《走向清华北大》高考总复习 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件

第四模块三角函数第十六讲任意角和弧度制及任意角的三角函数回归课本1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止时的射线OB叫做角的终边，按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．2．象限角把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}3.象限界角(即轴线角)角α终边位置角α的集合在x轴非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}在x轴非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}在y轴非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}在y轴非正半轴上{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，即为象限界角(或轴线角)．4．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．注意：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．(2)一般地，终边相同的角或通式表达形式不唯一，如α＝k·180°＋90°(k∈Z)与β＝k·180°－90°(k∈Z)都表示终边在y轴上的所有角．(3)应注意整数k为奇数、偶数的讨论．5．弧度制(1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度．(2)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.6．度与弧度度的换算关关系∵周角的为为1度的角即周周角＝＝1°，周周角＝＝1rad∴360°＝2πrad∴180°=πrad,1°=rad,1rad＝°≈57°18′.7．扇形的半半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为圆心角弧长l＝αR，即弧长等等于该弧所对的的圆心角的的弧度数乘乘以半径．．扇形面积S＝l·R＝α·R2.8．在直角坐坐标系中利利用单位圆圆的定义求求任意角的的三角函数数设α是一个任意意角，它的的终边与单单位圆交于于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；(3)y,x叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．9．利用角α终边上任意意一点的坐坐标定义三三角函数设直角坐标标系中任意意大小的角角α终边上任意意一点的坐坐标为(x，y)，它与原点点的距离是是r(r＞0)，那么任意意角的三角角函数的定定义：注意：要特特别注意三三角函数的的定义域．．10．各象限角角的三角函函数值和符符号如图所所示三角函数正正值口诀：：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．11．终边相同同的角的同同一三角函函数的值相等，即sin(α＋k·2π)＝sinαcos(α＋k·2π)＝cosα(其中k∈Z)tan(α＋k·2π)＝tanα12．三角函数数线图中有向线线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正切线．注意：当角角α的终边与x轴重合时，，正弦线、、正切线分分别变成一一个点，此此时角α的正弦值和和正切值都都为0；当角α的终边与y轴重合时，，余弦线变变成一个点点，正切线线不存在，，此时角α的正切值不不存在．考点陪练1.已知集合A＝{第一象限角角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，下列四个个命题：①A＝B＝C，②AC，③CA，④A∩C＝B，其中正确确命题的个个数为()A．0B．1C．2D．3答案：A2.将分针拨快快10分钟,则分针转过过的弧度数数是()答案:B答案:B4.