《从力做的功到向量的数量积》设计

《从力做的功到向量的数量积》教学设计一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点:运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）sF思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？1.力做的功：W=|F|•|s|cos是F与s的夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b=|a||b|cos，=0=180=0=180OOOOOOAAAAAABBBBBBC3.向量夹角的概念：范围0≤≤180[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。②两个向量的数量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。③在实数中，若a0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a•b=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0.这就得性质2.OaOaAcb④已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是a•b=b•ca=c如右图：a•b=|a||b|cos=|b||OA|b•c=|b||c|cos=|b||OA|a•b=b•c但ac⑤在实数中，有(a•b)c=a(b•c)，但是(a•b)ca(b•c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.[展示投影]思考与交流：思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.AAOOBOB1OabAOOBOB1OabAOOBO(B1)Oab定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的射影。注意：①射影也是一个数量，不是向量。②当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当=0时射影为|b|；当=180时射影为|b|.思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.几何意义：数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。①e•a=a•e=|a|cos②aba•b=0③当a与b同向时，a•b=|a||b|；当a与b反向时，a•b=|a||b|。特别的a•a=|a|2或④cos=（|a||b|≠0）⑤|ab|≤|a||b|【巩固深化，发展思维】判断下列各题正确与否：①若a=0，则对任一向量b，有a•b=0.(√)②若a0，则对任一非零向量b，有a•b0.(×)③若a0，a•b=0，则b=0.(×)④若a•b=0，则a、b至少有一个为零.(×)⑤若a0，a•b=a•c，则b=c.(×)⑥若a•b=a•c，则b=c当且仅当a0时成立.(×)⑦对任意向量a、b、c，有(a•b)•ca•(b•c).(×)⑧对任意向量a，有a2=|a|2.(√)[展示投影]思考与交流：思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）1.交换律：a•b=b•a证：设a，b夹角为，则a•b=|a||b|cos，b•a=|b||a|cos∴a•b=b•a2.数乘结合律：(a)•b=(a•b)=a•(b)证：若=0，此式显然成立.若>0，(a)•b=|a||b|cos，(a•b)=|a||b|cos，a•(b)=|a||b|cos，所以(a)•b=(a•b)=a•(b).若<0，(a)•b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(a•b)=|a||b|cos，a•(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos。所以(a)•b=(a•b)=a•(b).综上可知(a)•b=(a•b)=a•(b)成立.12abABOA1B1Cc3.分配律：(a+b)•c=a•c+b•c证：在平面内取一点O，作=a,=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即：|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2∴c•(a+b)=c•a+c•b即：(a+b)•c=a•c+b•c.[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.已知：解：（1）（2）例2.已知都是非零向量，且垂直，垂直，求的夹角。解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16a•b15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230a•b+8b2=0②两式相减：2ab=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为，CCABDab则cos=∴=60例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设==a,==b∵ABCD为菱形∴|a|=|b|∴•=(b+a)(ba)=