第三章 静定梁与静定刚架(李廉锟-结构力学)

第三章静定梁与静定刚架§3-1

单跨静定梁§3-2多跨静定梁§3-3

静定平面刚架§3-4

少求或不求反力绘制弯矩图§3-5静定结构的特性静定结构定义

在荷载等因素作用下，其全部支座反力和任意一截面的内力均可由静力平衡方程唯一确定的结构。

（a）静定梁（b）静定刚架§3-1

单跨静定梁静定结构的基本特征几何特征：未知力的数目=独立平衡方程式的数目。

超静定结构是有多余约束的几何不变体系,其反力和任意一截面的内力不能由静力平衡条件唯一确定。几何不变且无多余联系。静力特征：计算简图§3-1

单跨静定梁求解静定结构的方法采用截面法、应用平衡方程。容易产生的错误认识：

“静定结构内力分析无非就是选取隔离体，建立平衡方程，以前早就学过了，没有新东西”切忌：浅尝辄止§3-1

单跨静定梁

受弯构件，但在竖向荷载下不产生水平推力；其轴线通常为直线（有时也为曲线）。

梁：单跨静定梁从支承情况不同又分为：简支梁伸臂梁悬臂梁§3-1

单跨静定梁

通常先求出支座反力，采用截面法，建立平衡方程，计算控制截面的内力。

内力符号规定如下：轴力以拉力为正；剪力以绕微段隔离体顺时针转者为正；当弯矩使杆件下侧纤维受拉者为正。1.

任意截面的内力计算§3-1

单跨静定梁求所示简支梁任一截面的内力过程演示。解(1)求出支座反力。由整体平衡：§3-1

单跨静定梁

可以判定所有截面的轴力均为零,取截面Ⅰ-Ⅰ以左为隔离体。

(2)分别求截面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ和Ⅳ-Ⅳ的内力。

由

有

由

有§3-1

单跨静定梁取截面Ⅱ-Ⅱ以左为隔离体由§3-1

单跨静定梁由

取截面Ⅲ-Ⅲ以左为隔离体§3-1

单跨静定梁计算梁上任一截面内力的规律如下：

梁上某一截面的弯矩数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。

梁上某一截面的剪力数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力在沿截面的切线方向投影的代数和。

如果荷载不垂直于杆轴线，则梁的内力就会有轴力。梁上某一截面的轴力数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力在沿截面的法线方向投影的代数和。§3-1

单跨静定梁按照这个规律，写出截面Ⅳ-Ⅳ的内力为：也可以由截面Ⅳ-Ⅳ以截面Ⅳ-Ⅳ的内力右隔离体的平衡条件求得。§3-1

单跨静定梁2.内力图梁的内力图——弯矩图、剪力图、轴力图。弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号作内力图：1由内力方程式画出图形;2利用微分关系画出图形。内力图的含义？需彻底弄清，以免与后面的影响线混淆概念。§3-1

单跨静定梁3.荷载与内力的微分关系由平衡方程ΣY=0

和ΣMA=0可得合并写成在荷载连续分布的梁段上截取一微段梁

dM当某截面的剪力为零时，即———

=0。该截面的弯矩即

dx为这一梁段中的极大值（或极小值）。§3-1

单跨静定梁一般为斜直线水平线抛物线(下凸)有极值为零处有尖角(向下）

有突变(突变值=

FP)有极值如变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用

(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线()§3-1

单跨静定梁(1)求出梁的支座反力。（有时可不用先求出来）(2)找出梁的控制截面。(3)计算出各控制截面的内力值。(4)根据梁段上荷载的情况把各相邻控制截面点联线即成相应的剪力图和弯矩图。作内力图的步骤：控制截面选取的原则是每段梁上的荷载必须是连续的，因此梁上的集中荷载作用点，分布荷载的起始点和终点都是梁段的控制截面。§3-1

单跨静定梁FP

aFPlabABABlqql2

2应熟记常用单跨梁的弯矩图§3-1

单跨静定梁BAFlabFablBAqlql2

8§3-1

单跨静定梁mBAablml

alm

blmml§3-1

单跨静定梁4.叠加法作弯矩图（sectionsuperposition

method）叠加法要点：以梁段两端的弯矩值的连线作为基线，在此基线上迭加简支梁在此分布荷载作用下的弯矩图，即得最终的弯矩图。

如何作DE段弯矩图?§3-1

单跨静定梁叠加法作弯矩图§3-1

单跨静定梁分段叠加法作弯矩图§3-1

单跨静定梁

例3-1

试作图示简支的内力图。FA=58kNFB=12kN1.求支座反力2.控制截面及其弯矩的确定3.作弯矩图以及剪力图201826186416无荷载区域弯矩为直线EF段弯矩图如何作？MEqMFFsFFsE区段叠加法，并可求出：10如何由已知的弯矩图得到剪力图？Fs

