《统计与概率的应用》设计

5.4统计与概率的应用【教学目标】1.通过实例进一步理解概率的意义及应用．2．能用概率的知识解决实际生活中的问题．【教学重点】通过实例进一步理解概率的意义及应用【教学难点】能用概率的知识解决实际生活中的问题．【课时安排】1课时【教学过程】新知初探1．生活中的概率概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以利用概率知识做出合理的判断与决策．2．概率的应用概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生．小试牛刀1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有()A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定D[随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．]2.今天北京降雨的概率是80%，上海降雨的概率是20%，下列说法不正确的是()A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B.上海今天可能降雨，而北京可能不降雨C.北京和上海都可能不降雨D.北京降雨的可能性比上海大解析：北京降雨的概率大于上海降雨的概率，说明北京降雨的可能性比上海大，两个城市都可能降雨，也可能不降雨，但不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨．答案：A3.某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取，某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是解析：只考虑最后一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)4．鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．eq\f(nM,m)[由题意得eq\f(n,N)≈eq\f(m,M)，∴N≈eq\f(nM,m).]例题讲解游戏的公平性例1.一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片打乱顺序后，由乙随机抽出一张卡片放在桌上，然后卡片朝下的面的颜色觉得胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色是绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的买诺要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.解：（方法一）把卡片六个面的颜色记为：其中，G表示绿色，B表示蓝色；是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.游戏的所有结果可以用下图表示：不难看出，样本空间共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为，因此这个游戏不公平.（方法二）把三张卡片分别记为：，其中G表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片.考虑乙抽取到的卡片只有三种可能，而且只有抽到M乙才能赢，所以乙赢得概率为，因此这个游戏不公平.方法总结游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．当堂练习1如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？【解析】列表如下：BA3456145672567836789由表可知，可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因此，甲获胜的概率为eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，乙获胜的概率为eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平.概率的意义例2.某厂家声称子集得产品合格率为95%，市场质量管理人员抽取了这个厂家的3件产品进行检验，发现3件都不合格，厂家声称的合格率可信吗？解：如果产品的合格率为95%，则随机抽取一件产品，不合格的概率应为1-95%=5%.此时，随机抽取3件，都不合格的概率为：也就是说，如果厂家所声称的合格率可信，那么就发生了一件可能性只有0.0125%的事！但是一件概率只有0.0125%的事情是不大可能发生的，因此有理由相信，厂家所声称的合格率是不可信的.方法总结利用概率的稳定性解题的三个关注点(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．当堂练习2新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)；(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？【解析】(1)2014年男婴出生的频率为eq\f(115.88,100＋115.88)≈0.537，2015年男婴出生的频率为eq\f(113.51,100＋113.51)≈0.532.由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537,2015年男婴出生率约为0.532.(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.总体概率的估计例3人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是卷舌的(这就是说，“卷舌”的充要条件是“基因对是DD，dD或Dd”)．同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B(显性基因)和b(隐性基因)．有一对夫妻，两人决定舌头形态和眼皮单双的基因都是DdBb，不考虑基因突变，求他们的孩子是卷舌且单眼皮的概率．(生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．)【解析】方法一根据题意，这对夫妻孩子的决定舌头形态和眼皮单双的基因的所有可能可以用图表示．不难看出，样本空间中共包含16个样本点，其中表示卷舌且单眼皮的是DDbb，Ddbb，dDbb，因此，所求概率为eq\f(3,16).方法二先考虑孩子是卷舌的概率．所有的情况可用右图表示，由图可以看出，孩子是卷舌的概率为eq\f(3,4).同理，孩子是双眼皮的概率为eq\f(3,4)，因此是单眼皮的概率为1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).由于不同性状的基因遗传时互不干扰，也就是说是否为卷舌与是否为单眼皮相互独立，因此是卷舌且单眼皮的概率为eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16).方法总结1．取出元素无序的试验可采用字典排列法列举基本事件．2．先将元素表示出来，如例1用“1,2,3,4,5”表示5个球，列举时，先写出含元素“1”的，写完后除去1，再写出含元素“2”的，依次进行，即3．解决“5个元素任取4个”时，可利用“5取4剩1”来解决，如例1中若一次摸出4个球，则根据剩下的1个，列举出基本事件．{1}→{2,3,4,5}等．当堂练习3某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间，从该社区退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外活动时间(单位：时)，活动时间按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a的值；(2)估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数；(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一个组的概率．解析：(1)由频率分布直方图，可知平均户外活动时间在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，平均户外活动时间在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a，解得a＝0.30.(2)设中位数为m时．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，所以2≤m<2.5.所以0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为2.06时．(3)由题意得平均户外活动时间在[1,1.5)，[1.5,2)内的人数分别为15,20，按分层抽样的方法在[1,1.5)，[1.5,2)内分别抽取3人、4人，从7人中随机抽取2人，共有Ceq\o\al(2,7)＝21种方法，抽取的两人恰好都在同一个组有Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)＝9种方法，故