两条直线的交点坐标两点间的距离公式

直线的交点坐标与距离公式两条直线的交点坐标两点间的距离公式课标要求素养要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.探索并掌握平面上两点间的距离公式.通过求解两直线的交点坐标及两点间的距离，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养.新知探究中段导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁.假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程.问题把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？提示分别求出两导弹飞行路线所在的直线方程，联立解方程组即可求出交点坐标.1.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系(1)两直线的交点点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行2.两点间的距离公式两点间的距离公式非常重要，请同学们一定要牢记条件点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)结论|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)特例点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2)3.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤eq\x(\a\al(第一步：建立,坐标系，用坐,标表示有关的量))→eq\x(\a\al(第二步：进行,有关代数运算))→eq\x(\a\al(第三步：把代数,运算的结果“翻,译”成几何结论))拓展深化[微判断]1.若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(√)2.无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.(×)提示当m＝eq\f(1,2)时两直线平行.[微训练]1.直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为()A.(3，－5) B.(－3，5)C.(3，5) D.(－3，－5)解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,x＋y－8＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5.))故交点为(3，5).答案C2.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为()\r(2) \r(5)\r(10) \r(5)解析∵点A关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，∴|A′B|＝eq\r(（－3－2）2＋（－5－10）2)＝5eq\r(10)，由光的反射理论可知，此即为光线从A到B的距离.答案C[微思考]1.平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？提示无关.在计算公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果.2.式子eq\r(x2＋y2)的几何意义是什么？提示式子eq\r(x2＋y2)＝eq\r(（x－0）2＋（y－0）2)表示平面上的点(x，y)到原点的距离.3.当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点间距离公式还适用吗？提示适用.当两点都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|.题型一两直线的交点问题【例1】求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.解法一由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即l1与l2的交点坐标为(－2，2).∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝eq\f(2,－2)＝－1.故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.法二∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.规律方法求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解.(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.【训练1】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.解法一由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2).∵l⊥l3，l3的斜率为eq\f(3,4)，∴kl＝－eq\f(4,3)，∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.法二∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.题型二两点间距离公式的应用【例2】(1)已知点A(－3，4)，B(2，eq\r(3))，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状.解(1)设点P的坐标为(x，0)，则有|PA|＝eq\r(（x＋3）2＋（0－4）2)＝eq\r(x2＋6x＋25)，|PB|＝eq\r(（x－2）2＋（0－\r(3)）2)＝eq\r(x2－4x＋7).由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－eq\f(9,5).故所求点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，0)).|PA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)＋3))\s\up12(2)＋（0－4）2)＝eq\f(2\r(109),5).(2)法一∵|AB|＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(（1－3）2＋（7＋3）2)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－（－3）)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－（－3）)＝－eq\f(2,3)，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.规律方法平面上两点间的距离公式的应用类型(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形.【训练2】(1)已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.(2)已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形.(1)解设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，得eq\r(（x－3）2＋（0－6）2)＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).(2)证明∵|AB|＝eq\r(（－4＋2）2＋（－3＋1）2)＝2eq\r(2)，|AC|＝eq\r(（0＋2）2＋（－5＋1）2)＝2eq\r(5)，|BC|＝eq\r(（0＋4）2＋（－5＋3）2)＝2eq\r(5)，∴|AC|＝|BC|.又∵点A，B，C不共线，∴△ABC是等腰三角形.题型三坐标法的应用【例3】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.证明如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点.设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|.又由中点坐标公式，得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))，∴|DE|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝|eq\f(c,2)|，∴|DE|＝eq\f(1,2)|AB|，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.规律方法用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.【训练3】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).∴|AC|＝eq\r(（b－0）2＋（c－0）2)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(（a－b－a）2＋（c－0）2)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养.2.方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).3.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.4.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.二、素养训练1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，,3x＋5y－6＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝1.))故交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).答案B2.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()＋y－8＝0 －y－8＝0＋y＋8＝0 －y＋8＝0解析联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋4＝0，,x－y＋5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝6.))