概率论复习课件

一、概率论复习二、数理统计课程安排数理统计6：周二5-6思贤楼1003周四1-2思贤楼1003数理统计8：周二3-4思贤楼1003周五1-2思贤楼1003教学安排：教材：数理统计赵选民等科学出版社

参考书:1、应用概率统计（工程硕士）陈魁清华大学出版社3、“应用数理统计”吴群英等天津大学出版社共60学时2、“数理统计”汪荣鑫西安交通大学出版社内容与学时概率论的基本概念随机变（向）量及其分布随机变量函数的分布数字特征及其特征函数大数定理及中心极限定理概率论10学时第一章概率论知识第一章统计量与抽样分布10学时第二章参数估计10学时第三章统计决策与贝叶斯估计8学时合计：60学时数理统计总复习2学时第四章假设检验8学时第五章方差分析6学时第六章回归分析6学时第一章概率论补充知识1.概率空间2.随机变（向）量及其分布3.随机变量的独立性4.随机变量函数的分布5.数字特征与特征函数6.多元正态分布极其性质7.极限定理第一节概率空间一、样本空间与事件域例如在几何概型中就不能把不可度量的子集作为事件。定义1设

是样本空间，F是由的一些子集构成的集类，如果满足下列条件：因此我们可以理解，事件是中满足某些条件的子集。为此下面介绍事件域的概念。事件是样本空间的一个子集，反之未必成立。一般对满足上述条件的集类称为代数或域，所以事件域是一个代数。则称F为事件域，F中的元素称为事件，称为必然事件。则称F为事件域，F中的元素称为事件，称为必然事件。一般对满足上述条件的集类称为代数 -域，所以事件域是一个-域。它具有下列性质：注意：在古典概型中，事件域F可以是的一

切子集的全体。在几何概型中，就不能把不可度

量的子集作为事件。不可测集不能作为事件。二、概率的定义及性质定义2(可列可加性)设是给定的样本空间，个事件域，是定义在F上一个实值集函数,如果它满足条件：F是中的一则有（非负性）（规范性）则称P(A)是事件A的概率（简称为概率）.描述一个随机实验的三个基本组成部分：事件域F概率P概率空间设是概率空间，概率P有如下性质：则这个结论可推广为：定义

性质为在事件

发生的条件下,事件2）3)设互不相容，

B发生的条件概率.设是两个随机事件,且则称1)对于任一事件,4)三、条件概率与事件的独立性1、条件概率得推广（1）乘法公式由(2)全概率公式定理

为的一个划分,设随机试验

的样本空间为为

的任意一事件,理论和实用意义：在较复杂情况下直接计算P(A)不易，但A总是伴随着某些出现，适当地去构造这一组往往可以使问题简化。1-9120（3）贝叶斯公式引例2311红4白?任取一箱子，再从中任取一球,发现是红球，求该球取自一号箱的概率.解设=“球取自号箱”=“取得红球”求

运用全概率公式计算已知“结果”求“原因”

贝叶斯公式贝叶斯公式则为的一个划分,设随机试验

的样本空间为,它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率。2事件的相互独立性1）掷一颗均匀的骰子两次,可知2）掷甲乙两枚骰子,可知

={甲掷出偶数点}

={乙掷出偶数点}={第一次掷出6点}={第二次掷出6点}

一般地定义例1

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，解

设

是两个事件,如果如下等式成立则称事件

相互独立。记

={抽到

},={抽到的牌是黑色的}问事件A,B是否相互独立？即事件A,B相互独立多个事件的独立性若下面四个等式同时成立实质:任何事件发生的概率都不受其它事件发生与否的影响两两独立相互独立定义成立，则称n个事件相互独立.若它们之中的任意有限个事件独立，则称事件序列独立.包含等式总数为：事件独立的性质

一、随机变量及其分布

二、随机向量及其分布

三、边际分布

四、条件分布第二节随机变（向）量及其分布随机现象必然现象：确定性现象，在相同条件下完全可以预言的将来随机现象：偶然现象，在相同条件下未来的发展事先不能完全肯定必然性与偶然性的对立统一为了避免将偶然性理解为“碰巧”，一般将它称为随机随机现象发生的可能性称为概率随机事件随机现象的每一次观察称为一个试验，如果该试验在相同条件下可以重复进行就称为随机试验试验的每一个结果称为随机事件

为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规律，引入随机变量的概念，即将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化一、随机变量及其分布

定义

设随机试验的样本空间例1

抛一枚均匀硬币,观察正反面情况。设

一、随机变量的定义出现结果为反面,称

为随机变量。上的实值单值函数，是定义在样本空间试验结果的出现是随机的,故的取值也是随机的。2）随机变量函数的取值在试验之前无法确定,且取值有一定的概率；而普通函数却没有。

随机变量和普通函数的区别1）定义域不同e.也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上。随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母

