【优化方案】高考数学总复习 第2章§2.1映射、函数及反函数精品课件 大纲人教

§2.1映射、函数及反函数

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考2.1映射、函数及反函数双基研习·面对高考双基研习·面对高考1．映射(1)定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有_____的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的_____，记作f：A→B.基础梳理唯一映射(2)象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的___，元素a叫做元素b的_____．2．函数(1)函数的定义设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个数x，在集合B中都有_____确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A，x的取值集合A叫做函数的______，函数值的集合{f(x)|x∈A}，叫做函数的_____．象原象任意唯一定义域值域(2)函数的三要素______、_____和对应法则．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：______、解析法、______．定义域值域列表法图象法3．反函数的定义设式子y＝f(x)表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子_______，如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x＝φ(y)就表示x是y的函数，这样的函数，叫做函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f－1(y)，即x＝φ(y)＝f－1(y)，一般对调x＝f－1(y)中的字母x，y把它改写成________．x＝φ(y)y＝f－1(x)4．反函数四个引申性质原函数反函数原象与象的唯一互对性f(a)＝b⇔_________f－1(b)＝aCA单调相同思考感悟1．映射f：A→B与映射f：B→A是同一个映射吗？提示：不一定．映射f：A→B必须满足：(1)A中元素无剩余，且A中任何元素必须有象且唯一；(2)B中元素可以有剩余，即B中元素不一定有原象；(3)若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则可构成映射f：A→B有nm个，映射f：B→A有mn个．2．映射与函数有什么区别？提示：映射不一定是函数，但函数一定是某一个映射；映射的两个集合可以是任意非空集合，函数的集合一定是非空数集．1．在映射f：A→B中，下列判断断正确的是()A．A中的元素a的象可能不只只一个B．A中的两个元素素a1和a2的象必不同C．B中的元素b的原象可能不不只一个D．B中的两个不同同元素b1和b2的原象可能相相同答案：C课前热身答案：D答案：D答案：(0,2)考点探究·挑战高考考点一映射的概念映射是一种特特殊的对应，，判断对应是是否为映射，，关键有两点点：一是A中元素必须都都有象且唯一一，二是B中元素不一定定有原象，且且A中不同的元素素在B中可以有相同同的象．一般般地，“一对一”“多对一”的对应关系可可构成映射，，“一对多”不是映射．设A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,7,15,31,33}，下列的对应应法则f能构成从A到B的映射的是()A．f：x→x2＋x＋1B．f：x→x＋(x－1)2C．f：x→2x－1－1D．f：x→2x－1【思路分析】根据映射定义义，对于集合合A中的任何元素素，按照对应应法则f，在集合B中是否有唯一一的元素与它它对应．例1【解析】∵当x＝4时，x2＋x＋1＝21∉B；当x＝4时，x＋(x－1)2＝13∉B；当x＝1时，2x－1－1＝20－1＝0∉B，∴A、B、C都不构成从A到B的映射．对于D，经验证，x＝1,2,3,4,5时2x－1的值分别为1,3,7,15,31.又映射并不要要求B中的任何元素素都有原象，，∴应选D.【领悟归纳】判断从A到B的映射，务必必用A中的任何元素素在B中找对应的象象，切不可颠颠倒．此类问题有时时是单独的一一个小题，有有时作为解答答题的某一过过程．但考查查的都是常见见函数的通法法，待定系数数法、换元法法、消元法等等．如果已知知函数解析式式的类型，可可用待定系数数法；已知复复合函数的表表达式时，可可用换元法，，这时要注意意“元”的范围；当已已知表达式比比较简单时，，也可以用配配方法；若已已知抽象的函函数表达式，，则常用解方方程组，消元元的方法求出出解析式．考点二求函数解析式例2【思路分析】①可用配凑法法，②可用换换元法，③可可用方程组法法．求反函数解析析式的三步曲曲：“一解”、“二换”、“三定义”．