函数的概念及其表示

人教A版（2019）数学必修第一册函数的概念及其表示一、单选题1.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.

2.下表表示是的函数，则函数的值域是（

）x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345A.

[2,5]

B.

{2,3,4,5}

C.

(0,20]

D.

N3.已知函数与函数是同一个函数，则函数的定义域是（

）A.

B.

C.

D.

4.已知，则（

）A.

B.

C.

D.

5.若函数的定义域为，则函数的定义域为(

)A.

B.

C.

D.

6.已知下列四组函数：①；

②，；③，；④，．其中是同一个函数的组号是（

）.A.

①

B.

②

C.

③

D.

④7.定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为(

)A.

[2a，a＋b]

B.

[0，b－a]

C.

[a，b]

D.

[－a，a＋b]8.已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是（

）A.

有最大值，无最小值

B.

有最大值，最小值

C.

有最大值，无最小值

D.

有最大值2，最小值9.若表示不超过的最大整数,例如,那么函数的值域是（

）A.

[0,1]

B.

(0,1)

C.

[0,1)

D.

(0,1]10.若函数满足，则（

）A.

B.

C.

D.

11.函数的值域是(

)A.

B.

C.

D.

12.已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A.

B.

C.

D.

13.函数的值域是（

）A.

B.

C.

D.

14.已知，则的解析式为（

）A.

B.

C.

D.

15.下列四个函数：①y=3﹣x；②y=；③y=x2+2x﹣10；④y=．其中定义域与值域相同的函数有（

）A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个16.若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（）

A.

（0，4]

B.

C.

D.

二、填空题17.函数的定义域是________．18.已知的定义域是，则的定义域是________.19.若,则的值域是________.(请用区间表示)20.若函数的定义域为，则的取值范围为________.21.已知函数是二次函数，且满足，则=________．22.函数y=2x﹣3﹣的值域是________．23.已知函数在区间上的最大值等于8，则函数的值域为________．24.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是________．(填序号)①；②；③；④.三、解答题25.如图所示，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4）．（1）求f[f（0）]的值；（2）求函数f（x）的解析式．26.已知.（1）求：.（2）写出函数与的定义域和值域.27.设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．

