三角函数的应用

人教A版（2019）数学必修第一册三角函数的应用一、单选题1.在一幢20m高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么塔吊的高是（

）A.

B.

C.

D.

2.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（

）A.

ω=，A=5

B.

ω=，A=5

C.

ω=，A=3

D.

ω=，A=33.如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数：，则中午12点时最接近的温度为（

）A.

B.

C.

D.

4.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜）．则下列叙述错误的是（

）A.

B.

当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6

C.

当t∈[10，25]时，函数y=f（t）单调递减

D.

当t=20时，5.动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为A0（，），12秒旋转一周，则动点A的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式为（

）A.

B.

C.

D.

6.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A.

B.

C.

D.

7.如图，某大风车的半径为2m，每6s旋转一周，它的最低点O离地面m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m），则函数h=f（t）的关系式（）A.

y=﹣2cos+

B.

y=﹣2sin+

C.

y=﹣2cos+

D.

y=﹣2sin+8.夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（）A.

25°C

B.

26°C

C.

27°C

D.

28°C9.设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y12经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（）A.

B.

C.

D.

y=12+3sin二、填空题10.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[（x﹣6）]（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为________℃．11.某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin（）+20，（x∈[6，20]），其中x表示时间，y表示温度，设温度不低于20，某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为________

小时．12.已知某人的血压满足函数关系式f（t）=24sin160πt+110，其中f（t）为血压（mmHg），t为时间（min），则此人每分钟心跳次数为________

13.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω=________．14.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃三、解答题15.某实验室白天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，.（1）求实验室白天的最大温差；（2）若要求实验室温差不高于，则在哪段时间实验室需要降温？16.如图，一个水轮的半径为,水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间。（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数；（2）点第一次到达最高点大约需要多少时间？

答案解析部分一、单选题1.答案：B解：由题意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米,再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，AD=20∴塔高为DE+CD="20+20"=20（+1)故选B

【分析】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角2.答案：D解：已知水轮每分钟旋转4圈，∴ω=又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，∴最高点为5，即A=3，故选D．【分析】根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T=求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．3.答案：B解：不妨令A＞0，B＞0，则由

得：A=10，B=20°C；又=14﹣6=8，∴T=16=，∴|ω|=，不妨取ω=．由图可知，6×+φ=2kπ﹣（k∈Z），∴φ=2kπ﹣，不妨取φ=．∴曲线的近似解析式为：y=10sin（x+）+20，∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（×12+）+20°C=10sin+20°C=20+10sin=5+20°C≈27°C．故答案为：B．【分析】根据三角函数的图象求得函数的解析式，令，即可求解答案。4.答案：C解：由题意，R==6，T=60=，∴ω=，点A（3，﹣3）代入可得﹣3=6sinφ，∵|φ|＜），∴φ=﹣．故A正确；f（t）=6sin（t﹣），当t∈[35，55]时，t﹣∈[π，]，∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；当t∈[10，25]时，t﹣∈[π，]，函数y=f（t）单调递减，不正确；当t=20时，t﹣=，P的纵坐标为6，|PA|==6，正确，故选C．【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论．5.答案：C解：设y关于t的函数：y=sin（ωt+θ）∵12秒旋转一周，∴T==12，∴ω=，∵当t=0时，点A0（，），将该点代入，得到θ=，∴y=sin（t+），故选：C【分析】首先，设y关于t的函数：y=sin（ωt+θ），根据周期求出ω，再根据过点A求出φ，问题得以解决6.答案：C解：∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），由P0（，），得cosφ=，sinφ=，解得φ=.故选：C．【分析】由秒针是顺时针旋转，每60秒转一周，求出ω，由cosφ=，sinφ=．求出φ，由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系．7.答案：C解：设h=f（t）=Asinωt+k或Acosωt+k，∵大风车每6s旋转一周，∴周期T=6，即T==6，解得ω==，排除A，B．则f（t）=Asint+k或Acost+k，∵大风车的半径为2m，它的最低点O离地面m，∴函数的最小值为，最大值为，则A+k=，﹣A+k=，解得A=2，k=，当t=0时，f（0）=为最小值，若y=﹣2cos+，则当t=0时，y=﹣2cos0+=﹣2=满足条件．若y=﹣2sin+，则当t=0时，y=﹣2sin0+=﹣0=不满足条件．排除D，故选：C【分析】根据实际问题建立三角函数模型，求出函数的周期和最值分别进行判断即可．8.答案：C解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20∵，∴T=16∵T=，∴，∴y=10sin（x+φ）+20∵图象经过点（14，30）∴30=10sin（×14+φ）+20∴sin（×14+φ）=1，∴φ可以取，∴y=10sin（x+）+20当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈故选C．【分析】通过函数的图象，求出A，B，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（14，30）求出φ，得到函数的解析式，从而可求中午12时天气的温度．9.答案：C解：由于y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，根据港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系，可得函数的周期T=12可排除A、D，将（3，15）代入B，C，可排除B，则C满足．故选C【分析】通过排除法进行求解，由y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin（ωx+φ）中，根据周期和函数值排除，即可求出答案．二、填空题10.答案：解：据题意得28=a+A，

=a﹣A

解得a=23，A=5

所以

令x=10得y=

=

故答案为：

【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值．11.答案：8解：由题意，10sin（）+20≥20

∴sin（）≥0

∴2kπ≤≤2kπ+π，∴16k﹣6≤x≤16k+2，

∵x∈[6，20]，∴10≤x≤18

∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时

故答案为：8

【分析】利用温度不低于20，建立不等式，结合x的范围，即可得到此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间．12.答案：80解：∵f（t）=24sin160πt+110，

∴T=，

∴此人每分钟心跳次数为=80

故答案为：80．

【分析】频率就是每分钟心跳的次数．13.答案：解：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+）+60，因为sin（ωπt+）≤1，所以A=20，

当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+）=﹣1，

此时150ωπ+=2kπ﹣，k∈Z，

因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+=2π﹣，解得ω=．

故答案为：．

【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．14.答案：16解：据题意得28=a+A，=a﹣A

解得a=20，A=8

所以

令x=10得y==16

故答案为：16

【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值．三、解答题15.答案：（1）解:已知，因为，所以，，所以在上取得最大值为12，取得最小值为9，故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为（2）解:依题意当时，实验室需要降温，即，，∴，，∴，，又∵，∴，即在10时到18时实验室需要降温【分析】（