第三章 刚体力学

刚体：受力时不改变形状和体积的物体，是理想模型。特点：(1)是一个质点系(2)内部任意两质点间的距离保持不变.第三章刚体力学物体运动问题的影响因素（物体的性质）（1）大小（2）形状（3）质量(4)占有空间位置（5）变形一、刚体§3.1刚体的运动

二、刚体的平动和转动

平动：刚体在运动过程中，在刚体中任作一条直线，如果各个时刻该直线始终保持平行，这种运动称为刚体的平动。取参考点O

结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度及相同的轨迹。可用一个质点的运动代替刚体的运动。O转轴的方位随时间变化。刚体运动时，各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。

转动：定轴转动：非定轴转动：转轴固定于参考系的转动。刚体的复杂运动一般可分解为平动和转动。xOp规定逆时针转向为正.1.定轴转动的描述(1)角坐标刚体定轴转动的运动学方程(2)角位移

=(t+

t)-(t)

=

(t)三、刚体的定轴转动

xOpz逆时针转动，Δ

>0顺时针转动，Δ<0(rad)(rad)(3)角速度逆时针转动>0，顺时针转动<0.每分转n转

角速度(4)角加速度转动平面减速加速O(rad/s)(rad/s2)匀变速转动

=常量与质点匀变速直线运动公式相对应.(5)刚体定轴转动运动方程匀速转动

=常量(6)角量与线量的关系线量——质点做圆周运动的v、a

角量——描述刚体转动整体运动的注:r：质点到转轴的垂直距离.弧长线速度切向加速度法向加速度r

sOxy一、力对轴的力矩力的大小？力的作用点？表征力对物体转动作用,称为力矩.§3.2刚体定轴转动定理

力在转动平面内大小:方向：由右手螺旋关系确定,垂直于和确定的平面.力不在转动平面内不能改变刚体绕轴的转动状态1）力的作用线通过转轴2）力平行轴或与轴重合【例】有一大型水坝高110m、长1000m，水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示。求水作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩。解设水深h，坝长L，在坝面上取面积元dA=Ldy作用在此面积元上的力dF=pdA=pLdyF=5.91×1010N

dF=pdA=pLdy

令大气压为p0

，则

p=p0

+ρg(h−y)dF=[p0

+ρg(h−y)]Ldy代入数据，得【例】有一圆盘质量为m，均匀分布，圆盘半径为R可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ，求圆盘转动后受的摩擦力矩。解：摩擦力距在圆盘的不同R部位是不相同的，在圆盘上取一半径r—r+dr的圆环圆环质量：ordrRz二、刚体绕定轴的转动定理mi把刚体看作一个质点系可证明：结论：刚体角加速度与它受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动惯量单位:kgm2转动定理说明:(1)

矢量式为(2)

为瞬时关系(3)与平动中

地位相同(4)

为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。三、转动惯量(1)意义：刚体转动惯性的量度。刚体质量分布(同m,J中空>J实).刚体的总质量(同分布,M>m,JM>Jm).转轴的位置(2)影响J的因素:连续分布(3)转动惯量的计算：离散分布【例】如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求：⑴系统对过C点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量；⑵系统对过A点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量；⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？讨论：⑴J与质量有关（见⑴、⑵、⑶结果）⑵J与轴的位置有关（比较⑴、⑵结果）⑶J与刚体质量分布有关（比较⑵、⑶结果）（1）（2）（3）【例】求一质量为m,长为l的均匀细棒的转动惯量.(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直.(2)轴通过棒的一端并与棒垂直.解:dm对转轴的转动惯量为:在棒上取质量元,长为dx,离轴O

为x.棒的线密度为:(1)解为:(2)解为:(原点O在棒的左端点)【例】一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量.解：ordrR取圆环为质量元质量面密度：几种典型形状刚体的转动惯量圆筒圆环ωRmO´