∴交点坐标为(1，6).由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，则所求直线方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.答案A3.已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则eq\f(|AC|,|CB|)的值为()\f(1,3) \f(1,2) 解析由两点间的距离公式，得|AC|＝eq\r([3－（－1）]2＋（4－0）2)＝4eq\r(2)，|CB|＝eq\r(（3－5）2＋（4－6）2)＝2eq\r(2)，故eq\f(|AC|,|CB|)＝eq\f(4\r(2),2\r(2))＝2.答案D4.不论m取何实数，直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒过定点________.解析由直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0变形为m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,2x－y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))∴该直线过定点(0，1).答案(0，1)5.已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试分别确定m，n的值，使：(1)l1与l2相交于一点P(m，1)；(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；(3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.解(1)由于l1与l2相交于一点P(m，1)，故把点P(m，1)代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0，2m＋m－1＝0，联立解得m＝eq\f(1,3)，n＝－eq\f(73,9).(2)∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－8×2＝0，,8×（－1）－mn≠0，,3m－8＋n＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝20.))(3)由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋8m＝0，,－\f(n,8)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝8.))基础达标一、选择题1.直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是()\f(1,2) B.－eq\f(1,2) D.－2解析由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0))得直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入直线x＋ky＝0得k＝－eq\f(1,2).答案B2.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程是()－9y＝0 ＋19y＝0－3y＝0 ＋19y＝0解析由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(19,7)，,y＝\f(3,7)，))∴两直线的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7)))，∴所求直线的斜率为eq\f(\f(3,7)－0,－\f(19,7)－0)＝－eq\f(3,19)，∴所求直线的方程为y＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.答案D3.以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.以上都不是解析∵|AB|＝eq\r(（－3－3）2＋22)＝eq\r(36＋4)＝eq\r(40)＝2eq\r(10)，|BC|＝eq\r(（－1－3）2＋（2＋2）2)＝eq\r(16＋16)＝eq\r(32)＝4eq\r(2)，|AC|＝eq\r(（－1＋3）2＋22)＝eq\r(8)＝2eq\r(2)，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形.故选C.答案C4.当0<k<eq\f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))得两直线的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1)，\f(2k－1,k－1))).因为0<k<eq\f(1,2)，所以eq\f(k,k－1)<0，eq\f(2k－1,k－1)>0，所以交点在第二象限.答案B5.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线()A.恒过定点(－2，3)B.恒过定点(2，3)C.恒过点(－2，3)和点(2，3)D.都是平行直线解析(a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,x＋2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))答案A二、填空题6.过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________.解析由题意知kAB＝eq\f(b－a,5－4)＝b－a＝1，所以|AB|＝eq\r(（5－4）2＋（b－a）2)＝eq\r(2).答案eq\r(2)7.三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10，2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________.解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝10，,2x－y＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))把(4，－2)代入直线ax＋2y＋8＝0，可得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.答案－18.若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________.解析由两点间的距离公式得P到原点的距离为eq\r(x2＋（1－x）2)＝eq\r(2x2－2x＋1)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))，∴最小值为eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)三、解答题9.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.解由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋17y＋9＝0，,7x－8y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(11,27)，,y＝－\f(13,27)，))所以交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,27)，－\f(13,27))).又因为所求直线斜率为k＝－eq\f(1,2)，所以所求直线方程为y＋eq\f(13,27)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11,27)))，即27x＋54y＋37＝0.10.已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的k值.解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝eq\f(1,2)×(2k2＋2－2)×4＋(4－k＋4)×2×eq\f(1,2)＝4k2－k＋8(0＜k＜4)，故四边形面积最小时，k＝eq\f(1,8).能力提升11.已知△ABC的三顶点A(3，8)，B(－11，3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________.解析由两点间距离公式得|AB|＝eq\r(221)，|BC|＝eq\r(34)，|AC|＝eq\r(221).∵|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形，∴D为BC的中点，由中点坐标公式易得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,2)，\f(1,2))).∴|AD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,2)－3))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－8))\s\up12(2))＝eq\f(5\r(34),2).答案eq\f(5\r(34),2)12.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程.解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝k（x－1），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7＋k,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2)，))即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋k,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).由|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋k,k＋2)－1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,k＋2)＋1))\s\up12(2))＝5，解得k＝－eq\f(3,4)，∴