第三章 资金时间价值

第三章资金的时间价值与等值计算本章主要内容资金时间价值的概念及等值的概念利息、利率及计算资金等值计算变额现金流量的计算本章重点（1）资金时间价值的概念、等值的概念和六个基本的复利计算公式；（2）名义利率和实际利率。本章难点（1）名义利率和实际利率（2）等差序列和等比序列现金流量的等值计算第一节资金的时间价值（一）资金的时间价值1、概念——资金（货币）在生产和流通过程中，随着时间的推移而产生的增值。即不同时间发生的等额资金在价值上的差别。

资金的时间价值是商品经济中的普遍现象，体现在：

（1）货币增值：社会在生产过程中，投入的资金变为生产要素进入有效的流通领域后，使原有的货币增值。（2）承担风险：资金拥有者将资金存入银行或进行投资后，就失去了货币的使用权，也面临着投资风险，而利息、红利等相当于一种风险补偿。（3）货币贬值：正常经济社会存在通货膨胀因素，会导致货币的贬值，只有自己今年进入流通领域或再生产才会增值。2、资金时间价值的意义

第一，它是衡量项目经济效益、考核项目经营成果的重要依据。第二，它是进行项目筹资和投资必不可少的依据。资金时间价值的大小取决于本金的数量多少，占用时间的长短及利息率（或收益率）的高低等因素。3、资金等值计算的概念资金的时间价值表明，在不同的时间付出或得到相同的数额的资金，其经济价值是不相等的。按照一定利率将不同时点的资金折算至某一相同时点，就是资金的等值计算。第二节利息、利率及其计算（一）利息、利率与计息周期（1）利息（I）意义：是衡量资金时间价值的绝对尺度，是一种机会成本定义式：利息=还本付息总额-本金（I=F-P）（2）利率（i）意义：是衡量资金时间价值的相对尺度。定义式：单位时间内利息与期初本金之比

i=（I/P）×100%（3）计息周期表示计算利息的时间单位，通常为年、季、月、周或日。第二节利息、利率及其计算（二）单利与复利

1、单利法（利不再生利）

设本金为P，存期为n年，年利率为i，求第n年末的本利和F

F=P+P·n·i=P(1+n·i)

注:在计算本利和F时，注意式中的n和i反映的周期要匹配。如i为年利率，则n应为计息的年数；若i为月利率，则n即应为计息的月数。

由于单利法只部分的考虑了资金的时间价值，但不彻底，所以是一种不完善的计息方法，通常只用于短期投资及投资期不超过一年的投资。第二节利息、利率及其计算（二）单利与复利

2、复利法（利滚利）

设本金为P，存期为n年，年利率为i，求第n年末的本利和F

注:复利法能够比较充分的反映资金的时间价值，也更符合客观实际，因此，实际中得到广泛的应用，在工程经济分析中一般都采用复利计息。例1.现借入1000元，年利率为8%，分别用单利法和复利法计算第四年偿还的本利和为多少？一、单利法使用期/年年初款额年末利息年末本利和年末偿还110001000×8%=801080210801000×8%=801160311601000×8%=801240412401000×8%=8013201320例1.现借入1000元，年利率为8%，分别用单利法和复利法计算第四年偿还的本利和为多少？二、复利法使用期/年年初款额年末利息年末本利和年末偿还110001000×8%=801080210801080×8%=86.41166.431166.41166.4×8%=93.311259.7141259.711259.71×8%=100.781360.491360.49三、名义年利率与实际利率

a.名义利率（r）

如本金1000元，年利率为12％，每年计息12次——12％为名义利率，实际相当于月利率为1％。

年名义利率也是周期利率与每年（设定付息周期为一年）计息周期数的乘积，即：

年名义利率=计息周期利率×年计息周期数

r=i×m

例如，半年计算一次利息，半年利率为4%，1年的计息周期数为2，则年名义利率为4%×2=8%。通常称为“年利率为8%，按半年计息”。这里的8%是年名义利率。

在技术经济学分析中，复利计算通常以年为计息周期，官方公布的利率一般是按一年计息一次所对应的利率（利息与本金的比值），称名义利率。但在实际经济活动中，计息周期有年、季度、月等就会出现不同计息周期的利率换算问题,因而就产生了名义利率与实际利率。三、名义利率与实际利率b、实际利率ieff