有下列命题题:(1)终边相同的的角的同名名三角函数数的值相等等;(2)终边不同的的角的同名名三角函数数的值不等等;(3)若sinα>0,则α是第一､二象限的角角;(4)若α是第二象限限的角,且P(x,y)是其终边上上一点,则cosα=其中正确的的命题的个个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据任意角角三角函数数的定义知知(1)正确;对(2),我们可举出出反例对(3),可指出,但不不是第一､二象限的角角;对(4),因为α是第二象限限的角,已有x<0,应是cosα=.答案:A5.若sinα<0且tanα>0,则α是()A.第一象限角角B.第二象限角角C.第三象限角角D.第四象限角角解析:∵sinα<0,∴α是第三､四象限的角角或角的终终边在y轴负半轴上上.又∵tanα>0,∴αα是第一､三象限的角角.∴α是第三象限限的角.答案:C类型一角角的集合表表示解题准备:(1)任意角β都可以表示示成β=α+k·360°(0°≤αα<360°,k∈∈Z).(2)并不是所有有角都是某某象限角,当角的终边边落在坐标标轴上时,它就不属于于任何象限限.(3)相等的角终终边一定相相同,终边相同的的角不一定定相等,终边相同的的角有无数数个,它们相差360°的整数倍.(4)注意“第一象限角角”､“锐角”､“小于90°的角”是范围不同同的三类角角,需加以区别别.【典例1】(1)如果α是第三象限限角,那么-α,2αα的终边落在在何处?(2)写出终边在在直线上上的的角的集合合;(3)若角θ的终边与角角的终终边相同,求在[0,2ππ)内终边与角角的的终边相同同的角.[分析]利用终边相相同的角的的集合进行行求解.[解](1)由α是第三象限限角得π+2kππ<α<+2kπ(k∈∈Z)-2kπ<-α<-π-2kπ(k∈∈Z).即+2kπ<-α<ππ+2kππ(k∈Z).∴-α的终边在第第二象限;由π+2kππ<α<+2kπ(k∈∈Z)得2π+4kπ<2αα<3π+4kπ(k∈Z).∴角2α的终边在第第一或第二二象限或y轴的非负半半轴上.(2)在(0,π)内终边在直直线上上的角角是∴终边在直直线上上的的角的集合合为{α|α=+kπ,k∈∈Z}.(3)∵θθ=+2kπ(k∈Z),∴(k∈Z).[反思感悟](1)利用终边相相同的角的的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角角β所在的象限限时,只需把这个个角写成[0,2ππ)范围内的一一个角α与2π的整数倍,然后判断角角α所在的象限限.(2)利用终边相相同的角的的集合可以以求适合某某些条件的的角,方法是先写写出与这个个角的终边边相同的所所有角的集集合,然后通过对对集合中的的参数k赋值来求得得所需角.类型二扇扇形弧长,面积公式应应用解题准备:设扇形的弧弧长为l,圆心角大小小为α(弧度),半径为r,则l=|α|·r;S扇形=|α|r2.注意:这里给出的的弧长､扇形面积公公式是在弧弧度制下的的,使用时切记记将圆心角角用弧度来来表示.【典例2】已知一扇形形的中心角角是α,所在圆的半半径为r.(1)若α=60°°,r=10cm,求扇形的弧弧长及该弧弧所在的弓弓形面积;(2)若扇形的周周长是一定定值c(c>0),当α为多少弧度度时,该扇形有最最大面积?∴当扇形圆心心角为2弧度时,扇形面积有有最大值.类型三三三角函数的的定义解题准备:(1)任意角的三三角函数值值,只与角的终终边位置有有关,而与终边上上的点的位位置无关;(2)当点P的坐标中含含字母时,表达r时要注意分分类讨论思思想的应用用.【典例3】已知α的终边经过过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα､､cosαα､tanα的值.[分析]根据任意角角三角函数数的定义,应首先求出出点P到原点的距距离r,由于含有参参数a,要注意分类类讨论.[反思感悟](1)当角α的终边上点点的坐标以以参数形式式给出时,要根据问题题的实际及及解题的需需要对参数数进行分类类讨论.(2)熟记几组常常用的勾股股数组,如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,会给我们解解题带来很很多方便.