《高考风向标》年高考数学一轮复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性精品课件 文

第3讲函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性的定义

(1)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________(或_________________)，则称f(x)为_________.奇函数的图像关于____对称．原点(2)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0奇函数f(－x)＝f(x)________(或_____________)，则称f(x)为________．偶函数的图像关于__轴对称．y

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性．具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．2．函数的周期性的定义非零常数f(x＋T)＝f(x)

对于函数f(x)，如果存在一个______T，使得定义域内的每一个x值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做________，非零常数T叫做这个函数的_____.f(－x)－f(x)＝0偶函数周期函数周期Cx3－x22．下列说法错误的是()

B．f(x)＝|x－2|是偶函数C．f(x)＝0，x∈[－6,6]既是奇函数，又是偶函数D．f(x)＝x－1既不是奇函数，又不是偶函数B3．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0,2]上是单调减函数，则()A．f(0)＜f(－1)＜f(2)C．f(－1)＜f(2)＜f(0)B．f(－1)＜f(0)＜f(2)D．f(2)＜f(－1)＜f(0)

解析：∵f(x－2)在[0,2]上单调递减，∴f(x)在[－2,0]上单调递减．∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)在[0,2]上单调递增．又f(－1)＝f(1)，故选A.

4．设函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)为奇函数，则a＝__.A0

5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝_______.

解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的函数，故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)，又f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.－0.5考点1判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；

解题思路：依照定义判断函数的奇偶性，要先考查函数的定义域．

解析：(1)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，对称于原点．(1)函数的的奇偶偶性是是函数数的一一个整整体性性质，定定义域域具有有对称称性(即若奇奇函数数或偶偶函数数的定定义域域为D，则x∈D时－x∈D)是一个个函数数为奇奇函数数或偶偶函数数的必要条条件；；(2)分段函函数的的奇偶偶性一一般要要分段段证明明；(3)判断函数数的奇奇偶性性应先先求定定义域域再化化简函函数解解析式式．1．下列列函数数中，，在其其定义义域内内是奇奇函数数的是是()A．y＝exB．y＝C．y＝x3D．y＝cosx【互动探探究】C考点2利用函函数的的奇偶偶性求求函数数的表表达式式利用函函数的的奇偶偶性可可以求求关于于原点点对称称区间上的的函数数的表表达式式．2．(1)已知知f(x)是定定义义在在R上的的奇奇函函数数，，当当x≥0时，，f(x)＝x－x2，则则x≤0时，，f(x)＝_______；(2)已知知函函数数f(x)是定定义义在在(－∞∞，，＋＋∞∞)上的的偶偶函函数数．．当x∈(－∞∞，，0)时，，f(x)＝x－x4，则则当当x∈(0，＋＋∞∞)时，，f(x)＝__________.【互动动探探究究】x2＋x－x－x4考点点3函数数奇奇偶偶性性与与单单调调性性的的综综合合应应用用例3：已已知知奇奇函数数f(x)是定定义义在在(－2,2)上的的减减函函数数，，若f(m－1)＋f(2m－1)>0，求求实实数数m的取值范范围．解题思路路：欲求m的取值范范围，就就要建立立关于m的不等式，，只有从从f(m－1)＋f(2m－1)>0出发，利利用f(x)的奇偶性和和单调性性将外衣衣“f”脱去，转转化为关关于m的不等式式．解析：∵f(x)是定义在在(－2,2)上的奇函函数，∴对任意意x∈(－2,2)，有f(－x)＝－f(x)．由条件f(m－1)＋f(2m－1)>0得A．a<b<cC．c<b<aB．b<a<cD．c<a<b解析：已知f(x)是周期为为2的奇函数数，当0<x<1时，b＝f(x)＝lgx.设a＝∴c<a<b.＝lgx，设a＝()D错源：没有考考虑定义域误解分析：对函数奇偶性性定义实质理理解不全面．．对定义域内任意意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函函数的定义域域关于原点对对称．这是函函数具备奇偶性的必要要条件．纠错反思：在处理函数的的问题时,都要树立定义义域优先的意识.③①②例5：已知函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2－2x－1.(1)若f(x)为R上的奇函数，，求f(x)的解析式；(2)若f(x)为R上的偶函数，，能确定f(x)的解析式吗？？请说明理由．．解析：(1)当x>0时，f(x)＝x2－2x－1.设x<0，则－x>0，有f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1.∵f(x)为R上的奇函数，，f(－x)＝－f(x)，∴x<0时，f(x)＝－x2－2x＋1.当x＝0时，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0.(2)若f(x)为R上的偶函数，，不能确定f(x)的解析式，因为不知f(0)的结果．【互动探究】5．设f(x)是R上的任意函数数，则下列叙叙述正确的是是()A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数D对于函数f(x)定义域中的的任意的x，总存在一一个常数T(T≠0)，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则则T是函数y＝f(x)的一个周期期：(1)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则T＝2a是它的一个个周期；(2)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则T＝2a是它的一个个周期；1f(x)(a≠0)，则T＝(3)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－2a是它的一个个周期；1f(x)(a≠0)，则T＝2a(4)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝是它的一个个周期；(5)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝1－f(x)1＋f(x)(a≠0)，则T＝2a是它的一个个周期；