空间直线平面的垂直基础练习【新教材】2022年人教A版高中数学必修（Word含解析）

空间直线、平面的垂直基础练习一、单选题1.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1A.

512

B.

56

C.

522.已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面α,β，且l⊥β，有下面四个命题：①若m⊥β，则l//m；②若α//β，则l⊥a；③若α⊥β，则l//α；④若l⊥m，则m//β．其中真命题的序号是（

）A.

①②

B.

②③

C.

②③④

D.

①④3.三棱锥P−ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H一定为△ABC的（

）A.

垂心

B.

外心

C.

内心

D.

重心4.设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（

）A.

若m，n与α所成的角相等，则m//n

B.

若α⊥β，m//α，则m⊥β

C.

若m⊥α，m//β，则α⊥β

5.下列有关命题的说法正确的是（

）A.

若命题p：∃x0∈R，ex0<1，则命题¬p：∀x∈R，ex≥1

B.

“sinx=32”的一个必要不充分条件是“x=π3”

C.

若|a+b|=|a|−|6.在三棱锥P−ABC中，已知∠APC=π4，∠BPC=π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，三棱锥P−ABC的体积为A.

4π

B.

8π

C.

12π

D.

16π7.如图，在以下四个正方体中，使得直线AB与平面CDE垂直的个数是(

)A.

1

B.

2

C.

3

D.

48.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=23.CD=PC=PD=26，若点M为PC的中点，则下列说法正确的个数为（

）

（1）PC⊥平面ADM（2）四棱锥M−ABCD的体积为12（3）BM//平面PAD（4）四棱锥M−ABCDA.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个9.设l是直线，α，β是两个不同的平面(

)A.

若l//α，l//β，则α//β

B.

若l//α，l⊥β，则α⊥β

C.

若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D.

若α⊥β，l//α，则l⊥β10.如图所示的正方形SG1G2G3中，E ，  F分别是G1G2，G2GA.

SG⊥平面EFG

B.

EG⊥平面SEF

C.

GF⊥平面SEF

D.

SG⊥平面SEF11.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为C1D1，BC的中点，现有下列结论：①PQ//BA.

①③

B.

②③

C.

②④

D.

③④12.设l、m、n是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l//α，l⊂β，α∩β=m，n⊄α，m//n，则l//n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；③若m，n是两条异面直线，l⊥m，l⊥n，n⊂α，m⊂β且α//β，则l⊥α；④若l⊂α，m⊂β，其中正确命题的序号是（

）A.

①③

B.

①④

C.

②③

D.

②④13.已知a，b为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法中正确的是（

）①若a//α，α//β，则a//β

②若③若a⊥α，b⊥α，则a//b

④若α⊥γ，β⊥γ，则A.

①③

B.

②③

C.

①②③

D.

②③④14.在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∠PBC=60°，则三棱锥P−ABC外接球的体积为(

)A.

100π

B.

500π3

C.

125π

D.

15.已知如图，六棱锥P−ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是（

）A.

CD//平面PAF

B.

DF⊥平面PAF

C.

CF//平面PAB

D.

CF⊥16.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点.下列结论:①线段BD上存在点F，使得CF//平面AD1EA.

①

B.

③

C.

①③

D.

①②③17.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α//β，则l⊥m；②若α⊥β，则l//m；③若l//m，则A.

①②

B.

③④

C.

①③

D.

②④18.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2AA1=2，E，F分别是线段A1D1，CC1的中点，若E'是E在平面BDD119.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体，使B,C,D三点重合，重合后的点记为P,P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是(

)A.

O是ΔAEF的垂心

B.

O是ΔAEF的内心

C.

O是ΔAEF的外心

D.

O是ΔAEF的重心20.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列判断正确的是（

）A.

若n⊥α，m⊥α，则m⊥n

B.

若α∥β，m⊥α，则m⊥β

C.

若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β

D.

若m∥n，m∥α，则n∥α二、解答题21.已知四棱锥P−ABCD中底面ABCD为菱形，PA=PC．（1）求证：BC//平面PAD；（2）求证：PB⊥AC．22.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．23.如图，将直角边长为2的等腰直角三角形ABC，沿斜边上的高AD翻折，使二面角B−AD−C的大小为π3，翻折后BC的中点为M（Ⅰ）证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）求点D到平面ABC的距离.

