3.A4.B5.D[解析]根据题意,点D和点E分别是AB和AC的中点,所以DE∥BC且DE=12BC,故可以判断出△ADE∽△ABC根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可知S△ADE∶S△ABC=1∶4,则S四边形BCED∶S△ABC=3∶4,题中已知S四边形BCED=15,故可得S△ADE=5,S△ABC=20,因此本题选D.6.A7.C8.49.四丈五尺[解析]设竹竿的长度为x尺,∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,标杆的影长=五寸=0.5尺,∴x15=1.故答案为四丈五尺.10.(43,2)[解析]∵将△AOB以点O为位似中心,23为位似比作位似变换,得到△A1OB1,A(2,3),∴点A1的坐标是:(23×2,23×3),即A1(43,211.112.解:如图所示,△A2B2C2为所求.13.解:∠PBC22∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠PCB=∠PBA,∴∠PCA=∠PBC.∵∠PAC=∠PCB,∴△ACP∽△CBP.∴APPC∵∠ACB=30°,∴APPC设AP=a,则PC=3a,∴PB=3a.∴APBP14.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC.∴∠AEB=∠DAF,∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°.∴∠B=∠DFA,∴△ABE∽△DFA.(2)∵△ABE∽△DFA,∴ABDF∵BC=4,E是BC的中点,∴BE=12BC=12∴在Rt△ABE中,AE=AB2+又∵AD=BC=4,∴6DF∴DF=61015.5485方法一:已知∠ACB=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理,得AB=5.∵CD⊥AB,∴12AB·CD=12AC·∴CD=AC·如图,过点E作EH⊥AB于点H.则EH∥CD,∴△BEH∽△BCD,∴EHCD∴EH=12CD=6易得△ABC∽△ACD,∴ACAD=ABAC,得由△ABC∽△CBD,得BCBD∴BD=BC·∴DH=12BD=1由△ADF∽△AHE,得ADAH∴9585+9其他构图方法:构造X型方法二:由方法一知:CD=125,AD=95,BD=过点E作EG∥AB交CD于点G,由平行线分线段成比例,得DG=12CD=65,EG=由EG∥AB,知△ADF∽△EGF,∴DFGF=ADEG,即DF6其他构图方法:构造反A字型方法三:如图,过点B作BQ⊥AE交AE的延长线于点Q.∵AE是△ABC的中线,∴S△ABE=12S△ABC=12∵S△ABE=12AE·BQ=12∴BQ=613∵AB=5,∴AQ=AB由△ADF∽△AQB,