O圆柱ωR2R1细圆棒ωR圆球球壳ωR平行轴定理若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc,则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是:mRJzJc垂直于杆的轴通过杆的中心垂直于杆的轴通过杆的端点垂直于杆的轴通过杆的1/4处匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量挂钟摆锤的转动惯量

(杆长为l,质量为m1,摆锤半径为R,质量为m2):挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动的转动惯量(圆环质量为m,半径为R):三、转动定理的应用两类问题：一类是已知力矩求转动；二类是已知转动求力矩。（1）选取研究对象，隔离之（2）分析隔离体受力和力矩（3）写出微分方程（4）根据题意找出所选各隔离体之间的联系（5）求解【例】一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动.假设定滑轮的质量为m0,半径为R,其转动惯量为m0R2/2,滑轮轴光滑.试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系.解:由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律:对m:(1)对m0:(2)(3)联立(1),(2),(3)解得:恒矢量,与时间无关.由初始条件,得【例】一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一滑轮的轴上。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S，试求整个滑轮的转动惯量（用m，r，t和S表示）rmo【思考】组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不变。已知小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r’=2r，质量m’=2m

。求：组合轮的角加速度的大小。解：【例】轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮C连接两物体A和B，A、B质量分别为mA、mB，滑轮视为圆盘，其质量为mC半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。C不计mc时，解:平行轴定理(1)转动惯量:OBAC质心【例】一质量为m,长为l的均质细杆,转轴在O点,距A端l/3.今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求:(1)水平位置的角速度和角加速度.

(2)垂直位置时的角速度和角加速度.(3)棒在竖直位置时,棒的两端和中点的速度和加速度.

(2)垂直位置时的角速度和角加速度.

OBAC质心(3)棒在竖直位置时,棒的两端和中点的速度和加速度.OBAC质心【例】

一半径为R,质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上.若它的初始角速度为0,绕中心O旋转,问经过多长时间圆盘才停止.(设摩擦系数为)oRdrr解：【例】设电风扇的电机力矩恒定为M，风叶所受空气阻力矩的大小为Mf=Kω，风叶转动惯量为J。求（1）通电后t时刻的角速度ω；(2)稳定转动时的角速度；（3）稳定转动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？§3.3刚体定轴转动中的功与能刚体转动动能动能:刚体的总动能:miz刚体的重力势能刚体的重力势能等于质量集中于质心的重力势能.质心高度hc力矩的功和功率力矩:力矩的总功:P力矩的元功:说明：1）本质上仍然是力的功2）当力矩为常量时，力矩的功为刚体中P点在力的作用下位移,则力元功力矩功率:4）合外力矩的功:3）内力矩的功=05）力矩的功是力矩对空间的累积效应当M与ω同向，P为正；当M与ω反向，P为负类比：刚体定轴转动的动能定理只有保守内力做功刚体机械能守恒微分形式积分形式【例】

一质量为M,半径R的圆盘,盘上绕有细绳,一端挂有质量为m的物体.问物体由静止下落高度h时,其速度为多大？mgTMm解1:解得：由动能定理:将地球、圆盘、物体作为一个系统.解2:机械能守恒mgTMm解得：【例】

滑块质量为m,滑轮半径为R,转动惯量为J,弹簧劲度系数为k,斜面角度为.不计摩擦.当弹簧无形变时将滑块由静止释放.求(1)滑块下滑x时的加速度;(2)下滑的最大距离.解:

对于滑块：可得:对于滑轮:(1)根据转动定理OxRmk沿斜面建立坐标,以A的初始位置为原点.得OxRmk(2)下滑的最大距离.设滑块由静止释放沿斜面下滑的最大距离为S,则设原点为势能零点.以整体和地球为系统,其机械能守恒.1.5m【例】一轻弹簧与一匀质细杆l=1m相连，弹簧倔强系数k=40N/m，细杆质量为m=3kg。杆可绕c轴无摩擦转动。若当θ=0°时弹簧为原长，那么细杆在θ=0°的位置上至少具有多大的角速度才能转到水平位置？Ep=0解：取弹簧、杆、地为系统，由题意知系统机械能守恒。【例】滑轮转动惯量为0.01kgm2，半径为7cm，物体质量为5kg，由一绳与倔强系数k=200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：（1）当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体速度达到最大值的位置及最大速率。§3.4角动量