答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】如图所示，连接BD交MN于点Q，连接PQ，连接OD由正方体的特点可知，MN⊥BD，MN⊥DD1,则根据线面垂直的判定定理可知MN⊥平面BDDSΔOPQ=S故答案为：B.2.【答案】A【解析】解：因为两条不同的直线l，m和不重合的两个平面α,β，且l⊥β，对于①，由l⊥β,m⊥β，可得l//m，故①正确；对于②，若l⊥β,α//β，可得l⊥α，故②正确；对于③，若l⊥β,α⊥β，则有可能l⊂α，故③错误；对于④，当l⊥β,l⊥m时，则有可能m⊂β，故④错误．综上，真命题的序号是①②．故答案为：A．3.【答案】A【解析】因为三个侧面两两垂直，所以PA⊥PB⊥PC．连结AＨ并延长交BC于点D．由PA⊥PB⊥PC知，PA⊥BC①，由PH是三棱锥P−ABC的高得，PH⊥BC②．由①②得，AD⊥BC．同理：连结BＨ并延长交AC于点E、连结CＨ并延长交AB于点F，则BE⊥AC，CF⊥AB．所以，点H是三角形三边上高的交点，即H是三角形的垂心．故答案为：A4.【答案】C【解析】若m，n与α所成的角相等，则m//n或m，n相交或m，若α⊥β，m//α，则m⊥β或m//β，B不符合题意.若m⊥α，m//β，则α⊥β，所以C正确.D．若m//α，n//β，则故答案为：C5.【答案】A【解析】对于A，命题p：∃x0∈R，ex0<1，则命题对于B，当x=π3时，所以“x=π3”是“对于C，|a|>|b|且两向量反向时对于D，若m⊥n，m⊥α，n//β，则α，故答案为：A.6.【答案】A【解析】解：取PC中点O，连接AO,BO，设球半径为R，因为∠BPC=π3，PA⊥AC，所以AO=BO=R，PC=2R，PB=R，BC=3因为∠APC=π4，PA⊥AC，所以PA=AC，则因为平面PAC⊥平面PBC，所以AO⊥平面PBC，即VP−ABC所以36R3=36，故答案为：A.7.【答案】B【解析】①因为△ABC是正三角形，所以AB与AC的夹角为60∘，又因为AC//ED，所以AB与ED的夹角为60②因为正方形对角线相互垂直，所以AB⊥CE，AB⊥ED,ED∩CE=E，AB⊥平面CDE，故正确；③由①知AB与CE的夹角为60∘④因为CE⊥AD,CE⊥BD,BD∩AD=D，所以CE⊥平面ABD，则AB⊥CE，同理AB⊥ED，又ED∩CE=E，所以AB⊥平面CDE，故正确.故答案为：B8.【答案】C【解析】作出图象，如图所示：，对于（1），因为侧面PCD⊥平面ABCD，而底面ABCD为矩形，所以AD⊥平面PCD，即有AD⊥PC，而CD=PC=PD，点M为PC的中点，所以DM⊥PC，故PC⊥平面ADM，（1）正确；对于（2），因为侧面PCD⊥平面ABCD，CD=PC=PD=26，所以点P到平面ABCD的距离为26sin60∘=32，而点M为PC的中点，所以点P到平面ABCD对于（3），取PD中点N，连接MN，所以MN//DC，且MN=12DC故MN//AB，且MN=12AB，因此四边形ABMN为梯形，所以BM与AN的延长线交于一点，故直线BM对于（4），根据四棱锥M−ABCD的侧面CDM为直角三角形，底面ABCD为矩形，结合球的几何特征可知，四棱锥M−ABCD的外接球的球心在过底面ABCD的外心O且与底面垂直的直线上，同样，四棱锥M−ABCD的外接球的球心在过侧面CDM的外心(CD的中点)且与侧面CDM垂直的直线上，所以四棱锥M−ABCD的外接球的球心即是底面ABCD的外心O，外接球半径为OA=12(26)故答案为：C．9.【答案】B【解析】由l是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A选项中，若l//α，l//β，则α，β可能平行也可能相交，错误；B选项中，若l//α，l⊥β，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知α⊥β，正确；C选项中，若α⊥β，l⊥α，由面面垂直、线面垂直的性质可知l//β或l⊂β，错误；D选项中，若α⊥β，l//α，则l，β可能平行也可能相交，错误.故答案为：B.10.【答案】A【解析】由题意：SG⊥FG，SG⊥EG，FG∩EG=G，FG，EG⊂平面EFG所以SG⊥平面EFG正确，D不正确；.又若EG⊥平面SEF，则EG⊥EF，由平面图形可知显然不成立；同理GF⊥平面SEF不正确；故答案为：A11.【答案】C【解析】如图1，取AD中点M，连接MD1与MQ，则MQ∥D1C1，BD如图2，取CD中点R，易得平面PQR//平面BB若③正确，则PQ⊥B1C（另解：由结论BD1⊥平面AB1V三棱锥（④也可以这样判断：如图3，过点B作C1Q的垂线，垂足为H，因此，BH⊥平面D1PQ，BH=5VD或者VD故答案为：C.12.