【优化方案】高中数学 第2章2.2.2反证法课件 新人教选修12

2．2.2反证法学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．知能优化训练课前自主学案

2．2.2反证法课堂互动讲练课前自主学案综合法是“________”，而分析法则是“________”．它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，综合运用效果会更好．温故夯基由因导果执果索因1．反证法假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾．知新益能不成立假设错误原命题成立已知条件公理定义定理用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么q假q就真？提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面q错误时，q就一定正确．问题探究课堂互动讲练考点一用反证法证明否定性命题考点突破结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于应用反证法．【思路点拨】直接说明，不易入手，故应用反证法.例1【思维总结】本题涉及方程的根，所以应从根的范围上或者从值域的表达式上寻找矛盾．变式式训训练练1已知知a＋b＋c＝0，求求证证：：ab＋bc＋ca不大大于于零零．．证明明：：假设设ab＋bc＋ca>0，因为为a2＋b2＋c2≥0.则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0.所以以(a＋b＋c)2>0，即即a＋b＋c≠0，这这与与a＋b＋c＝0矛盾盾，，所所以以假假设设不不成成立立，，故故ab＋bc＋ca≤0.当命命题题中中出出现现“至少少………””、“至多多………””、“不都都………””、“都不不………””、“没有有………””、“唯一一”等指指示示性性词词语语时时，，宜宜用用反反证证法法．．注注意意“至少少有有一一个个”、“至多多有有一一个个”、“都是是”的否否定定形形式式分分别别为为“一个个也也没没有有”、“至少少有有两两个个”、“不都都是是”．考点二用反证法证明存在性问题已知知a≥－1，求证三三个方程程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少少有一一个方方程有有实数数解．．例2【思维总总结】反证法法的主主要依依据是是逻辑辑中的的排中中律，，排中中律的的一般般表现现形式式是：：或者者是A，或者者非A，即在在同一一讨论论过程程中，，A和非A有一个个且仅仅有一一个是是对的的，不不能有有第三三种情情形出出现．．结论以以“有且只只有一一个”、“只有一一个”、“唯一存存在”等形式式出现现的命命题，，由于于反设设结论论易于于导出出矛盾盾，所所以用用反证证法证证其唯唯一性性简单单明了了．已知：：一点点A和平面面α.求证：：经过过点A只能有有一条条直线线和平平面α垂直．．考点三用反证法证明唯一性问题例3【思路点点拨】【证明】根据点A和平面α的位置关系系，分两种种情况证明明．图1(1)如图1，点A在平面α内，假设经经过点A至少有平面面α的两条垂线线AB、AC，那么AB、AC是两条相交交直线，它它们确定一一个平面β，平面β和平面α相交于经过过点A的一条直线线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线线都和直线线a垂直，这与与平面几何何中经过直直线上一点点只能有已已知直线的的一条垂线线相矛盾．．(2)如图2，点A在平面α外，假设经经过点A至少有平面面α的两条垂线线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交交直线，它它们确定一一个平面β，平面β和平面α相交于直线线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.图2在平面β内经过点A有两条直线线都和BC垂直，这与与平面几何何中经过直直线外一点点只能有已已知直线的的一条垂线线相矛盾．．综上，经过过一点A只能有平面面α的一条垂线线．【思维总结】证明“有且只有一一个”的问题，需需要证明两两个命题，，即存在性性和唯一性性．变式训练3求证方程2x＝3有且仅有一一个实根．．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明明方程有有一个根根．下面用反反证法证证明根的的唯一性性．假设方程程2x＝3有两个根根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相相除得2b1－b2＝1，如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2相矛盾．．如果方程程的根多多于两个个，同样样可推出出矛盾．．故方程2x＝3有且只有有一个根根．方法技巧巧1．反证法法不是直直接去证证明结论论，而是是先否定定结论，，在否定定结论的的基础上上，运用用演绎推推理，导导出矛盾盾，从而而肯定结结论的真真实性．．方法感悟2．结论为为肯定形形式或者者否定形形式的命命题的证证明常用用反证法法，通过过反设将将肯定命命题转化化为否定定命题或或将否定定命题转转化为肯肯定命题题，然后后用转化化后的命命题作为为条件进进行推理理，很容容易推出出矛盾，，从而达达到证题题的目的的．3．常用正正面词语语的否定定形式正面词语否定正面词语否定等于不等于都是不都是(至少有一个不是)小于不小于(大于或等于)