《走向清华北大》高考总复习 抛物线课件

第四十二讲抛物线回归课本1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.2.抛物线的标准方程和几何意义考点陪练1.(2010·湖南)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4 B.6C.8 D.12解析:由抛物线的方程得 再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6,故选B.答案:B解析:如图,由直线的斜率为得∠AFH=60°,∠FAH=30°,∴∠PAF=60°.又由抛物线的定义知|PA|=|PF|,∴△PAF为等边三角形,由|HF|=4得|AF|=8,∴|PF|=8.答案:B3.(2010·陕西)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()

解析:由已知,可知抛物线的准线与圆(x-3)2+y2=16相切.圆心为(3,0),半径为4,圆心到准线的距离 解得p=2.故选C.答案:C4.若点P到点F(0,2)的距离离比它它到直直线y+4=0的距离离小2,则P的轨迹迹方程程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y解析:由题意意知,P到F(0,2)的距离离比它它到y+4=0的距离离小2,因此P到F(0,2)的距离离与到到直线线y+2=0的距离离相等等,故P的轨迹迹是以以F为焦点点,y=-2为准线线的抛抛物线线,所以P的轨迹迹方程程为x2=8y.答案:C答案:A类型一一抛抛物线线的定定义解题准准备:利用抛抛物线线定义义可将将抛物物线上上的点点到抛抛物线线的焦焦点和和准线线的距距离相相互转转化.例如若若点P0(x0,y0)是抛物物线y2=2px(p>0)上的任任一点点,则该点点到抛抛物线线的焦焦点F的距离离(焦半径径公式式),这一公公式的的直接接运用用会为为我们们求解解有关关到焦焦点或或准线线的距距离的的问题题带来来方便便.在求过过焦点点的一一弦长长时,经常将将其转转化为为两端端点到到准线线的距距离之之和,再用根根与系系数关关系求求解,有时也也把点点到准准线的的距离离转化化为点点到焦焦点的的距离离进行行求解解.【典例1】(1)在抛物物线y2=4x上找一一点M,使|MA|+|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M点的坐标及及此时的最最小值.(2)已知抛物线线y2=2x和定点抛抛物线上有有动点P,P到点A的距离为d1,P到抛物线准准线的距离离为d2,求d1+d2的最小值及及此时P点的坐标.[解]要求最小值值问题,可考虑抛物物线的定义义,通过定义转转化为“两两点之间线线段最短””及“三角角形两边之之和大于第第三边”这这一结论.(1)如图,点A在抛物线y2=4x的内部,由抛物线的的定义可知知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中|MH|为M到抛物线的的准线的距距离.过A作抛物线的的准线的垂垂线交抛物物线于M1,垂足为B,则|MA|+|MF|=|MA|+|MH|≥|AB|=4(当且仅当点点M在M1的位置时),此时M点的坐标为为(1,2).(2)如图,点在在抛物线y2=2x的外部,由抛物线的的定义可知知,(其中F为抛物线的的焦点).此时P点的坐标为为(2,2).[反思感悟]熟练掌握和和灵活运用用定义是解解题的关键键.利用抛物线线定义可将将抛物线上上的点到抛抛物线的焦焦点和准线线的距离相相互转化.例如若点点P0(x0,y0)是抛物线线y2=2px(p>0)上的任一一点,则该点到到抛物线线的焦点点F的距离(焦半径公公式),这一公式式的直接接运用会会为我们们求解有有关到焦焦点或准准线的距距离的问问题带来来方便.在求过焦焦点的一一弦长时时,经常将其其转化为为两端点点到准线线的距离离之和,再用韦达达定理求求解,有时也把把点到准准线的距距离转化化为点到到焦点的的距离进进行求解解.类型二求求抛物物线的方方程解题准备备:求抛物线线的标准准方程常常用的方方法是待待定系数数法.为避免开开口方向向不确定定而设成成多种形形式的麻麻烦,可以将焦焦点在x轴上的抛抛物线的的标准方方程统一一设为y2=ax(a≠0);焦点在y轴上的抛抛物线的的标准方方程统一一设为x2=ay(a≠0).【典例2】求下列各各抛物线线的方程程:(1)顶点在坐坐标原点点,对称轴为为坐标轴轴,且经过点点M(-2,-4);(2)顶点在坐坐标原点点,焦点在y轴上,抛物线上上一点Q(m,-3)到焦点的的距离等等于5.[解](1)设抛物线线为y2=mx或x2=ny,则(-4)2=m(-2)⇒m=-8或(-2)2=n(-4)⇒n=-1.∴所求的抛抛物线方方程为y2=-8x或x2=-y.(2)依题意,抛物线开开口向下下,故设其方方程为x2=-2py.