超几何分布练习题2022年高二数学人教A版选择性必修随机变量及其分布

超几何分布1.一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球.若从中任取2个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为()A.511B.411C.32.在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为()A.542 B.435 C.19423.有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任取3个,那么至少有一个是一等品的概率是()A.C611C2C.C162C4.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球的个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为()A.1220 B.2755 C.27220 名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为1645,则a=________6.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为:ξ012P____________7.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机抽出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3的最大数,求X的概率分布.8.某中学统计了该校100名学生在放假期间参加社会实践活动(简称活动)的情况:有20人参加1次活动,有50人参加2次活动,有30人参加3次活动.(1)从这些学生中任选两名,求恰好有一名参加1次活动的概率;(2)从这些学生中任选两名,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列.扩展练习1.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是57本 本 本 本2.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310A.恰有1个是坏的个全是好的C.恰有2个是好的D.至多有2个是坏的3.某国科研合作项目成员由11个美国人,4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一国家的概率为________.

4.在20瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,从中任取2瓶,取到已过保质期的饮料的概率为________.

5.在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的概率分布.(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,①求顾客乙中奖的概率;②设顾客乙获得的奖品总价值Y元,求Y的概率分布.6.在医学、生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到2只苍蝇都飞出,再关闭小孔.用X表示笼内还剩下的果蝇的只数.(1)写出X的分布列;(2)求P(X≥4).参考答案1.一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球.若从中任取2个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为()A.511B.411C.3分析：选D.由题意得P=C62-2.在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为()A.542 B.435 C.19分析：选A.正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品4个次品时,P1=C44C当1个正品3个次品时,P2=C61C43所以正品数比次品数少的概率为P1+P2=5423.有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任取3个,那么至少有一个是一等品的概率是()A.C611CC.C16分析：选D.“至少有一个是一等品”包含取出的3个中有1个一等品,取出的3个中有2个一等品和取出的3个中有3个一等品三种情况,其概率应为C164.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球的个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为()A.1220 B.2755 C.27分析：选C.由题意得取出的3个球必为2个旧球,1个新球.故P(X=4)=C=27220名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为1645,则a=________分析：根据题意,得1645=C答案:2或86.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为:ξ012P____________分析：P(ξ=0)=C30C22C52=110,P(ξ=1)=C答案:110357.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机抽出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3的最大数,求X的概率分布.分析：(1)一次取2个球共有C92=36种可能情况,2个球颜色相同共有C4C2所以取出的2个球颜色相同的概率P=1036=5(2)X的所有可能取值为4,3,2,则P(X=4)=C44C94=1于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1114所以X的概率分布列为X234P111318.某中学统计了该校100名学生在放假期间参加社会实践活动(简称活动)的情况:有20人参加1次活动,有50人参加2次活动,有30人参加3次活动.(1)从这些学生中任选两名,求恰好有一名参加1次活动的概率;(2)从这些学生中任选两名,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列.分析：(1)由题意知,若设X为任选两名学生中参加1次活动的人数,则X服从参数为N=100,M=20,n=2的超几何分布,故P(X=1)=C201C(2)ξ的可能取值为0,1,2.从这些学生中任选两名,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件A,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件B,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件C,易知P(ξ=1)=P(A)+P(B)=C201C501C1002+3799所以随机变量ξ的分布列为ξ012P37504扩展练习1.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是57本 本 本 本分析：选C.设语文课本n本,则数学课本有7-n本(n≥2).则2本都是语文课本的概率为Cn2C7-2.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310A.恰有1个是坏的个全是好的C.恰有2个是好的D.至多有2个是坏的分析：选C.“X=k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”,则P(X=k)=C7所以P(X=1)=130P(X=2)=310,P(X=3)=12,P(X=4)=3.某国科研合作项目成员由11个美国人,4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一国家的概率为________.

分析：成员有11+4+5=20人,从中任选2人的不同选法有C202种,其中不属于同一国家的有C111·C41+C111·C5答案:1194.在20瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,从中任取2瓶,取到已过保质期的饮料的概率为________.

分析：取到已过保质期饮料的瓶数服从超几何分布,其中参数为N=20,M=2,n=2,则所求事件的概率为1-C20C182答案:375.在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的概率分布.(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,①求顾客乙中奖的概率;②设顾客乙获得的奖品总价值Y元,求Y的概率分布.分析：(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故X的取值只有1和0两种情况.P(X=1)=C41C101=410=因此X的概率分布为X01P32(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类:所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P=C41C61②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且P(Y=0)=C40C62C31C61C102=1845=25,P(Y=20)=C32C60C10因此随机变量Y的概率分布为Y010205060P121216.在医学、生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到2只苍蝇都飞出,再关闭小孔.用X表示笼内还剩下的果蝇的只数.(1