角动量守恒定律设:t时刻质点的位矢质点的动量运动质点相对于参考原点O的角动量定义为:Kg·m2·s-1质点的角动量大小：h方向：

矢经和动量的矢积方向垂直于和组成的平面，指向由右手螺旋法则确定角动量与参考点O的位置有关.注意:根据质点的角动量的定义两边对时间求导，得

质点的角动量定理

所以结论：质点的角动量对时间的变化率等于质点所受的合外力矩，这就是质点的动量定理。注：是相对于同一参考点而言的!结论：相对于某一参考点，如果质点所受的合外力矩为零，则质点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律。说明：2）质点在有心力所用下运动时，其对力心的角动量守恒。角动量守恒定律当

时，有，有两种情况：1）合力

，外力矩

，角动量守恒；m太阳行星角动量守恒注意：动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律如行星运动动量不守恒角动量守恒在近日点转得快，在远日点转得慢。【例】轻绳一端系着质量为

m

的质点，另一端穿过光滑水平桌面上的小孔

O用力

拉着，如图所示。质点原来以速率

v

作半径为

r

的圆周运动，当

拉动绳子向正下方移动r/2时，（1）质点的速度v=?（2）此过程中所作的功。（1）转动中，

解：有得（2）质点的速度增加了，动能也增加了。动能的增加，是由于力做了功。刚体对定轴的角动量质点对定轴的转动惯量miz结论：刚体绕定轴转动的角动量，等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。注意：当表述刚体的角动量时，必须指明是对哪一轴的角动量。由转动定律:称为dt时间内刚体所受合外力矩的冲量矩.微分形式刚体定轴转动的角动量定理结论：刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量.积分形式注意：角动量和合外力矩都是相对于同一轴而言的。刚体的角动量守恒定律

结论:对某一转轴而言，刚体所受合外力矩为零,则刚体的角动量保持不变.说明：1）角动量守恒既适用于刚体也适用于非刚体。对于定轴转动的刚体来说，对于非刚体来说，角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则Jw变大，乘积保持不变，Jw变大则Jw变小。收臂大小Jw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂J大小w花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则Jw变大，乘积保持不变，Jw变大则Jw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰收臂大小Iw张臂Jw大小先使自己转动起来收臂大小Jw2）角动量守恒既适用于宏观、低速领域也适用于微观、高速领域。3）当转动物体由几个刚体组成时，若整个系统所受合外力矩为零，则系统的角动量守恒，即有4）对由刚体和质点构成的系统,若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零,则整个物体系对该转轴的总角动量守恒.共轴系统的角动量守恒共轴系统若0JMwS外则LSi恒矢量Sii轮、转台与人系统J轮J人台初态全静人沿某一转向拨动轮子w轮w人台末态人台反向转动直升飞机防旋措施直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干CH47)165用尾浆（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）守恒例题一wA已知例BJA、B两轮共轴A以wA、B以ωB同向转动求两轮啮合后wAB一起转动的角速度解：wBAJ讨论：假若两轮的转动方向相反，则ω=？假设为ωA正，则有：【例】已知圆盘的质量M、半径R、及初角速度ω0。子弹m,以v0射入盘边缘，求此后盘转动的角速度。对M和m组成的系统，角动量守恒，有：解：【例】一半径为R、转动惯量为J的圆柱体可以绕水平固定的中心轴o无摩擦地转动。起初圆柱体静止，一质量为M的木块以速度v1在光滑平面上向右滑动，并擦过圆柱体上表面跃上另一同高度的光滑平面。设它和圆柱体脱离接触以前，它们之间无相对滑动，试求木块的最后速率v2。

【例】长