若用计息周期利率来计算利率周期利率，并将利率周期内的利息再生因素考虑进去，这时所得的利率周期利率称为利率周期实际利率（又称有效利率）。

三、名义利率与实际利率c、名义利率r与实际利率ieff

的关系若按单利计息，名义利率和实际利率是一致的；若按复利计息，则两者不相等。

已知名义利率为r，一个利率周期内计息m次，则单位计息周期的利率为r/m，年末本利和为在一年内产生的利息为利用利率的定义，该利率周期内的实际利率ieff为：由实际利率公式可看出，当m=1，则，即若一年中只计息一次，付息周期与计息周期相同，这时名义利率与实际利率相等。思考：当m＞1时？例：现设年名义利率r=10%，则年、半年、季、月、日的年实际利率如表：年名义利率(r)计息期年计息次数(m)计息期利率(i=r/m)年实际利率(ieff)10%年110%10%半年25%10.25%季42.5%10.38%月120.833%10.47%日3650.0274%10.52%从上表可以看出，按复利计息法，当m=1,r=ieff

；当m>1,r<ieff

。每年计息期m越多，ieff与r相差越大。所以，在进行分析计算时，对名义利率一般有两种处理方法将其换算为实际利率后，再进行计算；直接按单位计息周期利率来计算，但计息期数要作相应调整3、间断计息与连续计息复利计息有间断复利和连续复利之分。如果计息周期为一定的时间（如年、季、月）并按复利计息，称为间断计息。如果计息周期缩短，短到任意长的时间均可，也就是无限缩短，则称为连续复利计息。连续复利的计算公式推导由上面的讨论可知，对同一个年利率，计息次数越多，也就是计息周期越小，实际利率就越高。对于名义利率r，若在一年中使计息次数无限多，也就是使计息周期无限小，就可以得出连续复利的一次性支付计算公式如下：自然对数的底，其值为2.7182818例题：某地向世界银行贷款100万美元，年利率为10％，试用间断计息法和连续计息法分别计算5年后的本利和。解：用间断复利计算：

F=P(1+i)n

=100×（1+10％）5＝161.05（万）或：F=P(F/P,i,n)=100(F/P,10%,5)=100×1.6105＝161.05（万）用连续复利计息计算：利率：i=er-1

F=P(1+i)n=P(1+er-1)n=Pern=100×e0.1×5＝164.887（万）

例题：假如按季计算利息，季利率5%，则年名义利率是多少？年实际利率是多少？解：名义利率=5%×4=20%；实际利率=（1+5%）4-1=21.55%第三节资金等值的计算（1）资金等值的概念指在考虑时间因素的情况下，不同时点上绝对值不等的资金可能具有相等的价值。利用等值的概念，可把一个时点的资金额换算成另一时点的等值金额，这一过程就叫资金等值计算。把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金额称为“贴现”或“折现”。将来时点上的资金折现后的资金金额称为“现值”。与现值等价的将来某时点的资金金额称为“终值”。

3、资金等值的计算（复利计算）（2）几个基本参数现值（P）；终值（F）；等额年金或年值（A）；利率、折现或贴现率、收益率（i）；计息期数（n）。

决定资金等值的因素：资金数额、资金发生的时刻、利率（关键因素）。3、资金等值的计算（复利计算）（3）资金等值计算的基本公式一次支付（整付）公式①一次性支付终值公式（已知P求F）

②一次性支付现值公式（已知F求P）等额分付类型③（等额）年金终值公式（已知A求F）④偿债基金（等额存储）公式（已知F求A）⑤（等额）年金现值公式（已知A求P）⑥资金回收（等额支付）公式（已知P求A）①一次性支付终值公式（已知P，求F）：公式：F=P(1+i)n式中(1+i)n称为一次收付终值(期值)系数或一次收付复本利和因子，记为(F/P,i,n)。则F=P（F/P,i,n)n0

