《高考风向标》年高考数学一轮复习 第五章 第6讲 不等式的证明精品课件 理

第6讲不等式的证明常用的证明不等式的方法

(1)比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负． (2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件．

综合法证明不等式的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B.

(3)分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程．

(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法．(5)放缩法：要证明不等式A<B成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法． 放缩法证明不等式的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩．值为()BA．1B．2D.3C.2

AA．A≤G≤HC．H≤G≤AB．A≤H≤G

D．G≤H≤A3．设a>0，且a≠1，若P＝loga

(a3－1)，Q＝loga

(a2－1)，则P与Q的大小关系为()AA．P>QB．P＝QC．P<QD．不确定P>QA<B考点1比较法

.

解题思路：左减去右＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋a(c－a)． 当a>b>c时，前两项为正，最后一项为负，如何使得三项之和为正，成为问题的关键，需采用“拆”的技巧，把第三项并入前两项中去，于是想到ca(c－a)＝ca[(c－b)＋(b－a)]＝ca(c－b)＋ca(b－a)，问题便迎刃而解．

证明：左一右＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca[(c－b)＋(b－a)] ＝a(a－b)(b－c)＋c(b－c)(b－a) ＝(a－b)(b－c)(a－c)．例1：已知：a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.∵a>b>c，∴(a－b)(b－c)(c－a)>0.因此：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.比较法证不等式步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式．第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论．第三步：得出结论．【互动探究】证明：∵a＋b＝1，∴ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2＝a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy＝abx2＋bay2－2abxy＝ab(x－y)2.又a、b∈R+，∴ab(x－y)2

≥0.∴ax2＋by2≥(ax＋by)2.考点2综合法【互动动探究究】1＋＋b1＋＋a考点点3反证证法法例3：已知知a>0，，b>0，，且且a＋b>2.求求证证：：1＋＋ba，1＋＋ab中至至少少解题题思思路路：：由于于题题目目结论论是是：：至至少少有有一一个个小小于于2，，情情况况较较复复杂，，讨讨论论起起来来比比较较繁繁，，宜宜采采用用反反证证法法．．证明明：：假设设1＋＋ba，1＋＋ab都不不小小于于2，，则则1＋ba≥2，1＋ab≥2.∵a>0，b>0，∴∴1＋b≥2a,1＋a≥2b，两式相加加可得1＋b＋1＋a≥2(a＋b)，即a＋b≤2，这这与已知知a＋b>2矛矛盾．故故假设不不成立．．因此：，ab，中至少少有一个个小于2.有一个小小于2.从正难则则反的角角度考虑虑，即要要证明不不等式A>B，先假设A≤B，由题设设及其它它性质，，推出矛矛盾，从从而肯定定A>B，凡涉及到到的证明明不等式式为否定定命题、、惟一性性命题或或含有““至多””、“至少””、“不不存在””、“不不可能””等词语语时，可可以考虑虑用反证证法．【互动探探究】3．若0<x、y、z<2，求求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不可能都大于于1.错源：利利用放缩缩法证明明不等式式时应把把握好度度要证A>B，可适当当选择一一个C，使得C≥B，反之亦然然．主要要应用于于不等式式两边差差异较大大时的证证明．一一般的放缩技巧巧有：①分式放放缩：固固定分子子，放缩缩分母；；固定分分母，放放缩分子子．多见于分分式类不不等式的的证明；；②添舍放放缩：视视情况丢丢掉或增增多一些些项进行行放缩，，多见于于整式或根根式配方方后需要要放缩的的不等式式的证明明．【互动探探究】用分析法法论证““若A则B”这个命命题的模模式是：：欲证命题题B为真，只只需证明明命题B1为真，从从而又只只需证明明命题B2为真，从从而又………只需需证明命命题A为真，今今已知A真，故B必真．简简写为：：B⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A.论中正确确的是()DA．(a－1)(c－1)>0C．ac＝1B．ac>1D．ac<1解析：若1<a<b<c，f(x)＝|lgx|＝lgx单调递增增，f(a)<f(b)<f(c)，不成立，，若0<a<b<c<1，f(x)＝|lgx|＝－lgx单调递减减，f(a)>f(b)>f(c)，不成成立，故故0<a<1且且c>1，由f(a)>f(c)得：－－lga>lgc，即lgac<0，∴∴0<ac<1.【互动探探究】5．设f(x)＝|lgx|，若0<a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下下列结2．数学学归纳法法：当不不等式是是一个与与自然数数n