【答案】A【解析】对于命题①，l//α，l⊂β，α∩β=m，由直线与平面平行的性质定理可得∵n⊄α，m//n，由平行线的传递性可知l//对于命题②，α⊥γ，β⊥γ，则平面α与平面β平行或相交，命题②错误；对于命题③，过直线m作平面γ，使得γ∩α=a，∵m⊂β，α//β，∵m⊂γ，γ∩α=a，∴a//m，若a//又∵a、n⊂α，∴a∩n≠∅，∵l⊥m，∴l⊥a，又∵l⊥n，a、n⊂α，∴l⊥α，命题③正确；对于命题④，∵m⊂β，n⊂β，l⊥m，l⊥n，但m、n不一定垂直，则l与β不一定垂直，所以α与β也不一定垂直，命题④错误.因此，正确的命题序号为①③.故答案为：A.13.【答案】B【解析】若a∥α，α∥β，得a⊆β或a//若α∥β，β∥γ，则α∥γ；所以②正确；若a⊥α，b⊥α，则a∥b；所以③正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β或相交；所以④不正确；故答案为：B14.【答案】B【解析】由题意知，在三棱锥P−ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，所以BC=5,又由PC⊥底面ABC，所以在直角ΔPBC中，BC=5,∠PBC=600，所以根据球的性质，可得三棱锥P−ABC外接球的直径为2R=PC=10，即R=5，所以球的体积为V=4故答案为：B.15.【答案】D【解析】A.因为CD//AF,AF⊂平面PAF，所以CD//平面PAFB.PA⊥平面ABCDEF，DF⊂平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又DF⊥AF,AF∩PA=A，所以DF⊥平面PAF，故正确；C.因为CF//BA,BA⊂平面PAB，所以CF//平面PABD.因为CF与AD成60∘角，所以CF与平面PAD故答案为：D16.【答案】C【解析】设A1D交AD1于P，过P作PQ⊥AD，交AD于Q，连接CQ交BD于F，由于PQ//CE,PQ=CE，所以四边形PQCE为平行四边形，所以CQ//EP，所以CQ//平面AED1.故线段BD上存在点若CF⊥平面AD1E，CF⊂平面ABCD，则平面A延展平面AD1E为AMED1如图所示，其中M是BC的中点.根据正方体的几何性质可知，D1E,AM,DC相交于一点，ΔCEM∼ΔD综上所述，正确的序号为①③.故答案为：C17.【答案】C【解析】已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，对于①中，若α//β，得到直线l⊥平面β，所以对于②中，若α⊥β，直线l在β内或者l//β，则l与m的位置关系不确定，所以不正确；对于③中，若l//m，则直线m⊥α，由面面垂直的性质定理，可得α⊥β，所以是正确；对于④中，若l⊥m，则α与β可能相交，所以不正确．故答案为：C.18.【答案】D【解析】过点E作EE'⊥取BB1的中点F'则E由AB=2BC=2A所以B1F'=且cos所以D故B所以EF故答案为：D.19.【答案】A【解析】由题意得，可知PA,PE,PF两两垂直，由PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，

而PO⊥平面PEF，从而PO⊥EF，

所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO,AF⊥EO，所以O为ΔAEF的垂心，故答案为：A.20.【答案】B【解析】A选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得m∥n；B选项正确，若α∥β，则存在a⊂α,b⊂α,a∩b，在平面β内存在a'∥a,b'∥b,a'∩b'，由m⊥α，可得m⊥a,m⊥b⇒m⊥a',m⊥b'，由线面垂直的判定定理可得m⊥β；C选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m在平面α内或者平行于α”这个条件，才能判定m⊥β；D选项不正确，直线n可能在平面α上．

故答案为：B.二、解答题21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC//AD,又∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC//平面PAD

（2）证明：连接AC交BD于O，连接PO.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD且BO=OD，OA=OC又PA=PC，∴PO⊥AC又PO∩BD=O，∴AC⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，∴PB⊥AC.【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BC//AD,再利用线线平行证出线面平行。

（2）连接AC交