等式性质与不等式性质同步练习（含答案）2

课时2不等式的性质1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若a>b，则ac2>bc2.(×)(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(×)(3)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(√)(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(×)题型1利用不等式的性质判断命题的真假2．设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(C)A．a－c>b－d B．ac>bdC．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c解析：因为b<a，d<c，所以b＋d<a＋c.3．已知x<a<0，则一定成立的不等式是(B)A．x2<a2<0 B．x2>ax>a2C．x2<ax<0 D．x2>a2>ax解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.4．设a，b，c∈R，且a>b，则(D)A．ac>bc B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a2>b2 D．a3>b3解析：A选项中若c小于等于0则不成立；B选项中若a为正数b为负数则不成立；C选项中若|a|<|b|则不成立，故选D.题型2利用不等式性质进行证明5．欲证eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需证(C)A．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2解析：因为eq\r(2)＋eq\r(7)>0，eq\r(3)＋eq\r(6)>0，所以eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)⇔eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)⇔(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2.6．设a>b>c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.证明：因为a>b>c，所以a－c>a－b>0.所以eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a－c)>0.所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,c－a)>0.又b－c>0，所以eq\f(1,b－c)>0.所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.题型3利用不等式的性质求范围问题7．已知12<a<60,15<b<36，求a－b与eq\f(a,b)的取值范围．解：因为15<b<36，所以－36<－b<－15，所以12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.因为15<b<36，所以eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，所以eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.8．设y＝ax2＋bx，且当x＝－1时1≤y1≤2；当x＝1时，2≤y2≤4，求当x＝－2时，y3的取值范围．解：因为当x＝－1时，y1＝a－b，所以1≤a－b≤2；当x＝1时，y2＝a＋b，所以2≤a＋b≤4.又当x＝－2时，y3＝4a－2b，令4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,－m＋n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))所以y3＝3(a－b)＋(a＋b)．又因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，所以5≤y3≤10.易错点1忽略不等式性质成立的条件9．给出下列命题：①若a<b，c<0，则eq\f(c,a)<eq\f(c,b)；②若ac－3>bc－3，则a>b；③若a>b且k∈N＋，则ak>bk；④若c>a>b>0，则eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).其中正确命题的序号是__④__.解析：①令a＝－1，b＝1，则eq\f(c,a)＝－c>eq\f(c,b)＝c，故①错误；②当c<0时，c－3<0，由ac－3>bc－3可得a<b，故②错误；③当a＝1，b＝－2，k＝2时，则ak＝1<bk＝4，故③错误；④c>a>b>0⇒0<c－a<c－b，上式两边同乘eq\f(1,c－ac－b)，得0<eq\f(1,c－b)<eq\f(1,c－a)，又a>b>0，所以eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)，故④正确．[误区警示]在使用不等式性质时若忽略其成立的条件则可能得出错误的结果，如①中易由a<b推出eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，从而判断①是正确的；③中易忽略a与b的符号(误认为同为正)，从而推出ak>bk.应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”．还要特别注意“乘负反序”“同号取倒反序”的情况．易错点2扩大取值范围致错10．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋λ2＝1，,λ1－2λ2＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(5,3)，,λ2＝－\f(2,3).))又－eq\f(5,3)≤eq\f(5,3)(a＋b)≤eq\f(5,3)，－2≤－eq\f(2,3)(a－2b)≤－eq\f(2,3)，所以－eq\f(11,3)≤a＋3b≤1.[误区警示]利用不等式求某个代数式(特别是涉及两个或两个以上未知量的代数式)的取值范围时，往往需要利用不等式的性质“同向可加性”，但这一性质并不具有可逆性，多次使用就可能扩大取值范围(所推得的不等关系仍然成立，但并不是真正的取值范围)．求范围时，尽量避免多次使用不具有可逆性的条件，要使用整体代换的思想解决问题．(限时30分钟)一、选择题1．设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是(B)A．ac>bd B．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．