集合间的基本关系同步练习（含答案）

集合间的基本关系1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)任何集合至少有两个子集．(×)(2){0,1,2}⊆{2,0,1}．(√)(3)若A⊆B，且A≠B，则AB.(√)(4)集合{0,1}的子集是{0}，{1}，{0,1}．(×)题型1集合间关系的判断2．下列图形中，表示M⊆N的是(C)ABCD3．下列各个关系式中，正确的是(D)A．∅＝{0} B．eq\r(2)∈QC．{3,5}≠{5,3} D．{1}⊆{x|x2＝x}解析：因为∅{0}，eq\r(2)∉Q，{3,5}＝{5,3}，所以A，B，C错误；{x|x2＝x}＝{0,1}，所以{1}⊆{x|x2＝x}成立，所以D正确．故选D.4．判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；(3)M＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(n,2)，n∈Z，N＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(1,2)＋n，n∈Z.解：(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝∅，所以BA.(3)对于集合M，其组成元素是eq\f(n,2)，分子部分表示所有的整数；对于集合N，其组成元素是eq\f(1,2)＋n＝eq\f(2n＋1,2)，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，NM.题型2确定集合的子集、真子集5．满足{2019}⊆A{2019,2020,2021}的集合A的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意可得A可以为{2019}，{2019，2020}，{2019，2021}，因此满足条件的集合A的个数为3.6．满足条件{x|x2－1＝0}⊆A{－1,0,1,2,5}的集合A的个数为(A)A．7 B．6C．8 D．5解析：因为{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，所以{－1,1}⊆A{－1,0,1,2,5}，所以集合A可以是{－1,1}，{－1,1,0}，{－1,1,2}，{－1,1,5}，{－1,1,0,2}，{－1,1,0,5}，{－1,1,2,5}，共7个．7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．解：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．题型3由集合之间的关系求参数8．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(C)A．0 B．1C．2 D．－1解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x2，,y＝0，,x≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0.))符合题意．所以2x＋y＝2.9．若非空数集A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的所有a的集合是(B)A．{a|1≤a≤9} B．{a|6≤a≤9}C．{a|a≤9} D．∅解析：因为A为非空数集，所以2a＋1≤3a－5，即a≥6.又A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≥3，,3a－5≤22，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥1，,a≤9.))所以1≤a≤9.综上可知，6≤a≤9.10．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝__－1或2__.解析：因为B⊆A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足B⊆A；当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足B⊆A.②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，当a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合元素的互异性．综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2.易错点1利用数轴求参数时忽略端点值能否取到致误11．已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B⊆A，则a的取值范围为__{a|a<－8或a≥3}__．解析：利用数轴法表示B⊆A，如图所示，则a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.[误区警示]在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界处能否取等号，否则会导致解题结果错误．正确的做法就是把端点值代入原式，看是否符合题目要求．易错点2忽略对参数的讨论12．已知集合E＝{x|eq\r(x2)＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．解：E＝{x|eq\r(x2)＝0}＝{0}．下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2.①当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F.②当a≠1时，Δ>0，方程有两个不相等的实数根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，EF.综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，EF.[误区警示]本题易认为E＝{x|eq\r(x2)＝0}＝{0}，F＝{0，a－1}，忽略方程x2－(a－1)x＝0的根与参数的取值有关，得到EF.确定集合之间的关系时，若含有参数，则参数的不同取值会使集合中的元素不确定，不讨论参数易导致误判．(限时30分钟)一、选择题1．已知集合U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(A)解析：N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，对照Venn图可知A符合题意，即NMU.2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是(D)A．A⊆B B．A⊇BC．AB D．