高二上学期数学人教A版选择性必修等差数列的概念与通项公式同步练Word含解析

2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册等差数列的概念第一课时等差数列的概念与通项公式一、选择题1.设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于() 2.已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于() 3.在数列{an}中，若eq\r(an＋1)＝eq\r(an)＋eq\r(2)，a1＝8，则数列{an}的通项公式为()＝2(n＋1)2 ＝4(n＋1)＝8n2 ＝4n(n＋1)4.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是()\f(7,3)斤 \f(7,2)斤\f(5,2)斤 斤5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是()A.第7项 B.第8项C.第9项 D.第10项6.已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若{eq\f(1,1＋an)}是等差数列，则a11等于() \f(1,6)\f(1,3) \f(1,2)7.(多选题)已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，则下列说法正确的有()A.数列{an}是等差数列 ＝7－2k(k∈N*)－1＝12－2k(k∈N*) ＋an＋1＝18－3n8.(多选题)在数列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有()A.若{an}是等方差数列，则{aeq\o\al(2,n)}是等差数列B.数列{(－1)n}是等方差数列C.若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{an}一定是常数列D.若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列二、填空题9.在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cosB＝________.10.已知等差数列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，则a12＝________.11.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.三、解答题12.在等差数列{an}中，(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项.(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.13.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由.(2)求an.14.在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*).(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若λan＋eq\f(1,an)≥λ对任意的n≥2恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案及解析1.答案：D解析：由a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝6，解得d＝1.2.答案：A解析：设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，))解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.3.答案：A解析：由题意得eq\r(an＋1)－eq\r(an)＝eq\r(2)，故数列{eq\r(an)}是首项为eq\r(a1)＝2eq\r(2)，公差为eq\r(2)的等差数列，所以eq\r(an)＝2eq\r(2)＋eq\r(2)(n－1)＝eq\r(2)n＋eq\r(2)，故an＝2(n＋1)2.4.答案：B解析：依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－eq\f(1,2)，所以a2＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).5.答案：B解析：∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项.6.答案：A解析：∵eq\f(1,1＋a3)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,1＋a5)＝eq\f(1,2)，设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋an)))的公差为d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋a1)＋2d＝\f(1,3)，,\f(1,1＋a1)＋4d＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋a1)＝\f(1,6)，,d＝\f(1,12).))∴eq\f(1,1＋an)＝eq\f(1,6)＋(n－1)·eq\f(1,12)，∴eq\f(1,1＋a11)＝eq\f(1,6)＋eq\f(11－1,12)＝eq\f(11＋1,12)＝1，∴a11＝0.7.答案：BC解析：由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差数列，A不正确；由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k(k∈N*)时，a2k＝a2＋(k－1)×(－2)＝7－2k，当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k－1＝a1＋(k－1)×(－2)＝12－2k，故B，C都正确；当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误.8.答案：ABCD解析：根据等方差数列的定义易知A正确；因为(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，所以数列{(－1)n}是等方差数列，B正确；若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，设公差为d，则aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝(an－an－1)·(an＋an－1)＝d[2a1＋(2n－3)d]＝2a1d＋(2n－3)d2＝p.又p为常数，所以d＝0，C正确；若数列{an}是等方差数列，则aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p，aeq\o\al(2,kn)－aeq\o\al(2,k（n－1）)＝(aeq\o\al(2,kn)－aeq\o\al(2,kn－1))＋(aeq\o\al(2,kn－1)－aeq\o\al(2,kn－2))＋(aeq\o\al(2,kn－2)－aeq\o\al(2,kn－3))＋…＋(aeq\o\al(2,kn－k＋1)－aeq\o\al(2,kn－k))＝kp为常数，D正确.9.答案：eq\f(1,2)解析：∵B是A和C的等差中项，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，cosB＝eq\f(1,2).10.答案：13解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＝a1＋3d，,a1＋9d＝11，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2,d＝1.))故a12＝2＋11＝13.11.答案：eq\f(67,66)解析：设此等差数列为{an}，公差为d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).12.解：(1)因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝15，,a1＋16d＝39，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝7，,d＝2，))所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项.(2)设{an}的公差为d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝11，,a1＋7d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝－1.))∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3.13.解：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列.理由如下：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差d＝eq\f(1,2)的等差数列.(2)由(1)可知，eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，所以an＝eq\f(2,n).14.(1)证明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)，整理得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝3(n≥2，n∈N*)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，3为公差的等差数列.(2)解：由(1)可得eq\f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝eq\f(1,3n－2).(3)解：λan＋eq\f(1,an)≥λ对任意的n≥2恒成立，即eq\f(λ,3n－2)＋3n－2≥λ对任意的n≥2恒成立，整理得λ≤eq\f(（3n－2）2,3n－3)，对任意的n≥2恒成立.令f(n)＝eq\f(（3n－2）2,3n－3)，则只需满足λ≤f(n)min即可.因为f