PF=?i

例题：某人借款10000元，年利率10%，复利计息。试问借款人5年末连本带利一次偿还需支付的金额是多少？解：分析：由于此题是求在5年末需支付钱数，相当于知道了现值求终值，所以由公式：F=P(F/P,i,n)F=10000（F/P，10%，5），从附录中查出系数（F/P，10%，5）=1.6105，代入式中得：F=10000×1.6105=16105②一次性支付现值公式（已知F，求P）：公式：P=F(1+i)-n式中(1+i)-n称为一次收付现值系数，可用符号(P/F,i,n)表示。则P=F(P/F,i,n)n0

P=?Fi

例题：某人希望5年末得到10000元的资金，年利率是i=10%，复利计息，试问现在他必须一次性存款多少元？解：分析：由于此题是求在5年前存的钱数，相当于知道了本利和F=10000.求本金P的值，根据公式：

P=F(P/F,i,n)=F(1+i)-n

=10000(1+10%)-5=6209元。练习1：某公司决定进入新领域进行项目开发，需向银行贷款100万元，年利率为12%，借期4年，4年后向银行偿付的本利和应为多少？（157.4万元）练习2：某用户为孩子8年后可以得到30000元的教育基金，现应存入银行多少资金？银行年利率为6%。（18822.3元）

3、资金等值的计算（复利计算）等额分付类型

等额系列现金流量是指现金流量序列是连续的，且数额相等。即At=A=常数（t=1,2,3…n）At表示第t期末发生的现金流量大小，可正可负。

在应用等额分付公式时注意前提条件：a.等额支付现金流量A（年金）连续地发生在每期期末；

b.现值P发生在第一个A的期初，即与第一个A相差一期；

c.未来值F与最后一个A同时发生。

3、资金等值的计算（复利计算）等额分付类型基本公式

③等额年金终值公式（已知A求F）④偿债基金（等额存储）公式（已知F求A）⑤等额年金现值公式（已知A求P）⑥资金回收（等额支付）公式（已知P求A）③等额年金终值公式（已知A求F）由基本公式F==A[(1+i)n-1+(1+i)n-2+……(1+i)+1]=A式中被称为年金终值系数,表达式为(F/A,i,n)则F=A(F/A,i,n)

1023…………nAiF=?例题：若某人10年内，每年年末存入银1000元，年利率8%，复利计息，问10年末他可从银行连本带利取出多少钱？解：分析：由于每年存入1000元，相当于每年支付相同数额资金，求10年末的本利和，应用等额系列终值公式进行计算。首先绘出现金流量图：由公式F=A(F/A,i,n)可得出:F=1000(F/A,8%,10)=14486.6(元)0……123101000F=？i=8%④偿债基金（等额存储）公式（已知F求A）由于偿债基金计算是等额系列终值计算的逆运算,即是已知本利和F,求A的大小。现在我们已知求本利和的公式，因此A=F，式中称为偿债基金系数，用符号（A/F，i,n)表示，即A=F(A/F，i,n)。

1023…………nA=？iF例题：某人欲在第5年年末获得10000元，若每年存款金额相等，年利率为10%，复利计息，则每年年末需存款多少钱？解：分析，由于想在第5年末得到10000，相当于知道本利和F=10000,求每年存款数A的大小。首先画出现金流量图：由公式A=F(A/F,i,n)=10000(A/F,10%,5)=10000*0.1638=1638(元）012345F=10000A=？i=10%⑤等额年金现值公式（已知A求P）由公式P=F(1+i)-n=A式中称为等额年金现值系数，其表达式为（P/A,i,n)，则P=A(P/A,i,n)01234niP=？…………A例题:某人希望在以后每年年末可从银行取回1000元，年利率为10%，复利计息，问他必须现在存入多少钱？解：分析：由于他每年末都要取回1000元，就相当于等额现金流量，即A=1000，求现值P的大小，应用等额系列现值公式。首先画出现金流量图：由公式P=A(P/A,i,n)=1000（P/A,10%,5)=1000*3.7908=3790.8(元）P=？A=1000012345i=10%⑥资金回收（等额支付）公式（已知P求A）

由于等额系列资金回收计算是等额系列现值计算的逆运算,相当于已知现值P,求出A的大小.

