直线和圆的位置关系 复习课件 人教版九年级数学上册

24.2.2直线和圆的位置关系复习课知识点1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系相交相切相离图形

公共点个数

公共点名称

直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线d<rd=rd>r没有重要结论：判断直线与圆的位置关系直线l与☉O相交⇔d＜r;直线l与☉O

相切⇔d=r;直线l与☉O

相离⇔d＞r.

典例解析：回顾例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2.(2)r=2.4.（3)r=3.解:(1)当r=2时,AB和圆相离.(2)当r=2.4时,AB和圆相切.(3)当r=3时,AB和圆相交.归纳总结：判定直线与圆的位置关系,关键是先确定圆心到直线的距离(d)和圆的半径(r)两个量,然后再进行d与r的大小比较,最后根据d与r的数量关系得到直线与圆的位置关系.d=CD=2.4D

例2.如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。(1)若☉C与直线AB相切,求☉C的半径r.(2)若☉C与线段AB只有一个公共点时,求☉C的半径r的取值范围.BCAD453d=2.4cm解（1）相切时r=2.4cm；（2）当r满足r=2.4cm或3cm<r≤4cm

时,⊙C与线段AB只有一个公共点.如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。(1)若☉C与直线AB相切,求☉C的半径r.(2)若☉C与线段AB只有一个公共点时,求☉C的半径r的取值范围.变式2-1圆的直径是13cm,如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm,那么该直线和圆的位置关系是(

)A.相离 B.相切C.相交 D.相交或相切某一点归纳总结：首先根据直线与圆的位置关系,得到圆心到直线的距离(d)和圆的半径(r)的数量关系,再根据数量关系列出方程或不等式求解.名称圆的切线的判定定理圆的切线的性质定理

图示文字语言经过半径的外端点并且垂直这条半径的直线是圆的切线切线垂直于过切点的半径符号语言∵OA⊥l,OA是⊙O的半径

∴l是⊙O的切线∵OA是⊙O的半径

l是过点A的⊙O的切线∴OA⊥l知识点2.切线的判定和性质（1）切线长的定义：

切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．知识点知识点3.切线长的概念和定理（2）切线长定理:

过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.特别提示：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，为证明线段相等、角相等提供了新的方法.PA、PB是☉O的两条切线PA=PB∠OPA=∠OPB，∠AOP=∠BOP几何语言:例3（1）如图,点A在⊙O上，若∠ABO=∠P=

30°，则直线PA与⊙O的位置关系是

.变式3-1设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至少有一个公共点，则d为

.例3.（2）已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD

即圆心O到AC的距离d=r∴AC是⊙O切线。E例4.如图所示,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.(1)求证:DE与O相切;(2)若O的半径为,DE=3,求AE.总结归纳1：证明一条切线的两种辅助线：(1)若已知直线与圆有公共点,则连接圆心与公共点,证明已知直线与过公共点的半径垂直,简记为“已知圆上点,连半径,证垂直”.(2)若已知直线与圆没有公共点,则过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离与圆的半径相等,简记为“未知圆上点,作垂直,证半径”.口诀：已知圆上点,连半径,证垂直；未知圆上点,作垂直,证半径。归纳总结2：在运用切线长定理时，要注意切线长定理与等腰三角形，勾股定理，垂径定理，切线的性质及圆中有关的性质定理等知识的联系与运用。三三两两一直线拓展：切线长定理的一个基本图形，包含的其他结论有：（1）三组垂直线段：OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP;(2)三组全等三角形：△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB,△ACP≌△BCP;(3)两组相等的弧：

;

(4)两个等腰三角形：△OAB，△PAB;(5)一条特殊的直线：OP平分∠APB和∠AOB

例5.如图，AB为☉O的直径，C为☉O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。变式5-1如图，一个边长为4cm的等边△ABC的高与☉O的直径相等，☉O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为

.M归纳总结：当已知圆的切线和切点时，通常需要连接圆心和切点，可以得到切线与半径垂直。充分运用切线的有关性质“两过一垂直”。1.切线垂直于过切点的半径.2.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.3.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质：以上关于切线的性质可归纳为:已知直线满足a.过圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.两过一垂直课堂小结1.直线与圆的位置关系2.切线的判定方法及其性质:特别记忆：证切线时常用辅助线添加方法：①已知圆上点，连半径，证垂直；②已知圆上点，作垂直，证半径.3.切线长定理及其简单应用。2.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定复习检测（共五道题目，每题20分，满分100分）1.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=

.

3.如图,在平面直角坐标系中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴的正方向平移,使得☉P与y轴相切,则平移的距离为(

)A.1 B.3 C.5 D.1或54.如图，已知PA、PB、EF分别切于A、B、D，若PA=15cm，则△PEF的周长是

5.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．O知识点4：三角形的内切圆及内心的概念名称定义图示三角形的内切圆与三角形的三边都相切的圆

三角形的内心三角形内切圆的圆心，也是三角形内角平分线的交点例6.(1)

如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠

BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI∵点I是△ABC的内心，∴IB，IC分别是∠B，∠C的平分线，在△IBC中，归纳总结：在解决三角形内切圆的相关问题时,常利用切线的性质,在直角三角形中借助方程来解决问题,或利用内心是角平分线的交点来进行角度的计算.（2）在Rt△ABC中，AC=8，BC=6,则△ABC的内切圆半径r

=

.变式6-1设△ABC的面积为S，周长为L，△ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间的数量关系是=

.变式6-2