图(kN

)M图(kNm).§3-1

单跨静定梁

例3-2

试作图示简支的内力图。解：(1)求支座反力。(3)计算各控制截面的内力值。(2)将梁分段，A、C、D、E、G、B点为控制截面点。§3-1

单跨静定梁注意：

1）集中力作用的截面其左、右两侧的剪力是不同的，两侧相差的值就是该集中力的大小。

2）集中力矩作用截面的两侧弯矩值也是不同的，其差值就是集中力矩的大小。

3）各截面的剪力等于截面左边所有各力在垂直于杆轴方向投影的代数和。§3-1

单跨静定梁

计算各控制截面的弯矩，各截面的弯矩等于该截面左边所有各力对截面形心力矩的代数和。§3-1

单跨静定梁881361127230M图(kN·m)24kN36kN44kN+_DEBCAFS图H（4）作内力图。40§3-1

单跨静定梁(5)计算分布荷载作用梁段的弯矩最大值。

DE段梁的弯矩最大截面就在剪力为零处，剪力为零的截面H的位置可由比例求出，其值为xH

=1.6m

。最大弯矩MH

为：24kN36kN44kN+_DEBCAFS图H§3-1

单跨静定梁受弯结构作内力图的方法总结:

材料力学中，一般是先作剪力图，再作弯矩图。而在结构力学中，对梁和刚架等受弯结构作内力图的顺序为：一般先求反力（不一定是全部反力）。利用截面法求控制截面弯矩。以便将结构用控制截面拆成为杆段（单元）。在结构图上利用区段叠加法作每一单元的弯矩图，从而得到结构的弯矩图。§3-1

单跨静定梁4.以单元为对象，对杆端取矩可以求得杆端剪力，在结构图上利用微分关系作每单元的剪力图，从而得到结构剪力图。需要指出的是，剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须标注正负号。以未知数个数不超过两个为原则，取结点由平衡求单元杆端轴力，在结构图上利用微分关系作每单元的轴力图，作法和剪力图一样，从而得到结构轴力图。5.综上所述，结构力学作内力图顺序为“先区段叠加作M图，再由M图作FS图，最后FS作FN图”。需要指出的是，这种作内力图的顺序对于超静定结构也是适用的。§3-1

单跨静定梁公路桥常使用多跨静定梁。一、多跨静定梁的定义计算简图层叠图二、多跨静定梁的组成及传力特征对上图所示梁进行几何组成分析:

基本部分：结构中不依赖于其它部分而独立与地基形成几何不变的部分。附属部分：结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分。AB部分,CD部分EF部分§3-2

多跨静定梁组成例子请弄清层叠关系a)仅一个基本部分b)竖向荷载下两个基本部分c)中间一个基本部分e)竖向荷载下两个基本部分d)竖向荷载下两个基本部分§3-2

多跨静定梁三、多跨静定梁的计算原则计算的次序与构造的次序相反。内力图：将各单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。对多跨静定梁进行受力分析:分析顺序：应先附属部分，后基本部分。避免解联立方程。

荷载在基本部分上，只基本部分受力，附属部分不受力；荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。§3-2

多跨静定梁例3-2试作图示多跨静定梁的内力图。解：(1)多跨梁各部分的关系:(2)对各部分进行受力分析：基本部分附属部分§3-2

多跨静定梁先附属，后基本1018105先求控制截面弯矩，再区段叠加12MG=-5*4+7.5*2=-5G§3-2

多跨静定梁如何由弯矩图到剪力图？剪力大小：由弯矩图斜率或杆段平衡条件；剪力正负：转动基线与弯矩重合，顺时针旋转则剪力为正，或由支座反力，集中荷载方向判别。§3-2

多跨静定梁例3-3：图示多跨静定梁全长受均布荷载q，各跨长度均为l。欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相等，试确定铰B、E的位置。(优化设计题）§3-2

多跨静定梁由MC=M1，可求得x多跨简支梁

多跨静定梁与一系列简支梁相比，材料用量可减少，但构造要复杂些。=>MC=0.0858ql2§3-2

多跨静定梁例3-4作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。方法：悬臂部分直接画；中间铰处的弯矩必定为零；无荷载区域弯矩为直线，剪力相同则弯矩斜率相同，叠加法(BC段)。§3-2