所谓一解，，即首先由给给出的原函数数的解析式y＝f(x)，反解出用y表示x的式子x＝f－1(y)；二换，即将将x＝f－1(y)中的x，y两个字母互换换，得到y＝f－1(x)即为所求的反反函数(即先解后换)；三定义，即即求出反函数数的定义域(即原函数的值值域)．参考本节教教材例1及复习参考题题B组7题．考点三求反函数解析式例3【思路分析】求原函数值域域→反解x→交换x、y→得反函数．【领悟归纳】本题求反函数数的过程中，，要注意开方方时，是取“正”还是取“负”．这种问题没有有给出具体的的函数解析式式，只是借用用抽象的函数数意义，来转转化其中的变变量关系，往往往结合恒等等式或不等式式转化为自变变量的关系．．考点四抽象函数问题例4【思路探究】(1)令x＝y＝1再求解可得．．(2)中赋值时注意意应用(1)的结论．(3)用定义法确定定f(x)的单调性，从从而转化为关关于x的不等式求解解．【思维升华】本题是抽象函函数问题，尽尽管题中没有有给出具体的的解析式，但但我们仍可以以通过不断地地赋值去探索索其特殊自变变量的函数值值．常用的赋赋值有：x＝y＝0；x＝y＝1；x＝0，y＝1；x＝y；y＝－－x；….当然然具具体体在在实实际际操操作作时时的的赋赋值值还还要要根根据据题题设设的的条条件件进进一一步步确确定定取取值值情情况况．．方法法技技巧巧1．若若两两个个函函数数的的对对应应关关系系一一致致，，并并且且定定义义域域相相同同，，则则两两个个函函数数为为同同一一函函数数．．如如课课前前热热身身2.2．函函数数的的三三种种表表示示方方法法：：列列表表法法、、图图象象法法和和解解析析法法，，三三者者之之间间是是可可以以互互相相转转化化的的；；求求函函数数解解析析式式比比较较常常见见的的方方法法有有代代入入法法、、换换元元法法、、待待定定系系数数法法和和解解函函数数方方程程等等，，特特别别要要注注意意将将实实际际问问题题化化归归为为函函数数问问题题，，通通过过设设自自变变量量，，写写出出函函数数的的解解析析式式并并明明确确定定义义域域，，还还应应注注意意使使用用待待定定系系数数法法时时函函数数解解析析式式的的设设法法．．如如例例2.方法感悟3．分分段段函函数数的的反反函函数数仍仍是是分分段段函函数数，，要要分分段段来来求求，，一一般般地地是是把把各各分分段段上上的的函函数数看看作作独独立立函函数数，，分分别别求求出出它它们们的的反反函函数数，，然然后后再再拼拼合合到到一一起起，，求求得得的的反反函函数数一一定定要要标标明明其其定定义义域域．．如如例例3的(3)．失误误防防范范1．映映射射是是一一种种特特殊殊的的集集合合之之间间的的对对应应关关系系．．只只能能是是一一对对一一，，多多对对一一，，绝绝不不是是一一对对多多．．2．用换换元法法求函函数解解析式式时，，一定定要注注明新新“元”的范围围，(如例2的(1)、(2))．考向瞭望·把脉高考高考中中主要要考查查映射射与函函数的的基本本概念念，例例如求求象、、原象象以及及映射射的个个数等等，映映射的的内容容可与与其它它知识识点结结合．．在高考考中常常以函函数作作为背背景，，结合合不等等式、、方程程、数数列等等知识识，考考查学学生处处理综综合问问题的的能力力．往往往以以综合合题形形式出出现．．考情分析分段函函数在在高考考命题题上以以考查查基本本概念念与基基本计计算为为主，，题型型主要要是选选择题题和填填空题题，也也有的的把定定义一一种新新运算算作为为考查查的目目的．．在2010年的高高考中中，大大多数数省市市的高高考题题是与与具体体函数数的性性质结结合起起来考考查，，陕西西文13题对分分段函函数及及函数数符号号(f(0))的意义义进行行考查查．从近两两年的的高考考试题题来看看，对对反函函数的的考查查主要要是认认识反反函数数的定定义，，会求求反函函数．．能用用互为为反函函数的的图象象的对对称关关系解解决问问题．．以选选择题题、填填空题题为主主，考考查基基本知知识，，基本本技能能，解解答题题很少少涉及及．在在2010年高考考中，，只有有四川川考题题的22题，求求反函函数仅仅作为为一小小问．．预测2012年的高高考中中，以以分段段函数数求函函数值值，求求具体体函数数的反反函数数，结结合函函数的的奇偶偶性，，极值值等求求函数数解析析式为为主来来考查查．命题探源例【答案】D【探究溯溯源】此题与与人教教版(必修)第一册册(上)复习参参考题题二的的第15题中的的求反反函数数有相相似的的一面面，通通过指指数函函数与与对数数函数数之间间的关关系及及运算算求反反函数数，考考查反反函数数的求求法及及其定定义域域与值值域之之间的的关系系．本题难难度适适中，，易错错的地地方是是在变变形过过程中中“＋”与“－”的变化化．名师预测2．若定定义在在[－2010,2010]上的函函数f(x)满足：：对于于任意意x1，x2∈[－2010,2010]有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2009，且x>0时，有有f(x)>2009，f(x)的最大大值、、最小小值分分别为为M，N，则M＋N的值为为()A．2009B．2010C．4018D．4020解析：：选C.令x1＝x2＝0，则f(0)＝2009，又令令x1＝x，x2＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)－2