等.随机变量的分类

例如：“抽验一批产品中次品的个数”，“电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数”等1）离散型随机变量2）连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如：“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值有无穷多，充满一个或几个区间二、分布函数的概念定义1设

是一个随机变量，是任意实数,称函数为的分布函数。上的概率.分布函数的值就表示

落在区间定义2为随机变量的分布函数.∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。的函数值的含义：上的概率.分布函数表示

落在分布函数的另一种定义

两种定义对于离散型随机变量有影响，此种定义给出的分布函数是左连续的，前一种是右连续的。对于连续型随机变量的分布没有任何影响。

分布函数的性质⑴单调不减性：⑶右（左）连续性：⑵，且，则上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。4.几个常用的概率公式1.2.3.4.（2）分布函数是一个普通实值函数（1）分布函数完整描述了随机变量的统计规律性定义

若随机变量X的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称此随机变量是离散型随机变量。例

(1)扔一均匀硬币三次，出现正面的次数(2)某一时间段进入商场的人数离散型随机变量离散型随机变量灯泡的寿命非离散型随机变量1、离散型随机变量及其分布分布律也可用如下表格的形式表示定义

设随机变量X的所有可能取值为满足kp判断分布律的条件则称pk为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

二、常用的离散型随机变量1.

(0—1)分布定义

若随机变量X的分布律为（0—1）分布的分布律也可写成注意服从(0-1)分布的随机变量很多。如果涉及的试验只有两个互斥的结果：都可在样本空间上定义一个服从(0-1)分布的随机变量：例如检查某产品的质量是否合格；抛一枚硬币观察其正反面；一次试验是否成功。容易验证由二项式定理2二项分布二项分布描述的是

n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.3.泊松分布称服从参数为的泊松分布,记为其中是常数,若随机变量

的分布律～泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用①排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客人数②生物存活的个数③放射的粒子数～～～思考题：两个分布函数之和仍为分布函数吗？不是设为两个分布函数，则2连续型随机变量及其分布一、定义其中被积函数,称为概率密度函数或概率密度。如果随机变量

的分布函数为则称

为连续型随机变量二.概率密度的性质1.2.面积为1o3.4.在的连续点处，则对连续型r.vX,有几种常见的分布一、均匀分布分布函数为:1.若X的概率密度为

则称

服从(a,b)上的均匀分布，记作二、指数分布若随机变量

具有概率密度则称

服从参数为的指数分布.记为

的分布函数三、正态分布的正态分布,或高斯分布.所确定的曲线称为正态曲线若X具有概率密度

则称

服从参数为记为条关于对称的钟形曲线.特点是:正态分布的密度曲线是一正态分布的图形特点决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度的中心位置“两头小,中间大,左右对称”正态分布的分布函数

标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示

的分布函数是若,则

~N(0,1)设

,定理若二随机向量及其分布

有些随机实验的结果同时涉及若干个随机变量，我们不但要考虑其中各个随机变量的性质，还要研究它们之间的联系，即要研究随机向量及其分布。定义1是定义在这个概率空间上的n个随机变量，称所以它的概率是有意义的。定义2二维随机变量的联合分布定义3

设是二维随机变量,对于任意实数,称为

的分布函数。分布函数的几何意义

将二维随机变量看成平面上随机点的坐标落在矩形区域中的概率为分布函数的性质

当时，对于任意固定的，对于任意固定的，1.关于x和y单调不减当时，2.3.即关于x右连续关于y右连续即1、离散型随机向量只取有限个或可列个不同的向量值，则称概率这时，二维离散型随机变量设所有可能取值为，则称定义5定义4是有限多对或可列无限多对，则称为二维离散型随机变量.为随机变量

的分布律。性质：若二维随机变量的所有可能取值),(YX分布律的表格表示

Y

X

1y

2y

…

jy

…

1x

11p

12p

…

jp1

…

2x

21p

22p

…

jp2

…

M

…

…

…

…

…

ix

1ip

2ip

…

ijp

…

M

…

…

…

…

…

离散型随机变量的分布函数具有形式其中和式是对一切满足的求和它满足条件反之，若有满足这两条性质的n元函数则它一定是某一个n维随机向量的分布密度。2、连续型随机向量多元正态分布是多元连续型分布中的一个重要的分布。为密度函数的概率分布，称为n元正态分布，简记为上式的向量形式为当n=1时，和以前所述的一元正态分布完全一致；

的二维正态分布，记为当n=2时的概率密度为其中都是常数,且，则称服从参数为二维连续型随机变量对于任意的，有定义设二维随机变量的分布函数若存在非负函数，则称f(x,y)为(X,Y)的概率密度。2)3)若在点处连续,则有概率密度的性质1)4)

设是

平面上的任意一个区域，则有(表示以为底，以曲面为顶面的曲顶柱体的体积)三边缘分布（一）定义设是二维随机变量,同理可得几何表示:称为关于的边缘分布函数。