多跨静定梁由弯矩图到剪力图方法同前如何求支座C反力?注意:支座C左,右截面剪力方向§3-2

多跨静定梁课外例3-5试作图示多跨静定梁的内力图。不讲解：(1)作出多跨梁的关系图。(2)自上至下求各梁段的支座反力，得§3-2

多跨静定梁(↓)(↑)(↑)(↓)(↓)(↑)§3-2

多跨静定梁(3)逐段画出各跨梁的弯矩图和剪力图。

注意：中间铰处的弯矩必定为零。

+-+

总结：由弯矩图到剪力图的方法，剪力大小，正负判别。§3-2

多跨静定梁

由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份结点为刚结点。

——若刚架各杆的轴线在同一平面内，而且荷载也可以简化到此平面内，即称为平面刚架。

联结于刚性结点各杆之间不能产生相对转动，各杆之间的夹角在变形过程中始终保持不变。刚性结点可以承受和传递弯矩。

平面刚架刚架：

1.刚架的特点保持角度不变§3-3

静定平面刚架2.静定平面刚架(frame)简支刚架三铰刚架悬臂刚架ABCDDE静定刚架§3-3

静定平面刚架3.静定刚架的计算方法

先求出支座反力,然后采用截面法,由平衡条件求出各杆端的内力,就可画出内力（弯矩,剪力和轴力）图。内力正负号的规定：

轴力以拉力为正；弯矩不定义正负号，只将弯矩图画在受拉纤维的一侧。剪力以对该截面有顺时针转动的趋势为正；

轴力图与剪力图可画在杆件的任一侧,须注明正负号。原则上与静定梁相同§3-3

静定平面刚架4.三铰刚架支座反力的计算

根据三铰刚架的特点，先考虑整体平衡，求出一部份未知反力，再考虑局部平衡就可以求出全部的支座反力由ΣX=0考虑整体平衡考虑D铰右侧部分平衡5.内力符号脚标第一个脚标:内力所属截面;第二个脚标:该截面所属杆件的另一端。§3-3

静定平面刚架例3-5

试作图示静定刚架的内力图。1.求反力48kN42kN22kN2.分段作弯矩图(单位：kN*m)12619248MCA如何求?14412刚结点力矩平衡条件§3-3

静定平面刚架由弯矩图=>剪力图由剪力图=>轴力图3.作剪力图4.作轴力图刚结点投影平衡条件§3-3

静定平面刚架例3-7试作图示刚架的弯矩图基本部分附属部分§3-3

静定平面刚架弯矩图如何?§3-3

静定平面刚架§3-3

静定平面刚架例3-10试作图示三铰刚架的内力图。

解根据三铰刚架的特点，先考虑整体平衡，求出一部份未知反力，再考虑局部平衡就可以求出全部的支座反力。(1)

求支座反力考虑整体平衡，由ΣX=0水平反力为：FxA=FxB，具体数值尚为未知。§3-3

静定平面刚架再由：§3-3

静定平面刚架考虑C

铰左侧部份平衡因而§3-3

静定平面刚架

(2)

作内力图，求出各杆端的内力然后连线成图。(3)校核

截取结是D

和E,可判断其满足平衡条件,计算无误。§3-3

静定平面刚架

作弯矩图的根据弯矩图的形状特征（微分关系）

无荷区段弯矩为直线，铰处弯矩为零2.刚结点力矩平衡3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合)4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)5.区段叠加法作弯矩图6.利用对称性弯矩图的绘制是结构力学的基本功§3-4少求或不求反力绘制弯矩图不经计算画图示结构弯矩图FP§3-4少求或不求反力绘制弯矩图

5kN304020207545例3-8绘制图示刚架内力图其他内力图自己画§3-4少求或不求反力绘制弯矩图例3-9绘制图示刚架弯矩图FPFPFPFPaFPaFPaFPaFPaFPa2FP2FP§3-4少求或不求反力绘制弯矩图FByFAyFAx602401804040

M图kNm.§3-4少求或不求反力绘制弯矩图FPaaaaaFPaFPaFPaFPa2FPa平行2FP§3-4少求或不求反力绘制弯矩图1.静定结构的基本特性

静力特征：静定结构的全部反力和内力都可以由平衡条件完全确定而且解答是唯一的。超静定结构在同一荷载作用下，满足平衡条件的解答可以有多种，必须考虑变形条件后才能获得唯一的解答。

几何特征：静定结构是几何不变且无