现在我们已知现值的公式,那么A=P,

式中称为等额系列资金回收系数,用符号(A/P,i,n)来表示,即A=P(A/P,i,n).01234niP…………A=？例题：若某人现在投资10000元，年回报率为8%，每年年末等额获得收益，10年内收回全部本利，则每年应收回多少元？解：分析：由于是现在投资10000元，就是已知资金现值P=10000元，求每年等额回收的资金A。首先画出现金流量图：由公式：A=P(A/P,i,n)=10000(A/P,8%,10)=10000*0.1490=1490(元）P=10000……012A=？310i=8%复利公式总结一次支付类型：等额支付类型：小结：复利系数之间的关系

与互为倒数与互为倒数与互为倒数

（F/A，i，n）=（P/A，i，n）（F/P，i，n）（F/P，i，n）=（A/P，i，n）（F/A，i，n）小结※复利计算公式使用注意事项：本期末即等于下期初。0点就是第一期初，也叫零期；第一期末即等于第二期初；余类推。P是在第一计息期开始时（0期）发生；F发生在考察期期末，即n期末；各期的等额支付A，发生在各期期末；当问题包括P和A时，系列的第一个A与P隔一期，即P发生在系列A的前一期；当问题包括A与F时，系列的最后一个A时与F同时发生；

资金时间价值（等值）的具体应用

[例题1]先付年金

某工程基建五年，每年年初投资100万元，该工程投产后年利润率为10%，试计算投资于期初的现值和第五年末的终值。

解：设投资在期初前一年初的现值为P-1，投资在期初的现值为P0，投资在第四年末的终值为F4，投资在第五年末的终值为F5。例题、

1.某人决定分别在2002年、2003年、2004年和2005年各年的1月1日分别存入5000元，按10%利率，每年复利一次，要求计算2005年12月31日的余额是多少？

[练习2]某公司计划将一批技术改造资金存入银行，年利率为5%，供第六、七、八共三年技术改造使用，这三年每年年初要保证提供技术改造费用2000万元，问现在应存入多少资金？`01234567200020002000P0P4图2现金流量图递延年金—即第一次首付款不是发生在第一期期末，而是隔若干期后才发生生的等额收付系列图2现金流量图解：设现金存入的资金为P0，第六、七、八年初（即第五、六、七年末）的技术改造费在第四年末的现值为P4。

答：现应存入的资金为4480.8万元。永续年金[练习3]某地方政府一次性投入5000万元建一条地方公路，年维护费为150万元，折现率为10%，求现值。解析：该公路可按无限期考虑，年维护费为等额年金可利用年金现值公式求当n→∞时的极限来解决。所以，现值P=5000+150/10%=6500（万元）[练习1]

某公司计划将一批技术改造资金存入银行，年利率为5%，供第六、七、八共三年技术改造使用，这三年每年年初要保证提供技术改造费用2000万元，问现在应存入多少资金？[练习2]

贷款上大学，年利率6％，每学年初贷款10000元，4年毕业，毕业1年后开始还款，5年内按年等额付清，每年应付多少？[练习3]

某机构准备在某大学设立一项奖学金，假设年利率为10%，如果每年末发放一次，每次10万元，那么发10年此机构需要出资多少？如果每两年发放一次，每次20万元，那么情况又是如何？[练习4]

