人教版九年级数学上册思维特训(十六)三角形的边长、面积与其内切圆半径之间的关系

第第页/共5页匚AO匚AO是必BC的，内切圆,D,自下商点2sr=T思维特训（十六）三角形的边长、面积与其内切圆半径之间的关系方法点津•基本图形与结论:设S为"BC的面积，l为AABC的周长，r为AABC内切圆4O的半径.1八AF=]l—BC1DB='l—AC1CD=,l—AB解题原理：切线长定理，内心到各边的距离相等.解题策略：连接圆心与三角形各顶点或连接圆心与切点， 利用相关性质及等面积法建立等量关系求解.典题精练•.阅读材料：如图16—1△,在面积为S的4ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,内切圆AO的半径为r,连接OA,OB,OC,△ABC被划分为三个小三角形.S=Saobc+Saoac+Saoab1 1=2BCr+2ACr+2ABr111=2ar+gbr+2cr1=2（a+b+c）r,

.•」=2sa+b+c(1)理解与应用：利用公式计算边长分别为 5,12,13的三角形内切圆半径；(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)如图△,且面积为S,各边长分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式；(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S,各边长分别为ai,a2,a3,…，an,合理猜想其内切圆半径公式 (不需说明理由).图16—1.如图16—2,AABC的内切圆△。与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=11cm,BC=16cm,CA=15cm,求AF,BD,CE的长.图16-2.如图16—3,在ABC中，/C=90°,它的内切圆△。分别与边AB,BC,CA相切于点D,E,F,且BD=12,AD=8,求AO的半径r.图16-3.如图16—4,4ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,。。是那BC的内切圆，求△O的半径.图16-4.如图16—54,在Rt^ABC中，/C=90°,AB,BC,AC的长分别是c,a,b.根据a+b—c切线长定理”，我们易得AABC的内切圆半径r=一2一；如图△，当圆心O在Rt^ABC外，且△。与RtAABC三边均相切时，求半径r.图16-5.“三角形的三条角平分线交于一点 "，这点I叫做3BC的内心，显然内心I到三角形三边的距离相等，这个距离叫做三角形的 内切圆半径”，记作r,下面我们来讨论r的求法.图16-6(1)如图16—64,已知ABC的三边长AB=c,AC=b,BC=a,面积为S,则S=Saiab+Saibc+Saiac=,r=(用含a,b,c,S的代数式表示)；ab(2)特别地，在RtAABC中，ZACB=90,如图△,(1)中的结论仍然成立，而S="2,

故「=（用含a,b,c的代数式表示），记作△式；另外，容易证明四边形IPCQ为正方形，即CP=CQ=r,所以可以得到r的另一种表达方式r=（用含a,b,c的代数式表示），记作△式.由上述△式、△式相等，请继续推导直角三角形中 a,b,c的关系.典题讲评与答案详析“ , 2X30.解：（1）以5,12,13为边长的三角形为直角三角形，易求得 r=————-=2.5+12+13（2）如图，连接OA,OB,OC,OD,并设内切圆半径为r.可得11111可得S四边形abcd=Saoab+Saobc+Saocd+SAODAM^ar+ibr+gcr+]dr=g(a+b+c+d)r.2Sra+b+c+d2Sra+b+c+d.2S(3)猜想：r=工工]上.a1+a2+a3+•..+an.解：BC的内切圆AO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,，AF=AE,BF=BD,CD=CE..・AF+AE+BF+BD+CD+CE=AB+BC+CA,••-2AF+2BD+2CD=AB+BC+CA,1AF=1AB+BC+CA)-BC=2X(1116+15)-16=5(cm).BD=BF=AB-AF=11-5=6(cm),CE=CD=CA-AE=15-5=10(cm).综上可得，AF=5cm,BD=6cm,CE=10cm..解：如图，连接OE,OF.•・。0分别与边AB,BC,CA相切于点D,E,F,z.OE±BC,OFXAC,AF=AD=8,BE=BD=12, OEC=AOFC=90°.又△3=90。，.•.四边形OECF是矩形.又△OEnOF,••・四边形OECF是正方形，.-，CE=CF=r, AC=AF+CF=8+r,BC=BE+CE=12+r,AB=AD+BD=8+12=20.在RtAABC中，AB2=BC2+AC2,即202=(12+r)2+(8+r)2,整理，得r2+20r-96=0,解得n=4,r2=—24(舍去)..'.OO的半径r为4..解：如图，设△。与4ABC各边的切点分别是D,E,F,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF.O是4ABC的内切圆，•••ODXBC,OEXAB,OFXAC.XAOE=OF,AOWABAC.而AB=AC,AOXBC,.1.AO,OD互相重合，即ADABC.•••AB=AC,C1•.BD=CD=~BC=5.由勾股定理，得AD2=^AB2-BD2=^132-52=12.1 1设△。的半径为r,则Saabc=-(AB+AC+BC)r,又Saabc=-BCAD,1 1 10.S(13+13+10)r=jx10X 得r=~,10即△。的半径为Ycm.o5.解：如图，设AO与&\BC的边或边的延长线的三个切点分别是 D,E,F,连接OE,

OF,则OEABC,OFLAC,即^OEC=△OFC=90・./ECF=AACB=90°,••・四边形CFOE是矩形.又△OF=OE,.•・四边形CFOE是正方形,.•.OF=OE=CE=CF=r,BD=BE=BC—CE=a—r.由切线长定理，得AD=AF,c+a—b即c+(a—r)=b+r,解得r= 2—〃 16.〃 16.解：(1)2(a+b+c)r2s

abcaba+b—c(2)a