【优化方案】高考数学总复习 第2章第12课时导数与函数的单调性、极值精品课件 文 新人教A

第12课时导数与函数的单调性、极值第12课时导数与函数的单调性、极值考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1．函数的单调性(1)(函数单调性的充分条件)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为__________函数；如果f′(x)<0，则f(x)为__________函数．(2)(函数单调性的必要条件)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果y＝f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内有_________

(或____________)．单调递增单调递减f′(x)≥0f′(x)≤02．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个_________，记作____________；如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0)，我们就说f(x0)是f(x)的一个_________，记作____________极大值与极小值统称为________极大值y极大值＝f(x0)极小值y极小值＝f(x0)．极值．(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是__________②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是_________极大值．极小值．思考感悟导数为零的点都是极值点吗？提示：不一定是．例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．考点探究·挑战高考求函数的单调区间考点一考点突破求函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0或f′(x)<0，解出相应的x的范围，当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．例1由单调性确定参数范围考点二已知函数单调调性，求参数数范围．设函数f(x)在(a，b)内可导，若f(x)在(a，b)内是增函数，，则可得f′(x)≥0，从而建立了了关于待求参参数的不等式式，同理，若若f(x)在(a，b)内是减函数，，则可得f′(x)≤0.已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，，求a的取值范围．．【思路分析】(1)通过解f′(x)≥0求单调递增区区间；(2)转化为恒成立立问题，求a.例2【解】(1)f′(x)＝ex－a.若a≤0，f′(x)＝ex－a>0恒成立，即f(x)在R上递增．若a>0，ex－a>0⇒ex>a⇒x>lna.∴f(x)的单调递增区区间为(lna，＋∞)．(2)∵f(x)在R内单调调递增增，∴f′(x)≥0在R上恒成成立．．∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成成立．．∴a≤(ex)min，又又∵ex>0，∴a≤0.【误区区警警示示】(2)中易易忽忽略略“a≤0”中的的“＝”．．互动动探探究究在例例2条件件下下，，问问是是否否存存在在实实数数a，使使f(x)在(－∞，0]上单单调调递递减减，，在在[0，＋＋∞)上单单调调递递增增？？若若存存在在，，求求出出a的值值；；若若不不存存在在，，说说明明理理由由．．解：：法法一一：：由由题题意意知知ex－a≤0在(－∞∞，，0]上恒恒成成立立．．∴a≥ex在(－∞∞，，0]上恒恒成成立立．．∵ex在(－∞∞，，0]上为为增增函函数数．．∴x＝0时，，ex最大大为为1.∴a≥1.同理理可可知知ex－a≥0在[0，＋＋∞∞)上恒恒成成立立．．∴a≤ex在[0，＋＋∞∞)上恒恒成成立立，，∴a≤1，综上上，，a＝1.法二二：：由由题题意意知知，，x＝0为f(x)的极极小小值值点点．．∴f′(0)＝0，即即e0－a＝0，∴∴a＝1.求函数的极值考点三求可可导导函函数数f(x)极值值的的步步骤骤：：(1)确定定函函数数的的定定义义域域；；(2)求导导数数f′(x)；(3)求方方程程f′(x)＝0的根根；；(4)检验验f′(x)在方方程程f′(x)＝0的根根的的左左右右两两侧侧的的符符号号，，如如果果在在根根的的左左侧侧附附近近f′(x)>0，右右侧侧附附近近f′(x)<0，那那么么函函数数y＝f(x)在这这个个根根处处取取得极极大大值值；；如如果果在在根根的的左左侧侧附附近近f′(x)<0，右右侧侧附附近近f′(x)>0，那那么么函函数数y＝f(x)在这这个个根根处处取取得得极极小小值值．．(2010年高高考考安安徽徽卷卷)设函函数数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π，求函数数f(x)的单调区区间与极极值．【思路分析析】按照求函函数单调调区间和和极值的的步骤求求解．例3当x变化时，，f′(x)，f(x)的变化情情况如下下表：【规律小结结】(1)可导函数数的极值值点必须须是导数数值为0的点，但但导数值值为0的点不一一定是极极值点，，即f′(x0)＝0是可导函函数f(x)在x＝x0处取得极极值的必必要不充充分条件件．例如如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极极值点点．此此外，，函数数不可可导的的点也也可能能是函函数的的极值值点．．方法感悟方法技技巧1．注意意单调调函数数的充充要条条件，，尤其其对于于已知知单调调性求求参数数值(范围)时，隐隐含恒恒成立立思想想．2．求极极值时时，要要求步步骤规规范、、表格格齐全全，含含参数数时，，要讨讨论参参数的的大小小(如例3)．失误防防范1．利用用导数数讨论论函数数的单单调性性需注注意的的几个个问题题(1)确定函函数的的定义义域，，解决决问题题的过过程中中，只只能在在函数数的定定义域域内，，通过过讨论论导数数的符符号，，来判判断函函数的的单调调区间间．(2)在对函函数划划分单单调区区间时时，除除了必必须确确定使使导数数等于于0的点外外，还还要注注意定定义区区间内内的不不连续续点或或不可可导点点．(3)注意在在某一一区间间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数数f(x)在该区区间上上为增增(或减)函数的的充分分条件件．2．可导导函数数的极极值(1)极值是是一个个局部部性概概念，，一个个函数数在其其定义义域内内可以以有许许多个个极大大值和和极小小值，，在某某一点点的极极小值值也可可能大大于另另一点点的极极大值值，也也就是是说极极大值值与极极小值值没有有必然然的大大小关关系．．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，，那么f(x)在(a，b)内绝不是单单调函数，，即在某区区间上单调调增或减的的函数没有有极值．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的的广东高考考试题来看看，利用导导数来研究究函数的单单调性和极极值问题已已成为炙手手可热的考考点，既有有小题，也也有解答题题，小题主主要考查利利用导数研研究函数的的单调性和和极值，解解答题主要要考查导数数与函数单单调性，或或方程、不不等式的综综合应用．．预测2012年广东高考考仍将以利利用导数研研究函数的的单调性与与极值为主主要考向．．规范解答例【名师点评】本题考查了了利用导数数求函数极极值及单调调性问题，，考生失误误在于：一一是求导后后不会因式式分解成积积的形式，，二是由(*)式确定a的范围不会会或忽略分分类讨论．．名师预测1．(教材习题改改编)函数f(x)＝x3－3x的单调递减减区间是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－－1)，(1，＋＋∞)答案案：：C2．函函数数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已已知知f(x)在x＝－－3时取取得得极极值值，，则则实实数数a等于于()A．2B．3C．4D．5答案案：：D3．(教材材习习题题改改编编)