《数乘向量》设计

数乘向量【教学目标】1.掌握实数与向量的积的定义；2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；【教学重点】实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件；【教学难点】理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。【课时安排】1课时【教学过程】新知初探1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.当λ＝0时，λa＝0.⑵若均为实数,则思考1：引入向量数乘运算后，你能发现实数λ与向量a的积与原向量a是否共线？提示：共线2．向量共线的条件向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使.思考2：向量共线的条件中为何要加上条件a≠0？提示：若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝.小试牛刀1.已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝()A．4e2B．4e1C．3e1＋6e2D．8e22.在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up15(→))，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形C【解析】得则四边形ABCD为梯形.3.设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________．①a与－λa的方向相反；②|－λa|≥|a|；③a与λ2a方向相同；④|－2λa|＝2|λ|·|a|.③④【解析】由向量数乘的几何意义知③④正确．已知为非零不共线向量，向量与共线，则C【解析】向量与共线，存在实数，使得，即又为非零不共线向量，，解得：，例题讲授向量线性运算用已知向量表示未知向量【例1】如图，四边形OADB是以向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b为邻边的平行四边形，对角线交于点C，又eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(CN,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up15(→))，试用向量a，b表示eq\o(OM,\s\up15(→))，eq\o(ON,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).[解]∵eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－b，∴eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\f(1,6)(a－b)，∴eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→))＝b＋eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(CN,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up15(→))，∴eq\o(ON,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(CN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up15(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.∴eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(ON,\s\up15(→))－eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(2,3)b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a＋\f(5,6)b))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.方法总结用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．当堂练习1如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq\o(BC,\s\up15(→))＝a，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b，试用a，b分别表示eq\o(DE,\s\up15(→))，eq\o(CE,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).解：由三角形中位线定理，知DE平行且等于eq\f(1,2)BC，故eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，即eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DE,\s\up15(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(MD,\s\up15(→))＋eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ED,\s\up15(→))＋eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a－b.向量共线定理例2已知eq\o(AB,\s\up12(→))＝－e，eq\o(AC,\s\up12(→))＝5e，判断A，B，C三点是否共线．如果共线，求出AB:AC.【解析】由已知可得eq\o(AC,\s\up12(→))＝－5eq\o(AB,\s\up12(→))，因此A，B，C三点共线，且AC＝5AB，即AB：AC＝1：5.方法总结向量共线定理的应用(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(AC,\s\up12(→))，则eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(AC,\s\up12(→))共线，又eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(AC,\s\up12(→))有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．当堂练习2(1)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于()A.－9B．－4C．4D．9解析：(1)由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.由于e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6m＋3＝0，,2－mλ＝0，))所以λ＝－4.答案：(1)B(2)设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝a－kb，eq\o(CB,\s\up12(→))＝2a＋b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()B．－10C．2D．－2解析：(2)因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(BD,\s\up12(→))＝