ac2<bd2解析：a>b>0，c<d<0，即为－c>－d>0，即有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A错；由cd>0，又ac<bd<0，两边同乘eq\f(1,cd)，可得eq\f(a,d)<eq\f(b,c)，则B对，C错；由－c>－d>0，－ac>－bd>0，可得ac2>bd2，则D错．故选B.2．已知a，b，m是正实数，则不等式eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a)成立的条件是(B)A．a<b B．a>bC．与m有关 D．恒成立解析：eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(b,a)＝eq\f(ma－b,aa＋m)，而a>0，m>0且eq\f(ma－b,aa＋m)>0，所以a－b>0，即a>b.3．(多选题)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，下面四个不等式不正确的是(AB)A．|a|>|b| B．a<bC．a＋b<ab D．a3>b3解析：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确．4．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(D)A．a－b>0 B．a3＋b3>0C．a2－b2<0 D．a＋b<0解析：本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.5．设a<b<0，则下列不等式中不正确的是(B)A．eq\f(2,a)>eq\f(2,b) B．ac<bcC．|a|>－b D．eq\r(－a)>eq\r(－b)解析：a<b<0，则eq\f(2,a)>eq\f(2,b)，选项A正确；当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确；|a|＝－a>－b，则选项C正确；由－a>－b>0，可得eq\r(－a)>eq\r(－b)，则选项D正确，故选B.6．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(D)A．a>eq\f(a,b)<eq\f(a,b2) B．eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC．eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2) D．eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a解析：由题意知eq\f(a,b)>0，b2>1，则eq\f(a,b2)>a，且eq\f(a,b2)<0，所以eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a.7．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是(C)A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4解析：因为－4<b<2，所以0≤|b|<4，所以－4<－|b|≤0.又因为1<a<3，所以－3<a－|b|<3.8．(多选题)若x>1>y，则下列不等式成立的是(BCD)A．x－1>1－y B．x－1>y－1C．x－y>1－y D．1－x>y－x解析：因为x>1>y，所以x＋(－1)>y＋(－1)，即B正确；x＋(－y)>1＋(－y)，即C正确；1＋(－x)>y＋(－x)，即D正确．9．a>b>c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是(B)A．ac>bc B．ab>acC．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2解析：因为a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a>0，c<0，所以A不正确；对于B，ab>ac⇔a(b－c)>0，又b－c>0，a>0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确；若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2>b2且b2<c2，故D不正确．二、填空题10．若a>b>0，则a＋eq\f(1,b)__>__b＋eq\f(1,a)(用“<”“>”“＝”填空)．解析：因为a>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，所以a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a).11．若a<b<0，则eq\f(1,a－b)与eq\f(1,a)的大小关系是eq\f(1,a－b)<eq\f(1,a).解析：eq\f(1,a－b)－eq\f(1,a)＝eq\f(a－a－b,a－ba)＝eq\f(b,a－ba).因为a<b<0，所以a－b<0，则eq\f(b,a－ba)<0，所以eq\f(1,a－b)<eq\f(1,a).12．三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，则eq\f(b,a)的取值范围是eq\f(2,3)≤eq\f(b,a)≤eq\f(3,2).解析：两个不等式同时除以a，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤\f(b,a)＋\f(c,a)≤2，①,\f(b,a)≤1＋\f(c,a)≤2·\f(b,a)，②))将②×(－1)得－2·eq\f(b,a)≤－1－eq\f(c,a)≤－eq\f(b,a)，③①＋③，得1－eq\f(2b,a)≤eq\f(b,a)－1≤2－eq\f(b,a)，解得eq\f(2,3)≤eq\f(b,a)≤eq\f(3,2).三、解答题13．(1)已知a>b>0,0>c>d，求证：ad<bc；(2)a<b<0，求证：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(3)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求证：ab>0.证明：(1)因为a>b，c<0，所以ac<bc.因为c>d，a>0，所以ac>ad，所以ad<bc.(2)eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab).因为a<b<0，所以b＋a<0，b－a>0，ab>0，所以eq\f(b＋ab－a,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(3)因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，所以b－a<0，所以ab>0.14．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，求eq\f(c,a)的取值范围．解：由已知及三