(3)若角α已经给定,不论点P选择在α的终边上的的什么位置置,角α的三角函数数值都是确确定的;另一方面,如果角α终边上一点点坐标已经经确定,那么根据三三角函数定定义,角α的三角函数数值也都是是确定的.类型四象象限角与三三角函数符符号问题解题准备:三角函数的的符号如下下表正值口诀:Ⅰ全正､Ⅱ正弦､Ⅲ正切､Ⅳ余弦.【典例4】(1)如果点P(sinθ•cosθ,2cosθ)位于第三象象限,试判断角θ的终边所在在的象限.(2)若θ是第二象限限角,则的的符号号是什么?[分析](1)由点P所在的象限限,知道sinθ•cosθ,2cosθ的符号,从而可求sinθ与cosθ的符号.(2)由θ是第二象限限角,可求cosθ,sin2θ的范围,进而把cosθ,sin2θ看作一个用用弧度制的的形式表示示的角,并判断其所所在的象限限,从而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符号可定定.[解](1)因为点P在第三象限限,∴sinθθ•cosθ<0且2cosθθ<0,因此必有sinθ>0,cosθ<0,故θ的终边在第第二象限.(2)因为θ是第二象限限角,所以cosθ<0,且-1≤cosθ<0,即cosθ是第四象限限角,因此sin(cosθ)<0;又sin2θθ=2sinθ•cosθ<0,所以-1≤sin2θ<0,即sin2θθ也是第四象象限角,因此cos(sin2θ)>0.故[反思感悟]此处要正确确理解sin(cosθ)的含义,sin(cosθθ)中,是把角θ的余弦值(一个实数)作为一个角角的弧度数数,求该角的正正弦值,因此只需研研究cosθ这个角的范范围(所在象限)即可.错源一忽忽视表示示区间角的的不等式两两端的大小小关系【典例1】用集合表示示终边在阴阴影部分的的角α的集合.[错解]由图可知,终边落在射射线OA上的角为2kπ+(k∈Z),终边落在射射线OB上的角为2kπ-(k∈Z).所以终边落落在图中阴阴影部分的的集合为α∈{α|2kπ+≤α≤≤2kπ-,k∈Z}.[剖析]上面集合中中的关于角角的不等式式是一个矛矛盾的不等等式,左边的比右右边的大.[正解]由图知,终边落在射射线OA上的角为2kπ+(k∈Z),终边落在射射线OB上的角为2kπ+(k∈Z).所以终边落落在图中阴阴影部分的的集合为α∈{α|2kπ+≤≤α≤≤2kπ+,k∈Z}.[评析]利用终边相相同的角的的表达式表表示区域角角要把握两两条原则:(1)按逆时针方方向书写;(2)表示区域角角的不等式式两个端点点值的差必必须是终边边落在两条条边界射线线(或直线)上的最小差差值.错源二利利用三角角函数值符符号判断角角的位置时时,忽视轴线角角而致错【典例2】已知sinα≥≥0,cosα≥0,试确定α终边的位置置.[错解]由sinα≥≥0知,α终边在第一一象限,或第二象限限,或y轴的非负半半轴上;又由cosα≥≥0知,α终边在第一一象限,或第四象限限,或x轴的非负半半轴上.故α终边在第一一象限.[剖析]错解的解答答中由sinα≥≥0和cosα≥≥0确定α终边位置时时,分别遗漏了了x轴和y轴的情形,造成错误.[正解]由sinα≥≥0知,α终边在第一一象限或第第二象限,或x轴,或y轴的非负半半轴上;由cosα≥≥0知,α终边在第一一象限或第第四象限,或y轴,或x轴的非负半半轴上.故α终边在第一一象限,或x轴的非负半半轴上,或y轴的非负半半轴上.技法一等等分单位圆圆一､单位圆的二二､四等分法在单元圆中中,当角α=kπ+或α=kπ±±(k∈R)(此时|sinαα|=|cosα|)时,其终边分单单位圆为二二､四等份的情情况如下图图1､图2.表1:大小关系sinα>cosαsinα<cosα终边范围图1中Ⅰ图1中Ⅱ大小关系|sinα|>|cosα||sinα|<|cosα|终边范围图2中1､3图2中2､4【典例1】在(0,2π)内,使sinαα>cosα成立的α的取值范范围为()[解析]由图1和表1可知此题题选B.[答案]B二､标象限法法在单位圆圆中,当角α=(k∈Z)时,角的终边边和坐标标轴重合合,其终边分分单位圆圆为四个个象限的的情况如如下图.表2:3.单位圆的的八等分分法在单位圆圆中,当α=(k∈Z)时,其终边分分单位圆圆为八等等份的情情况如上上图.表3:大小关系-1<sinα+cosα≤00≤sinα+cosα<1终边范围图4中4､7图4中3､8大小关系-1<sinα-cosα≤00≤sinα-cosα<1终边范围图4中1､6图4中2､5特