清北学堂第37届全国中学生物理竞赛决赛模拟试题1参考答案

清北学堂第37届全国中学生物理竞赛决赛模拟题1答案一．（1）先构造体系来计算渐开线的曲率半径，设想一小球以匀速作渐开线运动（在光滑平面上与绕柱的细线相连，作平动）由于速度大小不变，只是方向改变，所以：T由角动量定理，关于圆柱中心的角动量变化率为：T再由几何关系：l代入得到：ρ=l#（2）不打滑要求：μ≥由牛二：f=m由几何关系：r=Rθ;且有：a能量是守恒的：1其中：I=所以：3得到：v则：aaμ≥评分标准：1-5，9-14各2分6，8各4分，7，15各6分二．解答：由毕萨定律可得：B对于线圈1，有：B对于线圈2，同理：B那么合磁场为：B利用小量展开公式：1方括号中的结果为：2×因此，磁感应强度为：B利用二阶系数为0的条件（四阶远远小于二阶），有：R所以实际上线圈的距离为R，对应求解磁感应强度为：B由磁场的高斯定理：S我们取一个圆柱形的高斯面，那么有：−解得：B所以比例为：B1-4各3分，5-7各5分，8式2分，9式4分，10-12各3分，13式4分三．解答：小球滚到斜面底部，机械能守恒：mgxω=作斜面底部的水平线，容易求得质心的相对高度：ℎ利用等边三角形的性质，在双轨上：ℎ由此可知，曲线轨道实际上是一条直线轨道，将碰撞过程进行细致化，细节图如下：不打滑意味着存在摩擦力冲量，作用在2上，由于弹力冲量较大，实际上1点是一个虚接触，考虑对2的角动量守恒：L=解得：ω所以竖直方向的冲量为：I水平方向的冲量为：I容易检验，上述冲量的方向远离斜面（2）椭圆上的运动近似成在曲率圆上的运动，写出几何约束：ρ−由角动量定理：3得到周期：T=2π我们已经利用了曲率半径公式：ρ=考虑斜面上的过程，下滚过程的角加速度和时间为：β=t考虑球返回的时候的速度“缩放”关系，利用对1的角动量守恒关系“Lω所以在第一个周期内的震动的周期为：Tf=1-4各2分，5-8各3分，说明圆轨道实际是直轨道2分，结果检验2分；9-12各3分，13，14各2分，15-17各3分，18式1分四．解答：（1）容易得出：nn得到：n由玻尔兹曼熵的性质：S（2）有热力学第二定律和热力学第一定律：T注意到S实际上是一个U的单元函数，所以：∂U得到：T（3）从负温度系统流向正温度系统，考察系统的熵的变化，若从正流向负，则熵减，违反热力学第二定律1，2各3分，3，4各5分；5，6各4分，7式6分；结论4分，论证6分（用反证法2分）五．解答;由高斯定理：EE那么电势可以积分得到：VV=铅核的质量很大，所以可以忽略铅核的运动，有玻尔条件：m以及：E对于r>R时，μ子轨道半径（a0r对于r<Rr总能量为：E分别代入可得：EE代入数据：r能量：E波长：λ=1，2各2分；3-14各3分六．（1）设出入射光线和出射光线与两个法线分别的夹角α1,sin小角近似：

sin和几何关系：β得到偏向角为：δ=（2）对于普通透镜距离中心y的环带面，在傍轴近似下，轴上物体（距光心为u），其发出指向环带面的光线的偏转角为：δ=注意到，透镜成像公式：1可得:δ=得到了等效的透镜焦距为:f轴线方向，像也做整体平动，将v用u，f解出：v=像的轴向速度V’为：V对于y上的点，垂直于轴向的速度为：V其中，f=（3）由磨镜者公式：1利用相交弦定理:2ρ−h得到：ρ=f平凸透镜的体积为：ρ−ℎ质量为：m（4）现求解ℎnh不考虑衬底，菲涅尔透镜的体积可以写作：V第一项的计算：V第二项的计算：V求和的计算：n=0衬底的体积：V所以，菲涅透镜的体积为：V=π·对应的质量：m求出对于N的限制：h当a>1-4各2分；5-9各2分，10，11各3分；12，13各2分，14-17各3分；18-26各2分（包括21*）七．（1）根据电像法，像电荷在距离球心±1Q为了保证电荷守恒，在像电荷的贡献之外，球心的等效电荷变为：Q所以受力为：F（2）内部的像电荷位于±2Rq受力为：F=（3）初态，系