某公司拟租赁一间厂房，期限是10年，假设年利率是10%，出租方提出以下几种付款方案：

（1）立即付全部款项共计20万元；

（2）从第4年开始每年年初付款4万元，至第10年年初结束；

（3）第1到8年每年年末支付3万元，第9年年末支付4万元，第10年年末支付5万元。

要求：通过计算回答该公司应选择哪一种付款方案比较合算？

[不等额系列现金流量]

现有一项目，其现金流量为：第一年末支付1000万元，第二年末支付1500万元，第三年收益200万元，第四年收益300万元，第五年收益400万元，第六年到第十年每年收益500万元，第十一年收益450万元，第十二年收益400万元，第十三年收益350万元，第十四年收益450万元，设年利率为12%，求（1）现值；（2）终值；（3）第二年末项目的等值解：分析，第一和第二年现金流量为负，后面各年现金流量为正；第六年到第十年是等额系列现金流量，可先将其转化为第十年末的终值；然后利用等值公式换算为现值，求出（1）；（2）和（3）可以利用（1）的结果求出先画出现金流量图：（1）首先将第六年到第十年的年值转换为第十年末的终值，则有：

F=A(F/A,12%,5)=500*6.3528=3176.4万元再将各年的现金流量转换为现值，则有：

P=200(P/F,12%,3)+300(P/F,12%,4)+400(P/F,12%,5)+3176.4(P/F,12%,10)+450(P/F,12%,11)+400200(P/F,12%,12)+350(P/F,12%,13)+450(P/F,12%,14)-1000(P/F,12%,1)-1500(P/F,12%,2)=-101.584万元（2）F=P(F/P,12%,14)=-101.584*4.8871=-496.452万元（3）F=P(F/P,12%,2)=-101.584*1.2544=-127.427万元43213005004002001000150045040035045005678910111213i=12%（一）计息周期等于支付周期的计算解：半年计息利率是i=12%/2=6%,n=3×2=6P=A(P/A,i,n)=100×（P/A，6%，6）

=100×4.9173=491.73

特别应注意，对于等额系列流量，只有计息周期与收付周期一致时才能按计息期利率计算，否则只能用收付期实际利率来进行计算。

名义利率与实际利率的计算【例题】年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，连续3年，每半年作100万元的等额支付，问与其等值的现值为多少？有人目前借入2000元，在今后2年中分24次偿还。每次偿还99.80元，复利按月计算，试求月实际利率、年名义利率和年实际利率。例：即

解：年实际利率

查表可得～月实际利率年名义利率（二）计息周期小于支付周期的计算

【例题1】

年利率为10%，每半年计息一次，从现在起连续3年的等额年末支付为500万，与其等值的第0年的现值是多少？（二）计息期小于支付期例题2：年利率为12%，每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多少？分析：计息期为一个月，支付期为一个季度，即3个月，计息期短于支付期。这样，计息期末不一定有支付，所以不能直接采用利息公式计算，需要进行修改，使之符合计息公式，修改方法有如下三种：F=?0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度支付期为1年，名义利率为12％，计息4次年有效利率：

ieff=(1+r/m)m–1=(1+12％/4)4–1＝12.55％由此可得：

F=A(F/A,i,n)=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923＝3392元方法一：先求出支付期的有效利率，然后在此基础上进行计算。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000=3392元方法二：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度F=?方法三：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列。012341000元01234239239239239将年度支付转换为计息期末支付A=F(A/F,i,n)=1000(0.2390)=239（元）r=12%,n=4,则I=12%÷4＝3％经过转变后，计息期和支付期完全重合，可直接利用利息公式进行计算，并适用于后两年。F=A(F/A,i,n)=A(F/A,3%,12)=239×14.192＝3392元F=?0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度F=?ⅠⅡⅢ年度0123456789101112季度239239239239239239239239239239239（三）计息期大于支付期由于计息期内有不同时刻的支付，通常规定存款必须存满一个计息周期时才计利息，即在计息周期间存入的款项在该期不计算利息时，要在下一期才计算利息。因此，原财务活动的现金流量图应按以下原则进行整理：计息期间的存款放在期末，计息期间的提款放在期初，计息期