AB解析：因为A中元素是3的整数倍，而B中元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．3．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的子集的个数是(B)A．9 B．8C．7 D．6解析：因为x∈N，n∈N，所以集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}＝{1,3,5}．所以其子集的个数是23＝8.4．(多选题)设集合A＝{x∈Z|x<－1}，则(AD)A．∅⊆A B．eq\r(2)∈AC．0∈A D．{－2}A解析：eq\r(2)∉A,0∉A，故B，C错．5．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m，\f(n,m)，1))，集合B＝{m2，m＋n,0}，若A＝B，则(C)A．m＝1，n＝0 B．m＝－1，n＝1C．m＝－1，n＝0 D．m＝1，n＝－1解析：因为A＝B，所以A中有元素0，如果m＝0，则eq\f(n,m)无意义，所以A中只有eq\f(n,m)＝0，所以n＝0，则A＝{m,0,1}＝B＝{m2，m,0}．又m≠1，所以m2＝1，所以m＝－1.故选C.6．已知集合P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}，集合Q＝{y|y＝eq\r(x－1)}，则P与Q的关系是(C)A．P＝Q B．P⊆QC．P⊇Q D．P∩Q＝∅解析：P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y＝eq\r(x－1)}＝{y|y≥0}，所以P⊇Q.7．(多选题)设集合M＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)，k∈Z，集合N＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)，k∈Z，则下列关于M，N的关系不成立的是(ACD)A．M＝NB．MNC．NMD．M不是N的子集，N也不是M的子集解析：集合M中的元素x＝eq\f(2k＋1,4)(k∈Z)，集合N中的元素x＝eq\f(k＋2,4)(k∈Z)，当k∈Z时，2k＋1代表奇数，k＋2代表所有整数，故有MN.8．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是(D)A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－1解析：因为P＝{x|x2＝1}＝{1，－1}，Q＝{x|ax＝1}，Q⊆P，所以当a＝0时，有Q是空集，显然成立；当a＝1时，有Q＝{1}，与题意相符；当a＝－1时，有Q＝{－1}，与题意相符．故满足条件的a的值为1，－1,0.故选D.9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(D)A．1 B．2C．3 D．4解析：因为A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C，所以1,2∈C.又C⊆B，所以满足条件的集合C可以是{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，共4个．故选D.10．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A*B的子集个数为(D)A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意得A*B中的元素有{1,7}，所以A*B的子集个数为22＝4(个)，故选D.11．集合M＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝m＋eq\f(1,6)，m∈Z，N＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(n,2)－eq\f(1,3)，n∈Z，P＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(p,2)＋eq\f(1,6)，p∈Z，则M，N，P之间的关系是(B)A．M＝NP B．MN＝PC．MNP D．NP＝M解析：M＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(6m＋1,6)，m∈＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(3n－2,6)＝eq\f(3n－1＋1,6)，n∈Z，P＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(3p＋1,6)，p∈Z.由于3(n－1)＋1和3p＋1都表示被3除余1的数，而6m＋1表示被6除余1的数，所以MN＝P.二、填空题12．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则b＝__－3__，c＝__2__.解析：依题意知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,4＋2b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,c＝2.))13．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，那么M____P．(填“”“”或“＝”)解析：对于任意的x∈P，有x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1.因为a∈N*，所以(a－2)2∈N，则MP.14．已知，A＝{x|x<－1或x>5}，B＝{x|a≤x<a＋4}，若AB，则实数a的取值范围是__{a|a≤－5或a>5}__．解析：因为A＝{x|x<－1或x>5}，B＝{x|a≤x<a＋4}，AB，所以a＋4≤－1或a>5，解得a≤－5或a>5.三、解答题15．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}．(1)若A＝B，求y的值；(2)若A⊆C，求a的取值范围．解：(1)若a＝2，则A＝{1,2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2,3}，所以y＝3，综上，y的值为1或3.(2)因为C＝{x|2<x<5}，A⊆C，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2<a<5，,2<a－1<5，))解得3<a<5.所以a的取值范围是{a|3<a<5}．16．已知集合P＝{x∈R|x2＋b＝0}，Q＝{x∈R|(x＋1)·(x2＋3x－4)＝0}．(1)若b＝4，存在集合M使得PMQ，求这样的集合M；(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的