则准线方方程为又又设焦焦点为F,则故抛物线线方程为为x2=-8y.[反思感悟悟]这里易犯犯的错误误就是缺缺乏对开开口方向向的讨论论,先入为主主,设定一种种形式的的标准方方程后求求解,以致失去去另一解解.类型三抛抛物线线的几何何性质解题准备备:1.以抛物线线的标准准方程y2=2px(p>0)为例,有如下几何性性质:①范围:抛物线y2=2px(p>0)开口向右,且向右上方和和右下方无限限延伸;②抛物线只有一一条对称轴x轴,没有对称中心心;③顶点:抛物线和它的的轴的交点叫叫做抛物线的的顶点,即坐标原点.顶点是焦点向向准线所作垂垂线段的中点点;④离心率:抛物线上的点点M与焦点的距离离和它到准线线的距离的比比,叫抛物线的离离心率,e=1.2.抛物线的每一一条过焦点的的弦被焦点分分成两段焦半半径,由焦半径公式式可推出抛物物线的焦点弦弦长公式:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦为AB,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF1|+|BF1|=x1+x2+p.特别地,当弦AB与抛物线的对对称轴垂直时时,这条弦称为通通径,其长度为2p.[分析]考查抛物线的的过焦点的弦弦的性质.将抛物线的焦焦点弦的方程程设出,代入抛物线方方程,利用韦达定理理等解决问题题.类型四 直线线与抛物线的的位置关系解题准备:直线和抛物线线的位置关系系,可通过直线方方程与抛物线线方程组成的的方程组实数数解的个数来来确定,同时注意过焦焦点的弦的一一些性质,如:弦长l=x1+x2+p.(2)当直线l的斜率不存在在时,x=8与抛物线没有有交点,不合题意.当直线l的斜率存在时时,设直线l的斜率为k,则l:y=k(x-8).设M(x1,y1),N(x2,y2),即x1x2+x1+x2+1+k2(x1-8)(x2-8)=97,∴(1+k2)x1x2+(1-8k2)(x1+x2)+1+64k2=97,②将y=k(x-8)代入y2=-4x得k2x2+(4-16k2)x+64k2=0,∴代入②②式得得:64(1+k2)+(1-8k2)整理得得∴l的方程程为:即x-2y-8=0或x+2y-8=0.错源一一对对抛抛物线线的定定义理理解不不透而而致错错【典例1】若动点点M到定点点F(1,0)的距离离等于于它到到定直直线l:x-1=0距离,则动点点M的轨迹迹是()A.抛物线线B.直线C.圆D.椭圆[错解]由抛物物线的的定义义知动动点M的轨迹迹是抛抛物线线,故选A.[剖析]抛物线线的定定义中中隐含含一个个条件件“定定点F不在定定直线线l上”.若“定定点F在定直直线l上”,那么动动点的的轨迹迹就不不再是是抛物物线,而是过过定点点F且与定定直线线l垂直的的直线线.[正解]因定点点F(1,0)在定直直线l:x-1=0上,故动点点M的轨迹迹是直直线,应选B.[答案]B错源二二对对抛物物线的的标准准方程程认识识不清清而致致误[答案]C错源三三对对问题题考虑虑不全全面而而致错错【典例3】过点M(1,-2)的抛物物线的的标准准方程程为________.[错解]设抛物物线方方程为为y2=2px,把点M(1,-2)的坐标标代入入得2p=4,故抛物物线的的标准准方程程为y2=4x.[剖析]上面的的解法法漏掉掉了抛抛物线线的焦焦点还还可以以在y轴的负负半轴轴上的的情形形.[正解]当抛物物线的的焦点点在x轴上时时,设方程程为y2=mx(m≠0),把点M(1,-2)的坐标标代入入得m=4,故抛物物线的的标准准方程程为y2=4x;当抛物物线的的焦点点在y轴上时时,设方方程程为为x2=ny(n≠≠0),把点点M(1,-2)的坐坐标标代代入入得得故故抛抛物物线线的的标标准准方方程程为为故应应填填y2=4x和[答案案]错源源四四对对直直线线与与抛抛物物线线只只有有一一个个公公共共点点认认识识不不清清【典例例4】】求过过点点(0,1)且与与抛抛物物线线y2=2x只有有一一个个公公共共点点的的直直线线l的方方程程.[剖析析]事实实上上,上述述解解法法只只考考虑虑了了直直线线l的斜斜率率存存在在且且不不为为0时[正解](1)当直线l的斜率为0时,则l:y=1,此时l平行于抛物线的对称轴,且于抛物线只有一个公共点(2)当直线l的斜率k≠0时,同错解.(3)当k不存在时,则l:x=0与抛物线y2=2x相切于点(0,0).综上可知,所求直线l的方程为:

技法法一一抛抛物物线线中中过过定定点点直直线线的的性性质质【典例例1】】已知知抛抛物物线线y2=2px(p>0),过(2p,0)作直直线线交交抛抛物物线线于于两两点点,请写写出出你你所所能能得得出出的的不不同同结结论论.[分析析]设直直线线与与抛抛物物线线交交于于A､､B两点点,有以以下下结结论论:结论论1:OA⊥⊥OB.[证明明]设P(2p,0),当AB不垂直于于x轴时,△OPM为直角三三角形,M在以OP为直径的的圆周上上,方程为(x-p)2+y2=p2.当AB⊥x轴时,M点与P点重合,满足上述述