答案解析部分一、单选题1.答案：D解：由已知得，解得或，故答案为：D.【分析】根据平方根的定义可知负数没有平方根，又其在分式的分母位置，得到被开方数大于0，列出关于的不等式，解二次不等式，即为函数的定义域．2.答案：B解：由题中列表表示的函数可知函数的值域为.故答案为：B.【分析】由题意结合所给函数的列表确定函数的值域即可.3.答案：A解：由有,即.又与函数是同一个函数,故函数的定义域也为故答案为：A【分析】根据根号内要大于等于0列出相应不等式求解即可.4.答案：B解：令t=x-2,则x=t+2,∴f（x）＝．故答案为：B．【分析】利用换元法求解析式即可.5.答案：C解：∵函数的定义域为，∴，解得：，即函数的定义域为，故答案为：C【分析】由已知函数的定义域，可得﹣1≤2x﹣1≤3，求解不等式得答案6.答案：D解：对于①，函数f（x）＝x+1（x∈R），与g（x）1＝x+1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数；对于②，函数f（x）＝x（x∈R），与|x|（x∈R）的对应法则不同，不是同一函数；对于③，函数f（x）＝1（x∈R），与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数；对于④，函数|x|（x∈R），与g（x）＝|x|（x∈R）的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数．综上知，是同一函数的一组序号为④．故答案为：D．【分析】分别判断每组中两个函数的定义域和对应法则是否一致即可．7.答案：C解：令，∵，则，∴函数与是同一个函数；∴的值域为故答案为：C.【分析】先令，得到函数与是同一个函数，利用函数y＝f(x)的值域为[a，b]，即可求出函数y＝f(x＋a)的值域.8.答案：A解：,故是以为对称中心,在对称点左下和右上单调递减的分式函数.故在上单调递减,所以有最大值，无最小值.即有最大值，无最小值.故答案为：A.【分析】是分式类函数,故考虑分离常数进行分析.9.答案：C解：当是整数时,显然；当是正小数时,显然是的小数部分,故；当是负小数时,显然表示的是1与小数部分的差,故,因此函数的值域是[0,1).故答案为：C【分析】根据题目中所给的定义可以分类讨论得出正确答案.10.答案：A解：因为函数满足，令得：，①令得：，②联立①②得：，故答案为：A.【分析】由函数满足，再分别令，，列方程组求解即可.11.答案：C解：，设变换得到函数在单调递增.故，即故答案为：【分析】换元，变换得到，根据函数的单调性得到函数值域.12.答案：B解：由题得，解之得且.故答案为：B【分析】解不等式即得函数的定义域.13.答案：A解：函数在为单调递减函数，当时，无最大值，所以值域为，故答案为：A．【分析】首先确定函数在上单调递减，然后可以计算最小值从而求出值域.14.答案：C解：设，则，所以，即．故答案为：C．【分析】令，解出，代入，化简即可得出答案.15.答案：C解：①y=3﹣x的定义域和值域均为R；②y=；定义域为{x∈R|x≠0}，∴值域{y∈R|y≠0}，定义域与值域相同；③y=x2+2x﹣10的定义域为R，值域为{y|y≥﹣11}，定义域与值域不相同；④y=的定义域和值域均为R．定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个．故选C．【分析】根据定义域的求法和值域的求法依次求解即可．16.答案：C解：y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+﹣=（x﹣）2﹣定义域为〔0，m〕那么在x=0时函数值最大即y最大=（0﹣）2﹣=﹣=﹣4又值域为〔﹣，﹣4〕即当x=m时，函数最小且y最小=﹣即﹣≤（m﹣）2﹣≤﹣4，0≤（m﹣）2≤，即m≥（1），又（m﹣）2≤，m﹣≥﹣3且m﹣≤，0≤m≤3（2）所以：≤m≤3故选C．【分析】先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．二、填空题17.答案：或解：由，解得x≥2，或x≤．∴函数的定义域为或．故答案为：或．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解.18.答案：解：由函数的定义域满足，据此可得：，则函数的定义域为：，求解不等式可得的定义域是.【分析】复合函数定义域求法，抓住最外面函数定义域不变的特性，即可得出答案。19.答案：解：2，故f（x），故答案为.【分析】利用分离参数法即可求解．20.答案：解：由题意得在上恒成立．①当时，则恒成立，∴符合题意；②当时，则，解得．综上可得，∴实数的取值范围为．答案：【分析】不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．21.答案：解：设二次函数已知二次函数满足即：可得：，解得则【分析】待定系数法求解析式，列方程组求出a，b，c的值，得出答案。22.答案：（﹣∞，]解：由题意：设t=（t≥0），则．那么y=2x﹣3﹣转化为：y=，整理：y=（t≥0），由二次函数图象及性质可知：函数y=图象开口向下，有最大值；单调减区间为（﹣1，+∞）；

∵t≥0，∴当t=0时，函数y=取得最大值，即；所以函数y=2x﹣3﹣的值域为（﹣∞，]．

故答案为：（﹣∞，]．

【分析】利用“换元法”转化为二次函数求值域．注意换元后的参数的取值范围．23.答案：解：二次函数的对称轴为，故，所以且，对称轴为，故所求值域为，填．【分析】首先求出函数的对称轴，根据对称轴的位置判断出函数取最大值时的自变量值求出a，进而求出函数在区间[−2,1]上的值域。24.答案：①②④解：①y=，x∈（1，2）与y=，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；②y=|x|，x∈（1，2）与y=|x|，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；③∵y=在定义域内的任意一个x值都有唯一一个y值与之对应，故不可构造同族函数；④y=x2+1，x∈（1，2）与y=x2+1，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；故答案为：①②④．【分析】理解同族函数的定义，分别判断各组函数的定义域值域。三、解答题25.答案：解：（1）f（0）=4，f（4）=2

（2）当0≤x≤2时，设f（x）=kx+b，代入（0，4）（2，0）得，∴，即f（x）=﹣2x+4当2≤x≤6时，代入（2，0）（6，4），得，∴，即f（x）=x﹣2，综上，解：【分析】（1）根据